2019山西中考數(shù)學考前專題訓練綜合與實踐5類(10道)

1、5綜合與實踐類型一 類比探究型(不含圖形變化) 1.綜合與實踐問題背景如圖，等腰 4ABC 中，AB = AC, / BAC= 120 ；作 ADLBC 于點 D,1BC 2BD 則 D 為 BC 的中點，/ BAD = 2/ BAC= 60 ,于是ab = _ab =<3.遷移應(yīng)用(1)如圖，zABC和4ADE都是等腰三角形，/ BAC= / DAE= 120°, D,E, C三點在同一條直線上，連接 BD.求證：4ADB二AAEC;請直接寫出線段AD, BD, CD之間的等量關(guān)系式.拓展延伸(2)如圖，在菱形ABCD中，/ABC= 120°,在/ABC內(nèi)作射線BM

2、,作點C關(guān)于BM的對稱點E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE, CF.試判斷4CEF的形狀;(3)如圖，若AE=5, CE = 2,求BF的長.國圖第1題圖(1)證明：由題意可知：AD = AE, AB=AC, /DAE=/BAC, ./DAB=/EAC, .ADB 二 AEC;解：cd = V3ad+bd；【解法提示】 VAD = AE, / DAE = 120； .DE = V3AD, /DE=DC EC, /. DC-EC=V3AD,由知，AADBAAEC, /. EC=DB, /.DC -DB = V3AD,即 CD = V3AD+BD.(2)解：zEFC為等邊三角形 理由如下：如

3、解圖，連接BE,作BGLAE于點G.設(shè)CE與BF相交于點N,第1題解圖.C、E關(guān)于BM對稱， .BE=BC, CF = EF, /3=/4,在菱形 ABCD 中，. /ABC=120 : AB=BC,AB=BC= BE,又BGLAE, / 1= /2, 一 ，1 ， 一 。 ./ GBF= /2+ /3 = 22ABC = 60 ,;在四邊形GBNE中，ZGEN = 360 - ZEGB- / ENB / GBN= 120 , ./ FEN = 60 ,又. EF=FC, ./ EFC=60 , .EFC為等邊三角形； 3)解：.AE = 5, CE=2, 一 1-5 LL 2 C EG =

4、2AE=2，EF = CE=2,9 GF = EG+ EF = 2， . /BGF = 90 , /GFB = 30 , BF-,BF-cos30=3 3. 2.綜合與探究問題背景在綜合實踐課上，老師讓同學們根據(jù)如下問題情境，寫出兩個教學結(jié)論：如圖，點C在線段BD上，點E在線段AC上./ACB=/ACD=90 , AC=BC; DC=CE, M, N 分別是線段 BE, AD 上的點.興趣小組”寫出的兩個教學結(jié)論是：4BCE二AACD;當CM, CN分 別是4BCE和4ACD的中線時， MCN是等腰直角三角形.解決問題(1)請證明興趣小組”所寫的兩個結(jié)論的正確性.類比探究受到 興趣小組”的啟發(fā)

5、，實踐小組”的同學們寫出如下結(jié)論：如圖，當 /BCM=/ACN時，4MCN是等腰直角三角形.(2)實踐小組”所寫的結(jié)論是否正確？請說明理由.感悟發(fā)現(xiàn)奮進小組”認為：當點M, N分別是BE, AD的三等分點時，zMCN仍然 是等腰直角三角形請你思考：(3)奮進小組”所提結(jié)論是否正確？答：(填 正確”、不正確”或 不一定正確”.)(4)反思上面的探究過程，請你添加適當?shù)臈l作，再寫出使得 4MCN是等腰直角三角形的數(shù)學結(jié)論.(所寫結(jié)論必須正確，寫出1個即可，不要Ajt圖圖備用圖第2題圖(1)證明：在zBCE和4ACD中，BC = AC,，/BCE =/ACD,CE =CD,/. ABCEAACD (

6、SAS), .BE=AD, /EBC=/DAC, CM, CN分別是ABCE和AACD的中線, .BM=1BE, AN=1AD, 22 .BM=AN,在ABCM和AACN中，BC = AC, IMBC = NAC,BM = AN,/. ABCMAACN (SAS), .CM=CN, /BCM = /ACN . /BCM+/MCE=90 ,./ACN+/ MCE=90 ,/. MCXCN. .MCN是等腰直角三角形.(2)解：實踐小組”所寫的結(jié)論正確.理由：/ ABCEAACD, ./ EBC=/DAC,在4BCM和4CAN中，NMBC =/NAC,，BC a AC,/BCM =NACN, .B

7、CM二MCN (ASA), .CM=CN, / BCM+ / MCE= / ACB=90 , /ACN+/ MCE=90 ,/. MCXCN. .MCN是等腰直角三角形.(3)解：不一定正確.【解法提示】當BM=1BE, AN=1AD時， 33 MCN仍然是等腰直角三角形.當BM=1BE, DN=1AD時， MCN不是等腰直角三角形. 33(4)解：答案不唯一.比如：當 CM, CN分別是ABCE, zACD的高時, MCN是等腰直角三角形；當CM, CN分別是ABCE, zACD的角平分線時， MCN是等腰直角三角形；理由：只要證明4BCM二AACN (AAS),即可推出/BCM=/ACN,

8、推出/MCN=90 ；.CM=CN,.MCN是等腰直角三角形.類型二圖形平移型 3.綜合與實踐問題情境：如圖，在紙片？ ABCD中，AD = 5, S?abcd = 15,過點A 作AELBC,垂足為E,沿AE剪下AABE,將它平移至zDCE的位置，拼 成四邊形AEED.獨立思考：（1）試探究四邊形AEED的形狀；深入探究：（2）如圖，在（1）的四邊形紙片AEED中，在EE'上取一點 F,使EF = 4,剪下AAEF,將它平移至ADEF的位置，拼成四邊形AFF'D, 試探究四邊形AFFD的形狀；拓展延伸：（3）在（2）的條件下，求出四邊形 AFFD的兩條對角線的長； （4）若四

9、邊形ABCD為正方形，請仿照上述操作，進行一次平移，在圖中畫出圖形，標明字母，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，直接寫出你的結(jié)論第3題圖解：（1）四邊形AEED是矩形；理由：:四邊形ABCD是平行四邊形，.AD/ BC,且 AD = BC,/BE=CE； /. EE= BC=AD,且 AD/EE；四邊形AEED是平行四邊形，又AELBC,四邊形AEED是矩形.(2)四邊形AFFD是菱形，二.已知 AD=5, S?abcd=15,S?ABCD 15-AE= AD =5=3， 將 AAEF 平移至口£、'，.AF = DF', AF/DF 四邊形AFF D是平行四邊形.在 RtzAEF

10、中，由勾股定理得 AF = a/aE2+EF2=J32+42 =5. .AF = AD=5,四邊形AFFD是菱形.(3)如解圖,連接AF ； DF,第3題解圖 . EF=EE' EF = 5-4=1, DE = 3,在 RtDEF 中，DF = qED2 + E'F2 = y32+12 = V10,又 EF'=EF + FF'= 4 + 5=9, AE=3,在 RtAEF'中，AF = /AE2+EF2 = 3292 = 3710.(4)答案不唯一.如解圖，在BC上取一點E,連接AE,然后將4ABE平移至DCE'位置.結(jié)論：四邊形AEE'

11、D為平行四邊形BE£Er第3題解圖 4.綜合與實踐數(shù)學活動一移動中探究線段關(guān)系問題情境：數(shù)學課上，老師出示了一個問題：如圖，在4ABC中，/ACB = 90, CDLAB 于點 D, AC=BC,點 E, F 分別在 AC, BC 上，/EDF = 900,求DE與DF的數(shù)量關(guān)系.獨立思考：(1)請根據(jù)以上信息，解答老師提出的問題；若CF=1,CE=2,請直接寫出CD的長.(3)探索求證：如圖 ，在4ABC中，/ACB= 90°, CDLAB于點D, AC = BC,延長BC到點F,沿CA方向平移線段CF到EG,且點G在邊BA的 延長線上，求證： DE=DF, DEXDF;

12、圖圖圖第4題圖(4)拓展延伸：如圖 ，在4ABC中，/ACB=90°, CDLAB于點D, /B= 30；延長BC到點F,沿CA方向平移線段CF到EG,且點G在邊BA9 的延長線上，直接寫出線段 DE與DF之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.(1)解：/EDC+/CDF=/EDF = 90 ,/CDF+/FDB = 90 ,./ EDC= /FDB.由題可知AACB是等腰直角三角形，CD是AB邊上的中 線，./ECD=/B = 45 ; CD = BD,/EDC= / FDB,在4EDC 和4FDB 中，CD = BD,I /ECD= /B,/. AEDCAFDB(ASA). .DE = DF

13、;【一題多解】. /ACB= 90 , AC=BC, CD，AB, .AD = CD, /A=/DCF = 45 , / EDF = 90 ,ADE+/CDE=/CDF+/CDE = 90 ,./ADE= / CDF,在AADE和ACDF中A-DCF ,« AD =CD,/ADE =/CDF ,/. AADEACDF(ASA), .DE = DF;解：CD的長為呼；【解法提示】知 ADE二 CDF, . BF=CE=2,BC=CF+BF=3, . AC=BC,/ACB=90 , .CD=U.2(3)證明：. /ACB = 90 , AC= BC, CDXAB,DA = DB = DC

14、, / ABC= / BAC= / ACD = / BCD= 45 ,./ DAE= /DCF=135 ,又 / GAE = 45 , / AEG= / ACF= / ACB= 90 ,. AEG是等腰直角三角形，. AE=EG,由平移可知CF=EG = AE,在4DAE和4DCF中，DA=DC,D /DAE=/DCF,A AE=CF,/.ADAEADCF(SAS),.DE = DF, /ADE=/CDF,./ADE+ /ADF= /CDF+ /ADF,./ FDE= /CDA=90 ,.,.DEXDF;(4)解:DEXDF, DF = V3DE.【解法提示】由CDXAB, ACXBC, /

15、B=30 °,11CD 可得/ACD = 30 ,則有 AD=，3,由平移可知/FGE = 90 °, FC = GE, -GE CF -則有 / AGE = 90 60 = 30 , AE = AE=V3.CF CD - ，AE = AD = 3.又./ FCD = / EAD= / CDB +ZB=120 ； .CFDs/XAED,.DE=V3,即 df = V3de,同(2)可證得DELDF. 類型三圖形旋轉(zhuǎn)型 5.綜合與實踐問題情境：綜合實踐課上，老師讓同學們以 三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題進行數(shù)學活動， 如圖，在三角形紙片 ABC中，AB = AC, /B=/C.操作發(fā)現(xiàn)

16、：(1)創(chuàng)新小組將圖中的4ABC以點B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)角度& 得到ADBE,再將4ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)角度 出得到 AFG,連接DF,得到圖，試判斷四邊形AFDE的形狀；(2)實踐小組將圖中的4ABC以點B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得 到ADBE,再將4ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90得到AAFG,連 接DF, DG, AE,得到圖，發(fā)現(xiàn)四邊形AFDB為正方形，請你證明這個結(jié)論;若 AB=4,/ABC=60 ,求 BE 的長;拓展探究:(3)請你在實踐小組操作的基礎(chǔ)上，再寫出圖并證明你的結(jié)論.(1)解：四邊形AFDE是平行四邊形;中的一個特殊四邊形

17、,圖理由：DBE是由4ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)角度 得到的，zAFG 是由 ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度得到的,.DE = AC = AF, /BAF=% /DBE=/ABC=%/ DEB = / C= %./ DEB= /BAF,.DE/AF,.DE = AF,四邊形AFDE是平行四邊形；(2)證明：DBE是由 ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，zAFG是由 ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到的，./DBA=/FAB=90 , DB = AB=AF, / DBA+ /FAB=180 , .DB/AF,四邊形AFDB是平行四邊形， .DB = AF,四邊形AFDB是菱形， / DBA=90

18、 , 菱形AFDB是正方形；解：如解圖，過點D作DHLBE于點H,由旋轉(zhuǎn)知， DBE二 ABC,BD=DE=AB=AC, / ABC= / DBE=60 , 在 RtDBH 中，BH=2,BE=2BH=4;第5題解圖(3)解：四邊形AEDG是平行四邊形.證明：:四邊形ABDF是正方形， ./DFA=/DBA=90 , AB=DF,又. /DBE = /AFG,./EBA=/GFD,A AB=DF,在 AABE 和 4DFG 中，</EBA=/GFD, I BE=GF, .ABE 二DFG(SAS);AE=DG,X/de=ag, 四邊形AEDG是平行四邊形. 6.綜合與實踐獨立思考：已知正

19、方形ABCD,如圖，點E和F分別是邊AB和AD邊上的點, 且AE = AF,則線段DF與BE之間有怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論；合作交流：(2) 如圖，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)%當0<90時，連接BE、DF,此時(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)%當= 90°時，連接BE、DF,若AE=5,則當直線DF垂直平分EB時，直接寫出 AD的值；(4)如圖，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)%當90 <180時，連接BD、DE、FB,得到四邊形BDEF,則順次連接四邊形BDE

20、F的各邊中點所組成的四邊形是什么特殊的四邊形？直接寫出結(jié)論.圖圖國圖第6題圖解：(1)DF = BE,且 DFXBE.【解法提示】:四邊形ABCD是正方形, .AD = AB, AD LAB,AE=AF, .DF = BE,且 DFXBE;(2)(1)中的結(jié)論成立.證明如下：第6題解圖如解圖，延長DF交AB于點H,交BE于點G,由題意可知/ DAF = / BAE,在4DAF與4BAE中，DA=BAD /DAF=/BAE,I AF = AE/.ADAFABAE(SAS), .DF = BE, /ADF=/ABE, . /ADF+ /DHA + 90 = / ABE+ / BHG+ / HGB,

21、且 /DHA=/BHG,./ HGB=90 ,即/DGB=90 ,即 DFXBE, .DF = BE,且 DFXBE;(3)AD = 5/2+5.【解法提示】連接BD,如解圖， 直線DF垂直平分BE, .AD + AE=BD, BD = &AD,AE=(<21)AD, AE=5,AD = 52+5.圖圖第6題解圖(4)正方形.【解法提示】連接BE、DF,如解圖，與(2)同理得出BE=DF, BEXDF,結(jié)合中位線的性質(zhì)可知，順次連接四邊形 BDEF各邊中點所組成的四 邊形是正方形.類型四圖形折疊型 7.綜合與實踐：數(shù)學活動：標準紙”尺寸的研究問題情境：A4紙是我們學習、工作中最常

22、用的紙張之一，小明通過網(wǎng) 絡(luò)搜索得到A4紙是由國際標準化組織的 ISO 216定義的，其長寬比是 也：1,規(guī)格為210 mm<297 mm,如圖所示，A0紙是面積為1 m2,長寬 比為淄：1的紙張，接下來的A1 , A2, A3等紙張尺寸，都是定義成將編 號少一號的紙張沿著長邊對折，然后保留最接近的毫米值.”于是，我們定義：長與寬之比為V2 ： 1的矩形紙片稱為標準紙”.如圖所示A組紙都 是標準紙”.國圖第7題圖操作判斷：(1)如圖所示，矩形紙片 abcd(ad=/2ab)是一張 標準紙”，將紙片折疊一次，使點 B與點D重合，再展開，折痕EF交AD于點 E,交BC于點F,交BD于點O,分

23、別連接BE和DF,判斷四邊形BFDE 是哪種特殊的四邊形，并說明理由；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖所示，在（1）的基礎(chǔ)上，展開紙片后，將紙片再折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕 MN交AD邊于點M,交BC 邊于點N,交BD也是點O,然后將四邊形ENFM剪下，探究紙片ENFM 是否為標準紙”，說明理由；8 F CA E D第7題圖（3）通過以上操作探究，請你寫出一個有關(guān) 標準紙”的結(jié)論，例如 標準 紙”長和寬的比值為22 ： 1.解：（1）四邊形BFDE是菱形；證明：當點B與點D重合時，折痕EF垂直平分BD,.OB=OD, /BOF=/DOE = 90 .在矩形 ABCD 中，AD/BC,./OB

24、F=/ODE.在ABOF和ADOE中,r /OBF= / ODE, I工 OB=OD,1/BOF= / DOE,/.ABOFADOE(ASA), .OE = OF, .OB=OD, 四邊形BFDE是平行四邊形.VEFXBD, 四邊形BFDE是菱形；紙片ENFM是標準紙”；理由如下：由（1）可知，OE=OF, 同理可證，OM = ON, 四邊形ENFM是平行四邊形.丁四邊形ABCD是矩形,./DAB=/DOE = 90 , /ODE=/ADB, OE AB . tan/ ode=q5 = Ad-AD = AB,.OE，OD, EF = -22BD,同理可得，MN=-22AC,丁四邊形ABCD是矩

25、形,AC=BD,.EF=MN.四邊形ENFM是矩形,./ EMF = 90 .19MF OD - taniZ FEM - me = oe = V2,.mf = V2me,.上氏片ENFM是標準名氏”;（3）答案不唯一，例如:所有的 標準紙”形狀都相似;圖中四邊形ENFM的面積是四邊形ABCD面積的一半;A0紙與A1紙的面積之比為2 ： 1;A3紙與A2紙的周長之比為1 : V2. 8.綜合與實踐：折疊中的數(shù)學.已知在矩形紙片 ABCD中，AB = 24 cm, BC= 10 cm.任務(wù)一：先將矩形紙片上下對折，然后左右對折，再沿對角線對折, 展開得到圖中的折痕四邊形 EFGH（如圖），求菱形E

26、FGH的面積.任務(wù)二：如圖，將矩形紙片ABCD先沿對角線AC對折，再將紙片折 疊使點A與點C重合得折痕EF,則四邊形AECF必為菱形，請加以證明.任務(wù)三：請通過一定的操作，構(gòu)造一個菱形EFGH（不同于任務(wù)一中的特殊圖形），使菱形的四個頂點分別落在矩形 ABCD的四條邊上（即點E, F,G, H分別在邊AB, BC, CD, DA上，且不與矩形ABCD的頂點重合）.第8題圖*圖C23 圖(1)請簡述操作的方法，并在圖 中畫出菱形EFGH.(2)求菱形EFGH的面積的取值范圍.解：任務(wù)一：如解圖，由折疊性質(zhì)可得：HF = AB=24 cm, GE=BC= 10 cm .-1 1 一 一 一 0 S

27、菱形 efgh =/HF GE = 24X0 = 120 cm , 菱形EFGH的面積為120 cm2.第8題解圖 第8題解圖任務(wù)二：證明：如解圖 ，設(shè)兩折痕的交點為O, 由折疊性質(zhì)可得：EFXAC, OA= OC,丁四邊形ABCD是矩形，.DC / AB. ./ ECO= / FAO.在AEOC和AFOA中,/ECO=/FAO OC = OAI / EOC= / FOA/. AEOCAFOA(ASA). .OE = OF, . OE = OF, OC=OA, 四邊形AECF是平行四邊形.又. EFLAC,平行四邊形AECF是菱形.任務(wù)三：（1）如解圖，將矩形紙片分別沿著對角線 AC, BD折

28、疊，設(shè) 兩折痕的交點為O,展開后沿經(jīng)過點O的直線FH折疊，展開后再沿經(jīng)過 點O且與FH垂直的直線EG折疊，而后展開得到的折痕四邊形 EFGH就 是符合要求的菱形.第8題解圖(2戶四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是菱形, ./GDH = /GOH = 90 , .O, G, D, H四點共圓， ./GHO=/GDO, tan/ GHO = tan/GDO,OG BC 105，OHDC 24- 12，設(shè) OG=5k,則 OH=12k, .FH = 24k, GE=10k,.c12 S菱形 efgh =?FH GE= 120k ,在 RtABC 中,AC= i/AB2 + BC2 = 242+1

29、02= 26, 1. .OA=2AC=13.當 OHLAD 時，OH = 2aB=12,.12<OH<13,.12<12k< 13, -1<k<1|, -1<k2< 1169,? 845 120< 120k2<,6，即菱形EFGH的面積大于120 cm2且小于865 cm2.拓展類型 9.如圖，等邊三角形 ABC中，點D、E、F、分別為邊AB, AC, BC的中點，M為直線BC上一動點，4DMN為等邊三角形5圖一24第9題解圖(1)如圖，當點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)如圖，當點M在BC上時，其它條件不變

30、，(1)的結(jié)論中EN 與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖證明；若不成立， 請說明理由；(3)若點M在點C右側(cè)時，請你在圖中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷 (1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結(jié)論，若不成立請說明理 由.解：(1) EN與MF相等，證明：如解圖，連接DE、DF,.ABC和4DMN為等邊三角形， .DM = DN, /MDN=60 , 點D、E、F分別為邊AB, AC, BC的中點， .DEF是等邊三角形， ./ MDF = /NDE,DM = DN,，/MDF =/NDE,、DF = DE,/. ADMFADNE, /. EN=MF;第9題圖解(2)成立，證明：如解圖，連接DE, DF, EF.第1題解圖 ABC是等邊三角形,AB=AC=BC. .D, E, F是三邊的中點， .DE, DF, EF為三角形ABC的中位線. .DE=DF=EF, /FDE=60 .又/MDF + /FDN=60 ； / NDE+/FDN=60 , ./ MDF = /NDE.在4DMF和ADNE中,'DF = DE,，/MDF =/N