2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題8二次函數(shù)與幾何圖形的綜合精講試題

1、中小學(xué)教育教學(xué)資料專題八二次函數(shù)與幾何圖形的綜合畢節(jié)中考備考攻略命規(guī)律二次函數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題一般作為壓軸題呈現(xiàn)，具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、解題方法靈活等鮮明特點(diǎn)，同時(shí)題型變化多樣，如求線段的長(zhǎng)、求圖形的面積、特殊三角形的存在性、特殊四邊形的存在性、相似三角形的存在性等等(解骰茶咻.1.二次函數(shù)與線段的長(zhǎng)(1) 一般設(shè)拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,縱坐標(biāo)為拋物線解析式，與之相關(guān)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為X,縱坐標(biāo)為直線解析式，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值即為線段的長(zhǎng)度；(2)建立關(guān)于線段長(zhǎng)的二次函數(shù)，通過(guò)求二次函數(shù)的最值進(jìn)而求線段長(zhǎng)的最值；(3)線段長(zhǎng)之和最小的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為對(duì)稱點(diǎn)后用兩點(diǎn)

2、之間線段最短解決.2.二次函數(shù)與圖形的面積(1)根據(jù)二次函數(shù)中不同圖形的特點(diǎn)選擇合適的方法解答圖形的面積；(2)通過(guò)觀察、分析、概括、總結(jié)等方法了解二次函數(shù)面積問(wèn)題的基本類型，并掌握二次函數(shù)中面積問(wèn)題的相關(guān)計(jì)算，從而體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用；(3)利用二次函數(shù)的解析式求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出相關(guān)線段長(zhǎng)，利用割補(bǔ)方法求圖形的面積.3.二次函數(shù)與特殊三角形(1)判斷等腰三角形，可以對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論；(2)判斷直角三角形，可以對(duì)直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論.4 .二次函數(shù)與特殊四邊形此類題型結(jié)合特殊四邊形的判定方法，對(duì)對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行分類討論，求平行四邊形存在類問(wèn)題用平移法解坐標(biāo)較簡(jiǎn)單，其

3、他特殊的平行四邊形結(jié)合判斷方法用邊相等、角為直角或?qū)蔷€的交點(diǎn)坐標(biāo)突破5 .二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合相似三角形判定方法，如果一個(gè)角為直角，只需兩直角邊之比分別相等，此時(shí)要對(duì)對(duì)應(yīng)邊分類討論 中考重難點(diǎn)突破類型1二次函數(shù)與線段的長(zhǎng)例1(2018遂寧中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2 + |x+4的對(duì)稱軸是直線 x=3，且與x軸相交于 A,B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè))，與y軸交于C點(diǎn).(1)求拋物線的解析式和 A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N,當(dāng)MNk 3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】(1)由拋物線的對(duì)稱軸 x= 3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到a的值

4、，進(jìn)而可得出拋物線的解析式，再利用拋物線與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0可求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).由點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m,可表示點(diǎn)M的縱坐標(biāo).又由MN y軸，可表示出點(diǎn)N的橫縱坐標(biāo),進(jìn)而可 用m的代數(shù)式表示出 MN的長(zhǎng)，結(jié)合MN= 3即可得出關(guān)于 m的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程 ，分類討論即可 得出結(jié)果.3【答案】解：(1) ,拋物線y = ax2 + x+4的對(duì)稱軸是直線x= 3,二. 一 丁 = 3,解得a=：, 22a4，拋物線的解析式為 y= - 4x2+|x+ 4.1 2 3 .一當(dāng) y =

5、 0 時(shí),-4* + 2x + 4= 0,解得 xi = 2,x 2= 8.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0);1 2 3.(2)當(dāng) x=0 時(shí),y= 4x+2x+4=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(kw0).將 B(8,0),C(0,4)代入 y = kx + b,得1=2，=4,18k+b=0, . 口解得4b = 4,直線BC的解析式為y=-2x+4.131設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 m, 一 4m斗2m+ 4 ,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為'm, - 2m+.1 3 i 1 二. MN= 4m2+ 2m+ 4 2m+ 41.=一二 m2+ 2m 4又MN= 3

6、, 1m2+ 2m =3.4當(dāng)一：吊 + 2m>0,即 0W me8 時(shí)，一Jn2 + 2m= 3,解得 m= 2,m2= 6, 44此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,6)或(6,4).1同理，當(dāng)一4m + 2m< 0,即m>8或m<0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4 2/7,下一1)或(4 + 2,一 木一1).綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,6),(6,4),(425,5一1)或(4 + 2,5一1).針對(duì)創(chuàng)觸11.( 2018 安順中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c(a W0)的對(duì)稱軸為直線x = 1，且拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C淇中A(1,0),C(0,3).

7、(1)若直線y=mx+ n經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱軸 的坐標(biāo).解：(1)依題意，得x= 1上找一點(diǎn) M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn) C的距離之和最小，求出點(diǎn)Mb .2aT，a+ b+ c= 0, c=3,a=- 1,解得Jb= 2,、c= 3,，拋物線的解析式為y= x2 2x + 3.2令 y = 0,則x -2x+3= 0,解得 x1 = 1,x 2 = 3,.,點(diǎn) B(3,0).把 B( 3,0),C(0,3) 代入 y= mx+ n,得3m+ n= 0, <|n = 3,m= 1,解得，n= 3,直線BC的解析式為y=x+3;(2)設(shè)直線BC

8、與x=- 1的交點(diǎn)為M,連接AM.,點(diǎn)A,B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，MA= MB,MA MC= MB MG= BC,，當(dāng)點(diǎn)M為直線BC與x= 1的交點(diǎn)時(shí)，MA+ MC的值最小. 把 x = - 1 代入 y = x + 3，得 y= 2,M(1,2).72,0).二次函數(shù)與圖形的面積例2(2018。達(dá)州中考改編)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(0,0),A(1,1),B(1)求拋物線的解析式；(2)連接OA,過(guò)點(diǎn)A作ACL OA交拋物線于點(diǎn) C,連接。求 AOC勺面積.【解析】(1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=ax32 ,然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a,即可得到拋物線的解析式；(2)延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D,易得OA=小，/

9、DOA= 45° ,則可判斷 AOM等腰直角三角形,由此可求出 D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，再結(jié)合拋物線的解析式可得關(guān)于x的一元二次方程，解方程可得點(diǎn)C的坐標(biāo),利用三角形面積公式及 Sa ao<c= Sa col Sa ao進(jìn)行f算,進(jìn)而得出 AOC勺面積.【答案】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為 y = axjx-2 j把 A(1,1)代入 y=axx 722 ,可彳導(dǎo)a= - 5,，拋物線的解析式為 y = - 5x 1x-即 y = 2x2 + 7x; 55(2)延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D.A(1,1), /OAC= 90° , .OA=點(diǎn) / DOA=

10、 45。,AOM等腰直角三角形， .OD=啦OA= 2,D(0,2).由點(diǎn)A(1,1),D(0,2), 得直線AD的解析式為y=x + 2.人2 27令一二x +/x = x+ 2,解得 xi = 1,x 2= 5.55當(dāng) x = 5 時(shí),y = x+2= 3,C(5, 3),. Saaoic= Szxcod Saaod= 2X 2X 5 2X2X 1=4.針對(duì)訓(xùn)揀22.( 2018 眉山中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(0,3),B(1,0),其對(duì)稱軸為直線l : x = 2，過(guò)點(diǎn)A作AC/ x軸交拋物線于點(diǎn) C, / AOB的平分線交線段 AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線

11、上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn),設(shè)其橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連接PE,PO,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE的面積最大？并求 出其最大值.解：(1)由拋物線的對(duì)稱性易得D(3,0),設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x 1)(x 3).把 A(0,3)代入 y= a(x 1)(x 3),得 3= 3a,解得a= 1,，拋物線的解析式為y = x2-4x+ 3;(2)由題意知 P(m,m"-4rn+ 3). OE平分/ AOB,/ AOB= 90° ,，/AOE= 45° ,AO既等腰直角三角形，AE= OA= 3,E(3,3).易得OE的

12、解析式為y = x.過(guò)點(diǎn)P作PG/ y軸，交OE于點(diǎn)G,則G(m,m),PG= m (m2 4m+ 3) = m2+ 5m 3.S 四邊形 AOPE= SzAOE|- Sa POE11= 2><3X 3+2PG AE91,2 L C、 C=2+2X ( m+ 5m-3) x 3=-|n2+15m當(dāng)m= 5時(shí)，四邊形AOPE勺面積最大，最大值是75. 28類型3二次函數(shù)與特殊三角形例3( 2018 棗莊中考改編)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2 + |x+c(a W0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B,C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB,AC.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2

13、)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可得出答案；(2)分別以A,C兩點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半彳5畫弧,與x軸交于三個(gè)點(diǎn),由AC的垂直平分線與 x軸交可 個(gè)點(diǎn)，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】解：(1) ,.二次函數(shù)y=ax2 + 3x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)C(8,0),c= 4,'64a+ 12 + c=0,解得一c= 4,，二次函數(shù)的表達(dá)式為丫=-4*2+2*+4；2 2) -. A(0,4),C(8,0),AC=小2 + 82 =4a/5.以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半彳5作圓，交x軸于

14、點(diǎn)N,則AN= AC,故4NAC是以NC為底邊的等腰三角形， 此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(一8,0);以點(diǎn)C為圓心,AC長(zhǎng)為半彳5作圓，交x軸于點(diǎn)N,則CN= CA,故4ACN是以NA為底邊的等腰三角形， 此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(84乖,0)或(8+4m,0);作AC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)N,則NA= NC,故4ANC是以AC為底邊的等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)N為BC的中點(diǎn).令y= 4x?+2x+4= 0，解得xi = 8,x 2= 2，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).綜上所述，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一8,0),(8 4乖,0),(3,0)或(8+ 475,0).3 .

15、( 2018 蘭州中考)如圖，拋物線y=ax2+ bx-4經(jīng)過(guò)A(-3,0),B(5,4)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C,連接 AB,AC,BC.a =解得b =k16，56'(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：AB平分/ CAO(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得 ABM是以AB為直角邊的直角三角形？若存在 ，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)解：將A(-3,0),B(5, 4)代入y = ax2+bx4,得9a3b4 = 0, 125a+ 5b4= 4,拋物線的表達(dá)式為y=6x2-|x-4；(2)證明：. AO= 3,OC= 4,AC= 5.取 D(2,0),則 AD= AC

16、= 5.由兩點(diǎn)間的距離公式可知BD=, (52) 2+ ( 40) 2 = 5. / C(0, - 4),B(5, -4),BC= 5.AA AC= BA BC.，四邊形ACB虛菱形, ./ CAB= / BAD,，AB平分/ CAO(3)解：如圖，拋物線的對(duì)稱軸交 x軸與點(diǎn)E,交BC與我F, 過(guò)點(diǎn)A,B分別作M' A± AB,MBL AB,交對(duì)稱軸于點(diǎn) M ,M. 拋物線的對(duì)稱軸為x = |,11AE=. 5,1A(-3,0),B(5,-4), tan Z EAB= 2. /M AB= 90° ,，tan/M' AE= 2. . . M' E= 2

17、AE= 11, . . M '5, 11 i.2同理，tan / MBF= 2.p55又 BF= 2, FM= 5, M2,使得 ABM是以AB為直角邊的直角三角形綜上所述，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M1!，11版'5,2 2類型4二次函數(shù)與四邊形例4(2018 河南中考改編)如圖，拋物線y = ax2+6x + c交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線y=x 5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C.(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)A的直線交直線 BC于點(diǎn)M,當(dāng)AM! BC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn)B,C重合)，作直線AM 的平行線交直線 BC于點(diǎn)Q,若以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

18、，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；【解析】(1) 利用直線BC的解析式確定點(diǎn) B,C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)先利用拋物線的解析式求出 A點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷 OCB為等腰直角三角形，繼而得到/ OBC= / OCB= 45° ,則4 AM昉等腰直角三角形，進(jìn)而求出點(diǎn) M的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線 BC的解析式設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)， 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分 ，即可列出等式方程，解方程即可得到點(diǎn) P的橫坐標(biāo).【答案】解：(1)當(dāng)x=0時(shí),y = 5，則C(0, -5).當(dāng) y = 0 時(shí),y =x5=0，解得 x=5，則 B(5,0).25a+30+ c= 0, 1|c= - 5,

19、，拋物線的解析式為把 B(5,0),C(0, 5)代入 y= ax2 + 6x+ c,得a= - 1, 解得,.c= - 5, y = x2+ 6x 5;2(2)令 y = x + 6x 5=0,解得 x1 = 1,x2= 5,A(1,0).B(5,0),C(0, 5), /BAC= 90° , . OC斯等腰直角三角形，. / OBC= Z OCB= 45° 又 AML BC, AM昉等腰直角三角形，AM= i22AB=X 4= 2業(yè)以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ,AM/ PQ,. PQ= AM= 2，2,PQ ± BC.作PDL x軸交直線 B

20、C于點(diǎn)D,則/ PDQ= 45° ,:.PD=啦PQ=啦 X2 啦=4. 2設(shè) P(m, m+6m-5),則 D(m,m 5).當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC上方時(shí)，PD= n2 + 6m- 5 (m 5) = n2+ 5m= 4,解得 m= 1(舍去),m 2=4;當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 下方時(shí)，PD=m- 5- ( - ni+ 6m- 5) = n2-5m= 4,解得 n3 =空2,m4=綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,5+ 41 5- 41望2針對(duì)創(chuàng)瘠44.( 2018 濟(jì)寧中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx + c(a W0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,0),B( 1,0),C(0, 3).

21、(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上,是否存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在 求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：把A(3,0),B( 1,0),C(0, 3)代入y = ax2+bx+c,得<9a+3b+c=0,a= 1,aa-b+c=O, 解得 |b= 2,、c = - 3,c = - 3,，該拋物線的解析式為y= x2-2x 3;(2)存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.設(shè)直線BC的解析式為y=kx 3,把 B( 1,0)代入，得一k-3= 0,即 k=- 3,直線BC的解析式為y=- 3x-3.設(shè) Q(x,0),

22、P(m,m 2-2m- 3).當(dāng)四邊形BCQ明平行四邊形時(shí)，BC/PQ,且BC= PQ.由 B(1,0),C(0, -3),得點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 3,即 n2 2m- 3=3，解得 m= 1 ± J7,此時(shí)P(1 +訴,3)或P(1 5,3);當(dāng)四邊形BCPM平行四邊形或四邊形是以BC為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一3,即R2 m- 3=- 3,解得 m= 0 或 m= 2,此時(shí) P(2, -3).綜上所述，存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，P的坐標(biāo)為(1 +干,3)或(1 5,3),(2,-3).類型5二次函數(shù)與相似三角形例5(2018 德州中考改編)如圖，

23、在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x1與拋物線y=x2+ bx + c交于A,B兩點(diǎn)，其中A(m,0),B(4,n), 該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn) D.(1)求m,n的值及該拋物線 的解析式；(2)連接BD,CD,在線段CD上是否存在點(diǎn) Q,使得以A,D,Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABD相似？若存在，請(qǐng) 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入y = x1求出m與n的值，確定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，然后代入y = x2+ bx+ c求出b與c的值即可；(2)由點(diǎn)C,D的坐標(biāo)易得直線 BC的解析式為y = x 5，再由直線AB的解析式易得 AB/ CD,因此/ ADC

24、=/ BAD.分類討論：當(dāng) DAQ人8口或4 DQAP ABD時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求出 DQ的長(zhǎng),即可求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo).【答案】解：把點(diǎn)A(m,0),B(4,n) 代入y = x1，得m= 1,n =3,.A(1,0),B(4,3).; y = x2+bx + c 經(jīng)過(guò) A,B 兩點(diǎn)，1 + b+ c= 0,-16+4b+c=3,該拋物線的解析式為b= 6,解得.c= - 5,y= - x2+ 6x 5;(2)在線段CD上存在點(diǎn)Q,使得以A,D,Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABDf似. 由 中結(jié)果可知 C(0, 5),D(5,0), 直線CD的解析式為y=x5.又直線AB的解析式為y = x1, .

25、AB/ CD, / BAD= / ADC.設(shè) Q(x,x 5)(0 <x<5).AB AD當(dāng) AAB ADAO?t ,DA DQ即乎=DQ解得DQ=嚓由兩點(diǎn)間的距離公式，彳#(x-5)2+(x-5)2 =甯2,解得x=7或x=23(舍去),此時(shí)Q3 -8)當(dāng) ABW DQAf, AB= AD= 1,即 DQ= 372, DQ DA .(x -5)2+(x -5) 2= (3 /)2,解得x= 2或x= 8(舍去),此時(shí)Q(2, 3).綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,一3, 3 .5.( 2018-深圳中考改編)已知頂點(diǎn)為A的拋物線y=a$：, 2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 匚y=a。一；一2,解得 a=

26、1, 24.設(shè)直線AB的解析式為y= kx+ b,由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，得I 2 =1 .2 = /+ b,k= - 2,解得、=1,直線AB的解析式為y= 2x 1,.O± 1,FE34.若/ OP陶/MAF,則當(dāng)OP OE 1 4OP/ AF 時(shí)，AOPtE FAE,.=- = - = -FA FE 3 341一 4OP= §FA=43X=OJ+L 2+7j=g(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線AB與x軸相交于點(diǎn)M,與y軸相交于點(diǎn)E,拋物線與y軸相交于點(diǎn)F,在直線AB上有點(diǎn)P,若/ OPM= / MAF求 POE勺面積.解：(1)把點(diǎn)Bt 2 -3, 2拋物線的解析式

27、為y= 'x-2f-2,即 y = x當(dāng)t =西時(shí),sx -4(2)由(1)中結(jié)果得 a'2, - 2 ,F '0,一設(shè)點(diǎn) P(t, -2t-1),則 OP= #2 + ( 2t 1) 2 =乎, 3即(15t +2)(3t +2)=0，解得 t1=->,t 2=-|. 153由對(duì)稱性知，當(dāng)t1 = ：2時(shí)，也滿足/ OPIM= / MAF,15，t1,t 2的值都滿足條件.1Sapoe= 2OE, |t| ,°A 2X1X= OPE= 2 X 1X3 =13.綜上所述，POE勺面積為4或1. 15 3畢節(jié)中考專題過(guò)關(guān)1.( 2018 自貢中考改編)如圖

28、，拋物線3,0)兩點(diǎn),直線AD交拋物線于y = ax2+bx3 過(guò) A(1,0),B(點(diǎn)D,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為一2,點(diǎn)P(m,n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).(1)求直線AD及拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn) Q,求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最 長(zhǎng)？解：(1)把(1,0),( -3,0)代入 y=ax2+bx 3,得a + b3=0,a = 1,1解得9a3b3 = 0,b=2,，拋物線的解析式為y = x2+ 2x- 3.當(dāng) x = 2 時(shí),y = ( 2)2 + 2X ( 2) 3= 3,即 D(2, -3).設(shè)直線AD的解析式為y = kx + b

29、9;將 A(1,0),D( -2, 3)代入，得k+ b，=0,2k+b' =- 3,k = 1, 解得.，b =- 1直線AD的解析式為y=x1；(2)由(1)可得 P(m,m 1),Q(m,m 2+ 2m- 3), . l = (m 1) (m + 2m- 3),2即 l = mm+ 2( 2<1),配方，得l ='計(jì)2 J + 9,，1-當(dāng)m= 2時(shí),PQ最長(zhǎng).2.( 2018 荷澤中考改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx5交y軸于點(diǎn)A,交x軸于 點(diǎn) B( 5,0)和點(diǎn) C(1,0).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一

30、動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),ABP的面積最大，求出此時(shí) 點(diǎn)P的坐標(biāo)和 ABP的最大面積.解：(1)二.拋物線y=ax2+bx5交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B( 5,0)和點(diǎn)C(1,0),25a-5b-5= 0,a= 1, ； - u c 解得；,a+b5=0,b=4,，該拋物線的解析式為y=x2+4x 5;(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p 2+4p 5),如圖.由點(diǎn)A(0, -5),B( -5,0)得直線AB的解析式為y = -x-5. 當(dāng) x = p 時(shí),y = 一 p 5.,.OB= 5,(p 5) ( p2+4p 5) Saabf=2.)=一|%+方-胃 點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，5

31、<p<0,5354 , 當(dāng)p= 2時(shí),S取得最大值，125 ，-5此時(shí)s= -8，點(diǎn)p的坐標(biāo)是一2,即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為一 71寸，4ABP的面積最大，此時(shí) ABP的面積是2483.( 2018 泰安中考改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn) A(4,0),B(2,0),交y軸于點(diǎn)C(0,6),在y軸上有一點(diǎn) E(0, -2),連接AE.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使4AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1) .二次函數(shù) y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( 4,0),B(2,0),C(

32、0,6),16a 4b+c= 0, 4a+2b+c=0,c= 6,3a=-4，解得32 c= 6,，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=：x22x+6;(2)在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P,使4AEP為等腰三角形.:拋物線y= - 4x22x+6的對(duì)稱軸為 x = -1，設(shè)P( 1,n).又. E(0, 2),A( -4,0),PA= 9+n2,PE = 41+ ( n+2) 2,AE= 16+4 = 2擊.當(dāng) PA= PE時(shí)，49+n2 =( n+ 2) 2,解得n= 1,此時(shí)P( 1,1);當(dāng) PA= AE時(shí)，9+n2 = 2/，解得 n=± /,此日P(-1, ±Vii)；當(dāng) PE= A

33、E時(shí)，1+ ( n+ 2) 2 = 25,解得 n= -2± 19,此時(shí) P(- 1, -2±19).綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,1),( -1, ±擊)或(一1, 2± 爪).1 2一一4.( 2018 上海中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y= X +bx + c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( 1,0)和點(diǎn)B0, 5 ,頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上且位于點(diǎn) C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90° ,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn) P處.5 c=2,(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)求線段CD的長(zhǎng)；(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)。的位置，這

34、時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，如果點(diǎn)M在y軸上，且以 O,D,E,M為頂點(diǎn)的四邊形面積為8,求點(diǎn)M的坐標(biāo).解：把 A( 1,0),B2 代入 y= gx5 這條拋物線的表達(dá)式為y=-2x2 + 2x+|;(2) .)= 2(x-2)2+|,.Cj2, 2 ,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.+bx+c,得b=2,解得 5C=79 , 如圖，設(shè) CD= t,則 D?, 2- t J.由題意，得/ PDC= 90° ,DP=DC= t,9. .P? + t , 2-t J91 2 _5-把 P?+t, 2t 代入 y= 2x + 2x+2，可得t1=0(舍去),t 2=2.線段CD的長(zhǎng)為2;由(2)易知 P3 5 ,D2, 5 .，平移后，E點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 2)._15設(shè) M(0,m),則2m +2 + 2 J 2=8,7 7m= ±2,，點(diǎn)M的坐標(biāo)為0，2T)5 .( 2018 綿陽(yáng)中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx(a W0)過(guò)