高考數(shù)學(xué)圓錐曲線及解題技巧

1、橢圓與雙曲線的性質(zhì)橢圓1. 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角2. PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離4.5.6.7.8.以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切2 x 右Po(xo, y0)在橢圓 a2 x 右Po(xo, y0)在橢圓 a2與 1上，則過Po的橢圓的切線方程是 W 岑 1.ba b2y ,彳 1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為 P、R,則切點(diǎn)弦 b2P1P2的直線方程是警與1.a2b222xy橢圓 F 彳 1 (a b 0)的左右焦點(diǎn)

2、分別為F F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)abF1PF2,則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為 S FPF2b2 tan .1 2222橢圓2 4 1 (a b0)的焦半徑公式： a b|MF/ a e%,|MF2| a e2( F1( c,0) , F2(c,0) M (x, y).9.設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MFL NF.。、121210.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,Ai、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ交于點(diǎn)M AP和AQ交于點(diǎn)N,則MFL NF.11.22AB是橢圓與4 1的不平

3、行于對(duì)稱軸的弦，M(Xo , y0)為AB的中點(diǎn)，則 a bkOM kAB即Kabb2b ,颯沓 ab2X020a yO12.x2若P0 ( Xo , y0)在橢圓2 a22xxyOyX0y2, 22, 2 .a b a b則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2213.若F0(Xo, y0)在橢圓與冬 a b1內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2yxoxyy2 a b雙曲線點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸

4、為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支) 22x y右P)(x, y)在雙曲線 2 2 a bxox yoyT虧 1阿薩德.a2b222x y右P0(xo, yo)在雙曲線 2 2 a b1 (a0,b0)上，則過F0的雙曲線的切線方程是1 (a0,b0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是警空y 1.a2b2x2 y2雙曲線-y - 1 (a0,b o)的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一 a b點(diǎn) F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S f1pf2 b2cot-.22x y雙曲線 1 (a0,bo)的焦半徑公式：(F1(

5、c,0) , F2(c,0) a b當(dāng) M(x0,y。)在右支上時(shí)，|MF1| ex0 a , | MF2 | ex0 a.當(dāng) M(x0,y。)在左支上時(shí)，|MF1|ex0 a , | MF21ex0 a設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MF NF.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),A1P和A2Q交于點(diǎn)M, A2P和AQ交于點(diǎn)N,則MF NF.22x y AB雙曲線 2 2 1 (a0,b 0) a bb2xn點(diǎn)，則 Kom Kab-2-0

6、,即 Kaba V。的不平行于對(duì)稱軸的弦,b2x。20a yoM(xo,y。)為 AB 的中2 x 右Po(xo, yo)在雙曲線 a24 1 (ao,b o)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方 b22和日xx 級(jí)迎2,22aba2 yo b22 xa1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.2 x 右P0(X0, y0)在雙曲線一2a22日 x yxxyy2 2-2-, 2 .a b a b2 y b2(a0,b 0)內(nèi)，則過 Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)橢 圓22x y1 .橢圓 F 22 1 (abo)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 Ai( a,0) ,

7、 A2(a,0),與y軸平行的直線 a b22交橢圓于P1及時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 勺 4 1 .a2b2x2 y22 .過橢圓 三 1 (a 0,b 0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線 a b交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC學(xué) (常數(shù)).a v。223 .若P為橢圓xy、1 (ab0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F 2是焦點(diǎn)a2b2a cPF1F2,PF2F1,貝U tan co t .a c 22x2 y24 .設(shè)橢圓-y 1 1 (ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長軸端點(diǎn))為橢圓上任 a2 b2意一點(diǎn)，在 PF1F2中，記 F1P

8、F2PF1F2, F1F2P,則有sin c e. sin sin a22x y .5.右橢圓 看 1 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)0vea bw J2 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PR是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).226 . P為橢圓 告 4 1 (ab0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 a b2a |AF2 11PA | IPF1 | 2a | AF11,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2, P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立/2/.2。有公共點(diǎn)的充要條件是7 .橢圓(x x0) (y 2y0)1 與直線 Ax By C22ab2 2_ 2 2_2A aB

9、 b(Ax0By0C).8.2已知橢圓x2 a(1)_ 2|OP|2y2 1(a b0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ . b2. 22 -2 F；(2) |OP|2+|OQ|2 的最大值為 2a 2 ；(3)S OPQ|OQ| a ba b的最小值是a2 a2b2 V9.22x y過橢圓 1 (ab0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦 MN10.11.12.的垂直平分線交x軸于p,則LPF-| MN | 222已知橢圓 xy yY 1( a b0) ,A、B、 a ba2 b2線與x軸相父于點(diǎn) P(x0,0),則 a是橢圓上的兩點(diǎn)，線段2,2a bxo AB的

10、垂直平分2設(shè)P點(diǎn)是橢圓22 aF1PF24 1 ( a b0)上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記 b22b 一 一，則 |PF1|PF21 E. SPF1F2b2 tan.222設(shè)A、B是橢圓與y-a b21( a b0)的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn),PABa bPBA , BPA , c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有2ab21cos | 小、，2-2a2b2,(1) | PA | -222 . tan tan 1 e .(3) S PAB 2 cota c cosb a22x y_13.已知橢圓 1( a b0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過橢圓右焦點(diǎn)F的 a b直線與橢圓

11、相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC x軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng) 焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦 半徑互相垂直.e(離16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)心率）.（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .）17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng) 橢圓與雙曲線的對(duì)偶

12、性質(zhì)-（會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）雙曲線1.2.3.x2y2雙曲線-y 彳 1 （a0,b0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（ a,0） , A2（a,0）,與y軸平 a b22行的直線交雙曲線于 P1、及時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 05 1.a b-2y2過雙曲線。與 1 （a 0,b。）上任一點(diǎn) A（-o, yo）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)a bb2-的直線交雙曲線于 B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC容0 （常數(shù)）.a yo22若P為雙曲線 各 y2- 1 （a0,b 0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)1,a bc a八F 2 是焦點(diǎn)，PF1F2,PF2F1,則 tan cot (或c a 22c

13、atan cot ).c a 22224.設(shè)雙曲線 與 匕 1 (a0,b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P (異于長軸端點(diǎn))為 a bPF1F2, F1F2P雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記 F1PF2則有sin(sin sin )ce. a225.若雙曲線 yy 1 （a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,a2b2則當(dāng)1vew J2 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).226. P為雙曲線 與 4 1 （a0,b 0）上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi) a b定點(diǎn)，則IAF2I 2a |PA| |PFi|,當(dāng)且僅當(dāng)A,

14、F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.227. 雙曲線xya2b22 22, 2A a B b2 x8. 已知雙曲線一2a且 OP OQ .1 (a0,b 0)與直線Ax By C0有公共點(diǎn)的充要條件C2.2L 1 b2(ba 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),11(1) 22|OP|2 |OQ |2122mb - f4a2b2-2; (2) |OP| +|OQ| 的最小值為一2一2； (3) S opqb2b2 a2的最小值是- b9.過雙曲線2, 2 a b22.a22xy2,2ab1 (a0,b0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,NMN勺垂直平分線交 x

15、軸于 巳 則J-PF-L e| MN | 210.x2y2一 .一已知雙曲線-y- 1 (a0,b0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂 a2b211.12.直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0),則x02設(shè)P點(diǎn)是雙曲線三 a其焦點(diǎn)記 F1PF22設(shè)A、B是雙曲線、 a八、5PAB2L 1 b2(a0,b 0)產(chǎn) IIPF2I2.2a b或x0a2,2a b上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)2b2、.(2)S PF1F21 cos,F1、F2 為,2b cot .2221 b2PBA(a 0,b 0)BPA的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一c、e分別是雙曲線的半焦距離心率,則有| PA|2 .2ab |

16、cos |2222| a c cos |13.(2)tan tan,21 e .(3) S PAB2, 22a b .2一2 c0tb a2 x已知雙曲線-2 a2yy1 (a 0,b 0)b2的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC x軸,則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交 點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15 .過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16 .雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)

17、的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.17 .雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)圓錐曲線問題解題方法圓錐曲線中的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)就需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)、采用多種數(shù)學(xué) 手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確解題，還 須掌握一些方法和技巧。1 .緊扣定義，靈活解題靈活運(yùn)用定義，方法往往直接又明了。,P為雙曲線上一點(diǎn)。例1.已知點(diǎn)A (3, 2),F(2, 0),雙曲線求的最小值。解析

18、：如圖所示，雙曲線離心率為2, F為右焦點(diǎn)，由第二定律知即點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離。2 .引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2.求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。解：取如圖所示的坐標(biāo)系， 設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線 的距離為p (定值)，橢圓中心坐標(biāo)為 M (t, 0) (t為參數(shù))再設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為P (x, y),則消去t ,得軌跡方程3 .數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形, 用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地 解決許多貌似困難和麻煩的問題。例3.已

19、知，且滿足方程，又，求m范圍。解析：的幾何意義為，曲線上的點(diǎn)與點(diǎn)（一3, 3）連線的斜率，如圖所示4 .應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問題就會(huì)迎刃而解。例4.已知圓和直線的交點(diǎn)為 P、Q,則的值為解:5 .應(yīng)用平面向量，簡化解題向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機(jī)融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識(shí)的有力 工具。例5.已知橢圓：，直線：，P是上一點(diǎn)，射線 OP交橢圓于一點(diǎn)R,點(diǎn)Q在OP上且滿足，當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) Q的軌跡方程。分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來

20、了很大的難度，而如果 用向量共線的條件便可簡便地解出。解：如圖，共線，設(shè)，則，點(diǎn)R在橢圓上，P點(diǎn)在直線上即化簡整理得點(diǎn) Q的軌跡方程為：(直線上方部分)6 .應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運(yùn)用曲線系是解析幾何中 重要的解題方法和技巧之一。例6.求經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：則圓心為解得故所求的方程為7 .巧用點(diǎn)差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點(diǎn)軌跡方程，往往采用點(diǎn)差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7.過點(diǎn)A (2, 1)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)Pi、P2,求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè) 得即設(shè)PlP2的中

21、點(diǎn)為,而R、A、M P2共線中點(diǎn)M的軌跡方程是解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題)，共計(jì)30分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右.其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考查.選擇題和填空題考查直線，圓，圓錐曲線，參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí).解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中,以AB為直腰作直角交半圓于P、Q兩點(diǎn),的重要知識(shí)點(diǎn)，通過知識(shí)的重組與鏈接，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置 關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)，這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.例1 已知點(diǎn)T是半圓 O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t (0t1)梯形AA B B ,使AA垂直且等

22、于 AT,使BB垂直且等于 BT,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系(1)寫出直線A B的方程;(2)計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);(3)證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng) AB反射后，反射光線通過點(diǎn)Q.講解：通過讀圖，看出A , B點(diǎn)的坐標(biāo).(1 )顯然A1,1 t ,1,1是直線的方程為y(2)由方程組(3) k pttx2ytx1,1,解出P(0,1)、Q (12tt2kQT/01 t2 t1 t2 t1 t2t(1 t2)由直線PT的斜率和直線 線通過點(diǎn)Q.QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)需要注意的是，Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式bP4,B0P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光,有趣嗎？22個(gè)交點(diǎn) Q且與x軸、y軸

23、分別例2已知直線l與橢圓。為 1(a b 0)有且僅有 a b交于R S,求以線段SR為對(duì)角線的矩形 ORPS勺一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.講解：從直線l所處的位置，設(shè)出直線l的方程，由已知，直線l不過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為y kx m(k 0).22222222222222代人橢圓萬桂 bx a y ab,得 bx a(kx 2kmx m ) a b .化簡后，得關(guān)于x的一兀二次方程(a2k2 b?)*? 2ka2mx a2m2 a2b2 0.于是其判別式(2ka2m)2 4(a2k2 b2)(a2m2 a2b2) 4a2b2 (a2k2 b2 m2).由已知，得 =0.即a2k2

24、b2 m2.在直線方程y kx m中，分別令y=0, x=0,求得r( _m,0), S(0, m). km . yx , k 一,令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y), 由已知，得 k解得 xy m. m y.代入式并整理,即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程.2 方程之b2 y1形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能畫出它的圖形嗎？2 x 例3已知雙曲線F a2y1的離心率e逋，過3A(a,0), B(0, b)的直線到原點(diǎn)的距離(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線kx5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C, D且C, D都在以B為圓心的圓上,求k的值._yb1的距離ab a 2 b 21, a 、3abc故所求雙曲線方程為x 2

25、了 y21.(2)把y kx 5代入2 3y 23中消去y,整理得(1223k2)x230kx78 0.y。x。設(shè) C(xi，y)D(x2，y2),CD 的中點(diǎn)是 E(x,y),則x1x215 k5x0 丁 y0kx05r , kBE21 3k1 3kx ky0k 0,15 k5k2- 2- k 0 ,又 k 0, k 271 3k 21 3k 2故所求k= 77 .為了求出k的值，需要通過消元，想法設(shè)法建構(gòu)k的方程.例4已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 且/ F1PF2 的最大值為90 ,直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓交于 A B兩點(diǎn)， ABF的面積最大值為

26、12.(1)求橢圓C的離心率;(2)求橢圓C的方程.講解：(1)設(shè) |PF1| r1,|PF2| r2,|F1F2| 2c,對(duì)PF1F2,由余弦定理，得12,2r1r2 4ccOS F1PF2J2212/、22(1丘)2rj2 4c2%24a22124a2 4c22(1 r2)22解出2e .2(2)考慮直線l的斜率的存在性，可分兩種情況:i)當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為y k(x c)1, A(X1,y1), B(X2, y2)由 e 12.得2c2,b于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為2y2 2 c2 0將代入，消去 y得整理為x的次方程,2k2(X c)2 2c20,._2、22(1 2k )x 4ck

27、x222c (k 1)0.則X1、X2是上述方程的兩根.且| X2X1 |2.2c 1 k2AB邊上的高h(yuǎn) | F1F2 | sin BF1 F2 2c1 |k| 1 k22k2| AB| 1 k2 | X2廠也可這樣求解:X12 2c(1 k2)1 2k21S -2 . 2c(21 k2 |k | 2)2 c1 2k 1-1S |訐2|I V1V2 I一 c |k | | X1X22 2c2呆 2 .2c2k2 k 1 4 k24k4 2居 4;2c2.142k kii)當(dāng)k不存在時(shí)，把直線xc代入橢圓方程得c,| AB |、.2c,S2、2c居由知S的最大值為2c2由題意得V2c2=12所

28、以6 2b2a2 12 2故當(dāng) ABE面積最大時(shí)橢圓的方程為:12 2 6 2卜面給出本題的另一解法，請讀者比較二者的優(yōu)劣：2y 1.設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為：X my c(這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請讀者進(jìn)步反思反思.)2橢圓的方程為:yb2 1, A( X1, y1 ), B( X2 , y2 )由e叱.得:22c2,b2c2,于是橢圓方程可化為：X22y22c2 0把代入并整理得:(m22)y222 mcy c 0是 必,丫2是上述方程的兩根|AB| ，(Xi X2)2 (y1 y2)2I y2yi I22_4c (m 2)2m 222c(1m2),AB邊上的高從而 S 1 | AB

29、| h22c,1 m21 2 2c(1 m2)m222c,1 m221 m22 2c22(m 2)2 2c2m2 11-122m 12c2.當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào),即 Smax2c2.由題意知 2c2 12,-26. 2,a12. 2 .故當(dāng) ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為:2X12- 22X例5已知直線y x 1與橢圓 a0）相交于A、B兩點(diǎn)，且線段 AB的中點(diǎn)在直線l:x 2y 0上.（1）求此橢圓的離心率;（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的在圓x24上，求此橢圓的方程.y講解：（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 AJyJ 8仁2,丫2）則由x2-2aX2 y b21，得1/ 2-2、

30、22(a b )x 2a x2, 2a b 0,根據(jù)韋達(dá)定理，得 X1X22a2FV,y1 y2(X1X2) 22b222 ,a b線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為2a2. 2 ,a b2由已知得 2a 2 a b2b2a2 b20,222a 2b 2(a2c2,故橢圓的離心率為e 22（2）由（1）知b c,從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0),設(shè)F(b,0)關(guān)于直線 l :x 2y 0 的對(duì)稱點(diǎn)為（X0,y0）,則生一0 -1且至一bX0 b 22由已知得X22V。4,/3 2(b)5(4b)252 -y0-0,解得X09 b且 y04 b2554, b24 ,故所求的橢圓方程為22已知。M： X2 (

31、y 2)21,Q是X軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA QB分別切。M于A, B兩點(diǎn),(1)如果 | AB |4.2，求直線3MQ勺方程;（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的1 人,由射影定理，得3軌跡方程.、,4、. 2講解：（1）由| AB |，可得32| AB| 2 H 2 2 2 |MP| y|MA|2 (笠1)2/ (-3-)2|MB|2 | MP | | MQ |,得 | MQ | 3,在 RtMOQh|OQ| | MQ |2 |MO|2 v32 22 袤，故 a 石或a 灰,所以直線AB方程是2x 5y 2而 ?；?x 5y 2標(biāo) 0;(2)連接 MB MQ 設(shè) P(X, y),Q(a,0),由點(diǎn) M, P

32、, Q在一直線上，得 2,(*) a x由射影定理得 |MB |2 | MP | |MQ |,即 Jx2 (y 2)2 va2 4 1, (*), ,一27 21把（*）及（* ）消去a,并注意到y(tǒng) 2,可得x2 （y -）2 一（y 2）.416適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙例 7 如圖，在 RtABC中，/CBA=90 , AB=2, AC=。DOL AB于。點(diǎn)，OA=OB DO=2曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線 E的方程；(2)過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn) M N且M在口 N之間，設(shè)DM ，試確DN定實(shí)數(shù)的取值范圍.講解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.| PA |+|PB |=| CA |+| CB |y= 222()