1.3含有量詞的命題

1、1.3全稱量詞與存在量詞(一9量詞教學目標一、知識與技能：了解量詞在日常生活中和數(shù)學命題中的作用，正確區(qū)分全稱量詞和存在量詞的概念，并能準確使用和理解兩類量詞。二、過程與方法：教學重點:理解全稱量詞、存在量詞的概念區(qū)別；教學難點正確使用全稱命題、存在性命題 ；教學過程一、創(chuàng)設情境在前面的學習過程中，我們曾經遇到過一類重要的問題：給含有“至多、至少、有一個”等 量詞的命題進行否定，確定它們的非命題。大家都曾感到困惑和無助，今天我們將專門學習和討論這 類問題，以解心中的郁結。問題1:請你給下列劃橫線的地方填上適當?shù)脑~一 紙；一 牛；一 狗；一 馬；一 人家；一 小船張頭條匹戶葉什么是量詞？這些表示

2、人、事物或動作的單位的詞稱為量詞。漢語的物量詞紛繁復雜，又有兼表 形象特征的作用，選用時主要應該講求形象性，同時要遵從習慣性，并注意靈活性。不遵守量詞使用 的這些原則，就會鬧出“一匹?！?“一頭狗” “一只魚”的笑話來。二、活動嘗試所有已知人類語言都使用量化，即使是那些沒有完整的數(shù)字系統(tǒng)的語言，量詞是人們相互交往的重要詞語。我們今天研究的量詞不是究其語境和使用習慣問題，而是更多的給予它數(shù)學的意境。問題2:下列命題中含有哪些量詞？(1)對所有的實數(shù)X,都有x2>0;(2)存在實數(shù)x,滿足x2>0;(3)至少有一個實數(shù) x,使得x22=0成立；(4)存在有理數(shù)x,使得x22=0成立；(

3、5)對于任何自然數(shù) n,有一個自然數(shù) s使得s = n K;(6)有一個自然數(shù)s使得對于所有自然數(shù) n,有s = n K;上述命題中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全體和部分的量詞。三、師生探究命題中除了主詞、謂詞、聯(lián)詞以外，還有量詞。命題的量詞，表示的是主詞數(shù)量的概念。在謂詞邏輯中，量詞被分為兩類：一類是全稱量詞，另一類是存在量詞。全稱量詞：如 所有“、任何“、0切”等。其表達的邏輯為： 對宇宙間的所有事物 x來說，x都是F。 例句： 所有的魚都會游泳?！贝嬖诹吭~：如 有”、宥的“、宥些”等。其表達的邏輯為：宇宙間至少有一個事物 x, x是F。"例句:宥的工程師

4、是工人出身?！焙辛吭~的命題通常包括單稱命題、特稱命題和全稱命題三種。單稱命題：其公式為“(這個)S是P'。例句： 這件事是我經辦的?！眴畏Q命題表示個體，一般不需要 量詞標志，有時會用 這個“某個"等。在三段論中是作為全稱命題來處理的。全稱命題：其公式為 所有S是P”。例句：所有產品都是一等品"。全稱命題，可以用全稱量詞，也可以用都”等副詞、 人人”等主語重復的形式來表達，甚至有時可以沒有任何的量詞標志，如人類是有智慧的?！碧胤Q命題：其公式為 宥的S是P'。例句： 大多數(shù)學生星期天休息特稱命題使用存在量詞，如 宥 些“、很少”等，也可以用 基本上“、&quo

5、t;般"、只是有些”等。含有存在性量詞的命題也稱存在性命題。問題3:判斷下列命題是全稱命題，還是存在性命題？(1)方程2x=5只有一解；(2)凡是質數(shù)都是奇數(shù)；(3)方程2x2+1=0有實數(shù)根；(4)沒有一個無理數(shù)不是實數(shù)；(5)如果兩直線不相交，則這兩條直線平行；(6)集合A A B是集合A的子集；分析：(1)存在性命題；(2)全稱命題；(3)存在性命題；(4)全稱命題；(5)全稱命題；(6)全稱 命題；四、數(shù)學理論1 .開語句：語句中含有變量 x或y ,在沒有給定這些變量的值之前，是無法確定語句真假的.這種含有變 量的語句叫做 開語句。如，x<2 , x-5=3 , (x+

6、y)(x-y)=0.2 .表示個體常項或變項之間數(shù)量關系的詞為量詞。量詞可分兩種：全稱量詞日常生活和數(shù)學中所用的“一切的”，“所有的”，“每一個”，“任意的”，“凡”，“都”等詞可統(tǒng)稱為全稱量詞，記作 水、網 等，表示個體域里的所有個體。(2)存在量詞日常生活和數(shù)學中所用的“存在”，“有一個”，“有的”，“至少有一個”等詞統(tǒng)稱為存在量詞，記作三x,弓等，表示個體域里有的個體。3 .含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，含有存在量詞的命題稱為存在性稱命題。全稱命題的格式：對M中的所有x, p(x)'的命題，記為：VxWM,p(x)存在性命題的格式：存在集合M中的元素x, q(x) ”的命題，記

7、為：三xM,q(x)注：全稱量詞就是 任意”，寫成上下顛倒過來的大寫字母 A,實際上就是英語"any"中的首字母。存在 量詞就是存在“、有”，寫成左右反過來的大寫字母 E,實際上就是英語"exist"中的首字母。存在量詞 的否”就是全稱量詞。練習：P14-練習題例1判斷以下命題的真假：2222(1) xuR,x >x (2)VxuRx>x(3) = Q,x8=0(4)Vx-R, x +2>0分析：(1)真；(2)假；(3)假；(4)真；例2指出下述推理過程的邏輯上的錯誤：第一步：設a=b,則有a2=ab第二步：等式兩邊都減去 b2,得a

8、2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式兩邊都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：兩邊都除以 b得，2=1分析：第四步錯：因 a-b = 0,等式兩邊不能除以 a-b第六步錯：因b可能為0,兩邊不能立即除以 b,需討論。心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) =a+b=b是存在性命題，不是全稱命題，由此得到的結論不可靠。同 理，由2b=b= 2=1是存在性命題，不是全稱命題。例3判斷下列語句是不是全稱命題或者存在性命題，如果是，用量詞符號表達出來。(1)中國的所有江河都注入太平洋；(2) 0不能作除數(shù)；(3)任何一個實數(shù)

9、除以1,仍等于這個實數(shù)；(4)每一個向量都有方向；分析：(1)全稱命題，寸河流xC 中國的河流),河流x注入太平洋；(2)存在性命題，：30CR, 0不能作除數(shù)；(3)全稱命題，V x R, = x ;1(4)全稱命題，V a , 1有方向；五、回顧反思要判斷一個存在性命題為真，只要在給定的集合中找到一個元素x,使命題p(x)為真；要判斷一個存在性命題為假，必須對在定集合的每一個元素x,使命題p(x)為假。要判斷一個全稱命題為真，必須對在給定集合的每一個元素x,使命題p(x)為真；但要判斷一個全稱命題為假時，只要在給定的集合中找到一個元素x,使命題p(x)為假。即全稱命題與存在性命題之間有可能

10、轉化，它們之間并不是對立的關系。 六、課后習題：教材 P161,2,3 補充習題A組 1.判斷下列全稱命題的真假，其中真命題為()2A .所有奇數(shù)都是質數(shù)B. VxR,x +1之1C.對每個無理數(shù) x,則x2也是無理數(shù)D.每個函數(shù)都有反函數(shù)2,將"x2+y2>2xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是()2222A . Vx, yuR,都有 x +y 之2xyB. zx, y = R ,都有 x +y 之2xyC. Vx >0, y >0 ,都有 x2 +y2 之2xyd,女 <0, y <0 ,都有 x2 十y2 E2xy3.判斷下列命題的真假，其中為真

11、命題的是A. - x R,x2 1 =0 BTx R,x2 1 =0C. _xR,sin x : tan x4.下列命題中的假命題是(x R,sin x : tan xA.存在實數(shù) a 和 3 ,使 cos( a + 3 )=cos a cos 3 +sin s sin 3B.不存在無窮多個 a 和 3 ,使 cos(a + 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3C.對任意 a 和 3 ,使 cos( a + 3 )=cos a cos3 sin a sin 3D.不存在這樣的a和3 ,5.對于下列語句使 cos( a + 3 ) w cos a cos 3 sin a si

12、n 3(1) x Z,x2 =32 x R,x =224(3) x 三 R,x 2x 3 02L(4 ) -x 三 R,x x - 5 . 0其中正確的命題序號是。(全部填上)B組. (a -.-b)2 a - b ”.八“，八一"“.八一、，、6.命題-=是全稱命題嗎？如果是全稱命題，請給予證明，如果不是全稱命題，請補充 b 1 b 1必要的條件，使之成為全稱命題。C組1、平面向量 a =(3,4),b =(2,x),c = (2,y),已知 a / b , a _L c ,求 b>c及bWc夾角。2、已知向量 m = (cosdsin 8 )和 n=( V2sin日,cos

13、 ),(1)求| m + n |的最大值;(2)若 | m + A |=時10 ,求 sin 20 的值.5參考答案：1 . B; 2. A; 3. D; 4. B; 5. (2) (3); 6.不是全稱命題，補充條件： a<-b<1 (答2案不惟一)當<1時，a+b*。-b"口丁不C組:一 一 .一 一 .一 一 31、a = (3, Y),b = (2, x), a / b u248.3J.x = , c = (2,y)a_Lcu y =x32 一 8、 一 3、,b =(2,-),c =(2,-)，b c = 0:： b,c =90324 4L2、(1) m+

14、n = (cos®-sin® + J2,cos 8+sin 8 ).| m n | 二 cos :-sin f 2 (cos - sin - )2二 ,4 2 2(cos - -sin -) = . 4 4cos -3 二5二.二 7二 .2,二 ,26 W J|JT,- I,- <e旨 < cos(0 +)拳.| m n | mak ,422 .(2)由已知1m十：匚咎，得。0市+4b5sin 21-cos2(i )42 . 二=1 -2cos (f )4 c 97二1 -2 乂 =.25 251.3全稱量詞與存在量詞(二)量詞否定教學目標：利用日常生活中的例

15、子和數(shù)學的命題介紹對量詞命題的否定，使學生進一步理解全稱量詞、 存在量詞的作用.教學重點：全稱量詞與存在量詞命題間的轉化；教學難點：隱蔽性否定命題的確定；課 型：新授課 教學手段：多媒體 教學過程： 一、創(chuàng)設情境數(shù)學命題中出現(xiàn) 全部“、所有“、.切"、任何“、任意“、每一個”等與存在著“、有“、有些”、 某個”、至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞(用符號分別記為 “V”與3來表示)；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯 關系中，p q, p q都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結所在。 二、活動嘗試 問題1：

16、指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù)；(3) VxWR, x2-2x+1 >0分析：(1) Vx M M,p(x),否定：存在一個矩形不是平行四邊形；三x w Mjp(x)(2) Vx m M,p(x),否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；三x亡Mp(x)(3) Vx=M,p(x),否定：5xWR, x2-2x+1 <0;力 WM,p(x)這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？結論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題三、師生探究問題2:寫出命題的否定2(1) p： 3 x R, x+2x+2W0;(2) p：

17、有的三角形是等邊三角形；(3) p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分；分析：1: x R, x2 2x+2>0;(2)任何三角形都不是等邊三角形；(3)對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分；從集合的運算觀點剖析：跖(Ap|B) = u AlJZB,跖(AljB)= u ADTjB四、數(shù)學理論1 .全稱命題、存在性命題的否定一般地，全稱命題P:VxWM,有P(x)成立；其否定命題rP為：三xCM,使P(x)不成立。存在性命題P:三xWM,使P (x)成立；其否定命題rP為：V xWM,有P (x)不成立。用符號語言表示：P:ZWM, p(x )否定為P: 興M,P (x

18、)P： 3M, p(x )否定為P: V=M,P (x)在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否 定，否定否定得肯定.2 .關鍵量詞的否定詞語是一小旦 /E心都是小于且詞語的否 定不是JT _日小 TEzix不都是小于或等于或詞語必有一個至少有n個至多 個所有x成立所有x不成 立詞語的否 定一個也沒 有至多后n-1 個至少用兩 個存在一個x不 成立存在后,個 成立否定一個命題常常堅持三點互換：任意與存在互換，肯定與否定互換、或者與并且互換 五、鞏固運用3 1寫出

19、下列全稱命題的否定：(1) p：所有人都晨練；(2) p： Vx=R, x2+x+1>0;(3) p：平行四邊形的對邊相等；(4) p： 3 x R, x2x+1 = 0;分析：(1)P:有的人不晨練；(2)三xCR x2+x+1W0； (3)存在平行四邊形，它的的對邊不相等；(4) VxWR, x2x+1w0;例2寫出下列命題的否定。(1)所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。(2)任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根。(3)對任意實數(shù)x,存在實數(shù)V,使x+y >0. (4)有些質數(shù)是奇數(shù)。解：(1)的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。(2)的否定：存在實數(shù) x不是方程5x-12=0的根。(3)

20、的否定：存在實數(shù) x,對所有實數(shù)y,有x+yW0。(4)的否定：所有的質數(shù)都不是奇數(shù)。解題中會遇到省略了 所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如 若x>3,則x2>9"。在求解中極 易誤當為簡單命題處理；這種情形下時應先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。例3寫出下列命題的否定。(1)若 x2>4 則 x>2.。(2) 若m0,則x2+x-m=0有實數(shù)根。(3)可以被5整除的整數(shù)，末位是 0。(4)被8整除的數(shù)能被4整除。(5)若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。解(1)否定：存在實數(shù) 小,雖然滿足£>4,但x0W2。或者說：存

21、在小于或等于 2的數(shù)x0,滿足x；>4。(完整表達為對任意的實數(shù) x,若x2>4則x>2)(2)否定：雖然實數(shù) m> 0,但存在一個 %,使x2+ x0-m=0無實數(shù)根。(原意表達：對任意實數(shù) m,若m> 0,則x2+x-m=0有實數(shù)根。)(3)否定：存在一個可以被 5整除的整數(shù)，其末位不是 0。(4)否定：存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達為所有能被 8整除的數(shù)都能被 4整除)(5)否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。(原意表達為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。)例4寫出下列命題的否命題與否

22、命題，并判斷其真假性。(1) p:若 x>y,則 5x>5y;(2) p：若 x2+x< 2,貝U x2-x< 2;(3) p：正方形的四條邊相等；(4) p：已知a,b為實數(shù)，若x2+ax+bwo有非空實解集，貝U a2-4b>0o解：(1)P:若存在x>y,則5xW5y;假命題否命題：若x<y,則5xW5y;真命題(2) -1 P:若存在x,滿足x2+x< 2,則x2-x >2;真命題否命題：若x2+x>2,則x2-x >2);假命題。(3) -1 P:存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。

23、否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。(4) "I P：存在兩個實數(shù) a,b ,雖然滿足x2+ax+bW0有非空實解集，但使 a2-4b < 0。假命題。否命題：已知a,b為實數(shù)，若x2+ax+bW0沒有非空實解集，則 a2-4b <0。真命題。評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：1 .任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題若P則q”提出來的。2 .命題的否定(非)是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原 命題可能是同真同假，也可能是一真一假。3 .原命題 若P則q”的形式，它的非命題

24、“若p,則q"；而它的否命題為 若p,則Iq"，既否 定條件又否定結論。六、回顧反思在教學中，務必理清各類型命題形式結構、性質關系，才能真正準確地完整地表達出命題的否定， 才能避犯邏輯性錯誤，才能更好把邏輯知識負載于其它知識之上，達到培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯思維能 力。七、課后練習A組1.命題p：存在實數(shù)m,使方程x2+mx+ 1=0有實數(shù)根，則“非p”形式的命題是()A,存在實數(shù) m使得方程x2+ mx+ 1 = 0無實根；B.不存在實數(shù) m使得方程x2+mx+ 1=0有實根；C.對任意白實數(shù) m,使得方程x2+m桿1 = 0有實根；D.至多有一個實數(shù) m,使得方程x2 +

25、mx+ 1=0有實根；2 .有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分數(shù)”結論顯然是錯誤的，是因為()A.大前提錯誤B .小前提錯誤C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤3 .命題“ VxR, x2-x+3>0”的否定是 4 ."末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的否定形式是否命題是5 .寫出下列命題的否定，并判斷其真假：(1) p： Vm R,方程 x2+x-m=0 必有實根；(2) q：卡R,使得 x2+x+1W0；B組6 .寫出下列命題的 非P”命題，并判斷其真假：(1)若m>1 ,則方程x2-2x+m=0有實數(shù)根.(2)平方和為0的兩個實數(shù)都

26、為0.(3)若AABC是銳角三角形，則AABC的任何一個內角是銳角.(4)若abc=0,則a,b,c中至少有一為 0.(5)若(x-1)(x-2)=0 ，則 xw1,x W2.書P16習題上Ex3、4C組3二、1、已知 A、B、C 三點的坐標分別為 A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sina) , a w ()2 ' 2(1)若 Ac| =1BC'I T2sin 2 嗔 +sin 2;,求角a的值；(2)若AC BC = 1 ,求應任卓1 tan 二的值。2、設平面內的向量 OA = (1,7),OB = (5,1),OM =(2,1)，點P是直線OM上的一個動點，求當 微扁取最小值時,OP的坐標及/APB的余弦值。