導數(shù)中的求參數(shù)取值范圍問題

1、幫你歸納總結(jié)(五)：導數(shù)中的求參數(shù)取值范圍問題、常見基本題型：(1)已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，如已知函數(shù)f(x)增區(qū)間，則在此區(qū)間上導函數(shù)f (x) 0,如已知函數(shù)f(x)減區(qū)間，則在此區(qū)間上導函數(shù)f (x) 0。(2)已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。例1.已知a R,函數(shù)f(x) ( x2 ax)e x. (x R, e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若函數(shù)f(x)在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)函數(shù)f (x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出 a的取值范圍；若不是，請說明理由.2-x解： (1) Q f (x) ( x ax)ef (x) (

2、2x a)e-x ( x2 ax)( e-x) = x2 (a 2)x a e-x.要使f(x)在-1,1上單調(diào)遞減，則f (x) 0對x ( 1,1)都成立,2.x (a 2)x a 0 對 x ( 1,1)都成立.令 g(x)2x (a 2)x a,則g( 1) 0, g(1) 0.1 (a 2) a 01 (a 2) a 0(2)若函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞減，則f (x) 0對x R都成立 即x2 (a 2)x a e-x 0對x R都成立., x2Qe 0, x (a 2)x a 0 對 x R 都成立 令 g(x) x2 (a 2)x a,Q圖象開口向上不可能對x R都成立若函數(shù)f

3、 (x)在R上單調(diào)遞減，則f (x) 0對x R都成立， 即x2 (a 2)x a e-x 0對x R都成立，x2一一.Q e 0, x (a 2)x a 0 對 x R都成立._ 22Q (a 2) 4a a 4 0故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增.綜上可知，函數(shù) f (x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)例2：已知函數(shù)f x alnx ax 3 a R 若函數(shù)y f(x)的圖像在點(2, f(2)處的切32 / ,、m_ 、x3x2f/(x)在區(qū)間(t,3)上總不3x2 (m 4)x 2線的傾余角為45o,對于任意t 1,2,函數(shù)g x 是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；解： 由 f/(2) a 1,a

4、22f(x) 2ln x 2x 33 m 2/g(x) x3 (- 2)x2 2x, g/(x) 2令 g/(x) 0得， (m 4)2 24 0故g/(x) 0兩個根一正一負，即有且只有一個正根32/, 、m一Q函數(shù)g x x x f (x)在區(qū)間(t,3)上總不是單倜函數(shù)2g/(x) 0 在(t,3)上有且只有實數(shù)根 Q g/(0)2 0, g/(t) 0,g/(3) 0372 .2m ,(m 4)t 2 3t 故 m 4 3t , 3t2、, 一 ,一 .一一 37而y 3t在t 1,2單倜減， m 9,綜合得 一 m 9t3例3.已知函數(shù)f (x) Inx 1x 1 . 4 4x(I)

5、求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；2(n)設(shè) g(x) x 2bx 4,若對任意 x1 (0,2), x21,2,不等式f(x1) g(x2)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.-13解：(I) f (x) In x x 1 的7E義域是(0,4 4x一2 一一、1134x x3f (x)27x 4 4x 4x由 x 0及 f (x) 0 得1 x 3；由 x 0及 f (x) 0得 0 x 1或 x 3,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1 ,3)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(3,)(II)若對任意x1(0,2), x2 1,2,不等式f(xj g(x2)恒成立,問題等價于f(x)min g(x)max,由(

6、I)可知，在(0,2)上，x 1是函數(shù)極小值點，這個極小值是唯一的極值點,故也是最小值點，所以f (x)minf (1)-;2,、2g(x) x 2bx 4, x 1, 2當 b 1 時，g(x)maxg(1) 2b 5；2當 1 b 2時，g(x)max g(b) b 4；當 b 2 時，g(x)max g(2) 4b 8；b 1問題等價于122bb 212b24b 8解得b-14b -7或2b的取值范圍是例 4.設(shè)函數(shù) f (x) x2 mln x,h(x)(1)當a= 0時，f(x)Rh(x)在(1 , +°°)上恒成立，求實數(shù) m的取值范圍;(2)當mr 2時，若函

7、數(shù)k(x) = f(x) -h(x)在1,3上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)由 a=0, f (x) >h(x),可得一mn x> x, x (1 , +0° ) 即 me x.In x、x 一記 6(x)=j-,則 f (x) > h(x)在(1 , +8)上恒成立等價于 me 6 (x)min. ln xln x 1求得 6'(x)=FV當 xC (1 , e), 6 ' (x) <0;當 xC(e, +8)時，6(x) >0.故6 (x)在x=e處取得極小值，也是最小值，即 6 (x) min= 6 (e) = e

8、,故 m< e.(2)函數(shù)k(x) =f (x) h(x)在1,3上恰有兩個不同的零點等價于方程x- 21nx = a,在1,3上恰有兩個相異實根.令 g(x) =x-2ln ,則 g' (x)v1 2.x當 xC 1,2)時，g' (x) <0;當 xe (2,3時，g' (x) >0.，g(x)在(1,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(2,3上是單調(diào)遞增函數(shù).故 g(x)m.=g(2) =2 2ln2.又 g(1) =1, g(3) =3 2ln3 ,- g(1) >g(3)，只需 g(2) < a< g(3).故a的取值范圍是(2ln2

9、,3 2ln3.二、針對性練習21.已知函數(shù)f(x) x alnx.右函數(shù)g(x) f (x) 2x在1, 4上是減函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍。_. .2.2一a2解：由 g(x)xa ln x一，得g (x) 2x.xx x22、，又函數(shù)g(x) x aln x 一為1, 4上的單倜減函數(shù)。x則g (x)0在1 , 4上恒成立，. a2一所以不等式2x - - 0在1, 4上恒成立.x x22 ,即a 2x在1, 4上恒成立。 x224上為減函數(shù),632 63.2設(shè)(x) 2 2x2,顯然(x)在1 x所以(x)的最小值為(4)a的取值范圍是a2.已知函數(shù)f(x) ex 1 x，4x(1)右

10、存在x 1,ln -,使a e 1 x 0成立，求a的取值范圍；3(2)當X 0時，f (x) tx2恒成立，求t的取值范圍.解：(1) aex 1 X，即 a f(x).一'x_令 f (x) e 1 0,x 0.'1Qx 0 時，f (X) 0,x 0 時，f (x) 0.f(x)在(，0)上減，在(0，)上增.Xo又1,ln43時,f(x)的最大值在區(qū)間端點處取到i1444f ( 1) e 1 1 -, f ln- , - 1 ln- e3334f( 1) f ln3lnf0,441f ( 1) f ln- , f(x) 1,ln-3 在 3上最大值為e1故a的取值范圍是

11、e e ,x 2(3)由已知得x 0時，e x 1 tx0恒成立,設(shè) g(x) ex x 1 tx2. g'(x) ex 1 2tx.x由(2)知e 1 x，當且僅當x 0時等號成立，'故 g (x) x 2tx (1 2t)x ,從而當 1 2t 0,1t _即 2 時，g (x) 0(x 0)， g(x)為增函數(shù)，又 g(0) 0，2 t J于是當x 0時，g(x) 0，即f(x) tx ,2時符合題意xxt 1由e 1 x(x 0)可得e 1 x(x 0)，從而當 2時，xxx xxg (x) e 1 2t(e 1) e (e 1)(e2t),故當 x (0,ln 2t)時，g (x) 0,g(x)為減函數(shù)，又g(0) 0，2于是當 x (0,ln 2t)時，g(x) 0,即 f(x) tx ,11t -,、故 2不符合題意.綜上可得t的取值范圍為2一 一，.一、ln(1 x)、_o一3.已知函數(shù)f(x) ,設(shè)h(x) xf (x) x ax3在(0, 2)上有極值，求 a的取值范圍x,，、 , 、3 _解：由 h(x) x f (x) x ax 可得，.,.1.- -工 ©ax&