實(shí)驗(yàn)03-建立數(shù)學(xué)模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實(shí)驗(yàn)03 建立數(shù)學(xué)模型3.1 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型演示本實(shí)驗(yàn)不要求寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告。1實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）學(xué)會(huì)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型的建模過(guò)程； （2）進(jìn)一步掌握MATLAB軟件的一些基本功能；（3）初步掌握用MATLAB軟件對(duì)模型作分析檢驗(yàn)；（4）學(xué)會(huì)使用MATLAB軟件的help功能。2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（參考教材p10-12）利用表1，對(duì)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型作檢驗(yàn)。表1 美國(guó)1790-2000年人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（以百萬(wàn)為單位）年17901800181018201830184018501860187018801890人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.9年1

2、9001910192019301940195019601970198019902000人口76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4281.43實(shí)驗(yàn)步驟（1）模型假設(shè)人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r。（2）模型建立（微分方程模型）記時(shí)刻t的人口為x(t)，為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻(t=0)的人口為x0。由模型假設(shè)人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r?？紤]t到t+t時(shí)間內(nèi)人口的增量，可得x(t+t)-x(t)=rx(t)t x(t+t)-x(t) = rx(t) t 令t0，得到x(t)滿足微分方程 dx = rx(t) dt x

3、(0)=x0用MATLAB求解該微分方程>> x=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0') x =x0*exp(r*t)得解為x(t) = x0 e r t即為人口指數(shù)增長(zhǎng)模型。（3）參數(shù)估計(jì)用表1的數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)x0、r。將x(t) = x0 e r t兩邊對(duì)數(shù)，可得y = rt + a, y = ln x, a = ln x0采用線性最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，用MATLAB軟件計(jì)算。以下是MATLAB的一個(gè)腳本式文件：%分別用1790年至1900年的數(shù)據(jù)和全部數(shù)據(jù)（1790年至2000年）進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合求參數(shù)r，x0。%文件名：p10_ra

4、.mclear;clc;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 . 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 . 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4;t=0:length(x)-1;y1=log(x(1:12);%取1790-1900年的數(shù)據(jù)ra1=polyfit(t(1:12),y1,1);%為數(shù)據(jù)數(shù)擬合多項(xiàng)式，用help ployfit查閱disp('用1790-1900年的數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)為：')disp(' r=',num2str(round

5、(10000*ra1(1)/10000),. ' x0=',num2str(exp(ra1(2)y2=log(x);%取1790-2000年的數(shù)據(jù)ra2=polyfit(t,y2,1);disp('用1790-2000年的數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)為：')disp(' r=',num2str(round(10000*ra2(1)/10000),. ' x0=',num2str(exp(ra2(2)運(yùn)行結(jié)果：用1790-1900年的數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)為： r=0.2743 x0=4.1884用1790-2000年的數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)為： r=0.202

6、2 x0=6.045分別得到兩個(gè)人口指數(shù)增長(zhǎng)模型：x1(t) = 4.1884 e 0.2743 tx2(t) = 6.0450 e 0.2022 tx1(t),x2(t)是1790+10t年的人口數(shù)（以百萬(wàn)為單位），t=0,1,2,。 r為每10年的人口增長(zhǎng)率（估計(jì)值）。x(0)=x0為1790年初始人口數(shù)（估計(jì)值）。（4）結(jié)果分析用以上模型計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較。為了減少誤差，把求模型參數(shù)和計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)編寫(xiě)成一個(gè)MATLAB程序。以下是一個(gè)腳本式文件：%分別用1790年至1900年和用1790年至2000年的數(shù)據(jù)建立人口指數(shù)增長(zhǎng)模型，用模型計(jì)算人口數(shù)據(jù)。%文件名：p11_data.m

7、clear;clc;format compact %輸出中沒(méi)有空行x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 . 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 . 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4;t=0:length(x)-1;y1=log(x(1:12);ra1=polyfit(t(1:12),y1,1);y2=log(x);ra2=polyfit(t,y2,1);y=ra1(1)*t+ra1(2);ra2(1)*t+ra2(2);xx=exp(y);xx(1,13:22)=zer

8、os(1,10);disp('指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果')disp('第1行：年')disp('第2行：實(shí)際人口')disp('第3行：計(jì)算人口（1790年至1900年）')disp('第4行：計(jì)算人口（1790年至2000年）')format short g;%用help format查閱1790+10*t;x;round(10*xx)/10format;以上m文件的運(yùn)行結(jié)果：指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果第1行：年第2行：實(shí)際人口第3行：計(jì)算人口（1790年至1900年）第4行：計(jì)算人口（1790

9、年至2000年）ans = Columns 1 through 6 1790 1800 1810 1820 1830 1840 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 4.2 5.5 7.2 9.5 12.5 16.5 6 7.4 9.1 11.1 13.6 16.6 Columns 7 through 12 1850 1860 1870 1880 1890 1900 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 21.7 28.6 37.6 49.5 65.1 85.6 20.3 24.9 30.5 37.3 45.7 55.9 Columns 13 through 1

10、8 1910 1920 1930 1940 1950 1960 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 0 0 0 0 0 0 68.4 83.7 102.5 125.5 153.6 188 Columns 19 through 22 1970 1980 1990 2000 204 226.5 251.4 281.4 0 0 0 0 230.1 281.7 344.8 422.1以下是由數(shù)據(jù)和模型繪圖的三個(gè)m文件，其中一個(gè)是腳本式文件，兩個(gè)是函數(shù)式文件：%根據(jù)人口數(shù)據(jù)和人口指數(shù)增長(zhǎng)模型繪制圖形。%文件名：p11_fig.mclear;clc;x=3.9 5.3 7.2

11、 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 . 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 . 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4;t=0:length(x)-1;plot(t(1:12),x(1:12),'b+');title('指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合圖形（1790年至1900年）','FontSize',8);xlabel('t (1790+10 t 年)','FontSize',8);ylabel('x (百萬(wàn)人）'

12、,'FontSize',8);hold on;fplot('p11_figfun1',0,11,'r');%用help fplot查閱axis(0,12,0,100);legend('實(shí)際數(shù)據(jù)','計(jì)算結(jié)果',0); %用help legend查閱hold off;figure(2);plot(t,x,'b+');title('指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合圖形（1790年至2000年）','FontSize',8);xlabel('t (1790+10 t 年)'

13、,'FontSize',8);ylabel('x (百萬(wàn)人）','FontSize',8);hold on;fplot('p11_figfun2',0 length(x)-1,'r');axis(0,25,0,500);%用help查閱legend('實(shí)際數(shù)據(jù)','計(jì)算結(jié)果',0);hold off;下面是一個(gè)函數(shù)式文件：%用1790-1900年的人口數(shù)據(jù)得到的模型函數(shù)%文件名：p11_figfun1.mfunction x=p11_figfun1(t)x=4.1884*exp(0.

14、2743*t);下面是另一個(gè)函數(shù)式文件：%用1790-2000年的人口數(shù)據(jù)得到的模型函數(shù)%文件名：p11_figfun2.mfunction x=p11_figfun2(t)x=6.0450*exp(0.2022*t);執(zhí)行p11_fig.m得到以下兩個(gè)圖形：可以看出，我們所求得的模型基本上能夠描述十九世紀(jì)以前美國(guó)人口的增長(zhǎng)，但是進(jìn)入二十世紀(jì)后，美國(guó)人口增長(zhǎng)明顯變慢，這個(gè)模型就不合適了。下面討論人口增長(zhǎng)率為常數(shù)r這個(gè)模型假設(shè)是否合理。以下是求每10年的各個(gè)人口增長(zhǎng)率的腳本式文件：%用數(shù)值微分的三點(diǎn)公式計(jì)算美國(guó)人口增長(zhǎng)率（/10年）%文件名：p12_r.mclear;clc;x=3.9 5.3

15、7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 . 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 . 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4;t=0:length(x)-1;r=zeros(size(x);for i=1:length(x) %求數(shù)值微分 if i=1 r(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3)/2;%x(1) elseif i=length(x) r(i)=(x(i-2)-4*x(i-1)+3*x(i)/2; %x(length(x) else r(i)=(x(i+1)-x(i-1)/2;

16、 %x(i),1<i<length(x) endendr=r./x; %求增長(zhǎng)率（/10年）disp('第1行：年')disp('第2行：增長(zhǎng)率（/10年）')format short g;1790+10*t;round(10000*r)/10000%輸出數(shù)據(jù)plot(t,r,'ro-');hold on;plot(0,11,0.2743,0.2743,':',0,21,0.2022,0.2022,'-.');xlabel('t（1790+10t年）','FontSize'

17、;,8);ylabel('r（增長(zhǎng)率/10年）','FontSize',8);legend('實(shí)際增長(zhǎng)率','r = 0.2743（1790-1900年）','r = 0.2022（1790-2000年）');hold;以上m文件的執(zhí)行結(jié)果：第1行：年第2行：增長(zhǎng)率（/10年）ans = Columns 1 through 6 1790 1800 1810 1820 1830 1840 0.2949 0.3113 0.2986 0.2969 0.2907 0.3012 Columns 7 through 12 18

18、50 1860 1870 1880 1890 1900 0.3082 0.2452 0.2435 0.242 0.2051 0.1914 Columns 13 through 18 1910 1920 1930 1940 1950 1960 0.1658 0.1465 0.1023 0.1044 0.1579 0.1486 Columns 19 through 22 1970 1980 1990 2000 0.1157 0.1046 0.1092 0.1157 可見(jiàn)實(shí)際的增長(zhǎng)率變化范圍很大，必須修改指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口增長(zhǎng)率是常數(shù)這個(gè)基本假設(shè)。3.2 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型檢驗(yàn)本實(shí)驗(yàn)要求寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

19、1實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)會(huì)用MATLAB軟件的功能檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用1900年至2000年的數(shù)據(jù)擬合指數(shù)增長(zhǎng)模型x(t)=x0*er*t，計(jì)算并作圖，觀察結(jié)果。具體任務(wù)如下：（1）參數(shù)估計(jì)r,x0；（2）結(jié)果分析。計(jì)算指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果；繪制指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合圖形（1900年至2000年）。3.3 人口阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）檢驗(yàn)演示1實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)會(huì)用MATLAB軟件的功能檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。學(xué)會(huì)用help查詢系統(tǒng)函數(shù)的使用。2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（參考教材p12-15）（1）用MATLAB繪制Logistic模型dx/dtx曲線。dx x = rx(1- ), x(0)=x0dt xm取r=xm=

20、1。（2）用MATLAB求解微分方程dx x = rx(1- ), x(0)=x0dt xm（3）用MATLAB繪制Logistic模型xt曲線x(t)=xm/(1+(xm/x0-1)e-rt)取xm=1,r=2.3,x0=0.1。（4）用1790年至1990年的數(shù)據(jù)擬合估計(jì)參數(shù)r,xm，計(jì)算阻滯增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果（1790-1990），繪制阻滯增長(zhǎng)模型擬合圖形（以1790年為起點(diǎn)）。用下面方程dx/dt r = r-sx, s = x xm估計(jì)參數(shù)r,xm。3實(shí)驗(yàn)步驟（1）用MATLAB繪制Logistic模型dx/dtx曲線。dx x = rx(1- ), x(0)=x0dt

21、xm取r=xm=1。%繪制Logistic模型dx/dtx,dx/dt=rx(1-x/xm),r=xm=1%文件名p13_dx.mfplot('x*(1-x)',0 1 0 0.351)title('Logistic模型dx/dtx曲線');hold onplot(0.5 0.5,0 0.25,':')text(0,0.351,'dx/dt','VerticalAlignment','bottom')text(1,0,' x','HorizontalAlignment'

22、;,'left')text(0.5,-0.025,'xm/2','HorizontalAlignment','center')text(1,-0.025,'xm','HorizontalAlignment','center')運(yùn)行結(jié)果如圖。（2）用MATLAB求解微分方程dx x = rx(1- ), x(0)=x0dt xm>> x=dsolve('Dx=r*x*(1-x/xm)','x(0)=x0')x =xm/(1+exp(-r*t)

23、*(xm-x0)/x0)即得x(t)=xm/(1+(xm/x0-1)e-rt)（3）用MATLAB繪制Logistic模型xt曲線x(t)=xm/(1+(xm/x0-1)e-rt)%繪制Logistic模型xt曲線,x(t)=xm/(1+(xm/x0-1)e(-rt),xm=1,r=2.3,x0=0.1%文件名p13_x.mfplot('1/(1+(1/0.1-1)*exp(-2.3*t)',0 3 0 1.401)title('Logistic模型xt曲線');hold onplot(0 3,1 1,':',0 1,0.5 0.5,':

24、')text(0,1.401,'x','VerticalAlignment','bottom')text(3,0,' t','HorizontalAlignment','left')text(0,1,'xm ','HorizontalAlignment','right')text(0,0.5,'xm/2 ','HorizontalAlignment','right')運(yùn)行結(jié)果如圖。（4）用1790

25、年至1990年的數(shù)據(jù)擬合估計(jì)參數(shù)r,xm，計(jì)算阻滯增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果（1790-1990），繪制阻滯增長(zhǎng)模型擬合圖形（以1790年為起點(diǎn)）。用下面方程dx/dt r = r-sx, s = x xm估計(jì)參數(shù)r,xm。以下是腳本式文件：%用數(shù)值微分的三點(diǎn)公式計(jì)算美國(guó)人口增長(zhǎng)率（/10年）%文件名：p14_datafig.mclear;clc;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 . 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 . 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;%21個(gè)t=0:

26、length(x)-1;rr=zeros(size(x);for i=1:length(x) %求數(shù)值微分 if i=1 rr(1)=(-3*x(1)+4*x(2)-x(3)/2; elseif i=length(xx) rr(i)=(x(i-2)-4*x(i-1)+3*x(i)/2; else rr(i)=(x(i+1)-x(i-1)/2; endendrr=rr./x; %rr=(dx/dt)/x, 增長(zhǎng)率（/10年）sr=polyfit(x,rr,1);r=sr(2);xm=-r/sr(1);disp('固有增長(zhǎng)率：r=',num2str(round(10000*r)/10000),'/10年')disp('人口容量：xm=',num2str(round(10000*xm)/10000)x0=3.9;%xm=392.0886;r=0.2557;xx=xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*t);%計(jì)算人口disp('阻滯增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果')disp('第1行：年')disp('第2行：實(shí)際人口')disp('第3行：計(jì)算人口')format short g;1790+10*t;x;round(10*xx)