數(shù)學歸納法的變式及應(yīng)用（課堂PPT）

1、1數(shù)學歸納法的幾種變式及其數(shù)學歸納法的幾種變式及其應(yīng)用應(yīng)用專業(yè)：專業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學姓名：姓名： 導(dǎo)師：導(dǎo)師：2目錄目錄1.引言引言2.數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法3.數(shù)學歸納法的變式數(shù)學歸納法的變式4.數(shù)學歸納法和反證法的關(guān)系數(shù)學歸納法和反證法的關(guān)系5.關(guān)于數(shù)學歸納法的若干說明關(guān)于數(shù)學歸納法的若干說明6.總結(jié)總結(jié)31.引言引言 數(shù)學歸納法是一種完全歸納法。它數(shù)學歸納法是一種完全歸納法。它是一種常用于證明與正整數(shù)集有關(guān)命題是一種常用于證明與正整數(shù)集有關(guān)命題的重要論證方法，在幾何證明和代數(shù)證的重要論證方法，在幾何證明和代數(shù)證明中都有著廣泛的應(yīng)用。明中都有著廣泛的應(yīng)用。42.數(shù)學歸納法數(shù)學

2、歸納法第一類數(shù)學歸納法（數(shù)學歸納法）第一類數(shù)學歸納法（數(shù)學歸納法）第一類數(shù)學歸納法的基本形式為：第一類數(shù)學歸納法的基本形式為：設(shè)設(shè) 是一個關(guān)于自然數(shù)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果 p n(1) 成立；成立； 1p(2) 假設(shè)假設(shè) 成立，則成立，則 也成立；也成立； p k1p k p n那么，那么， 對任意自然數(shù)對任意自然數(shù)n都成立。都成立。5第二類數(shù)學歸納法第二類數(shù)學歸納法 第二類數(shù)學歸納法又稱串值歸納法，它的基第二類數(shù)學歸納法又稱串值歸納法，它的基本形式為：本形式為：設(shè)設(shè) 是一個關(guān)于自然數(shù)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果 p n(1) 成立；成立； 1p(2) 假設(shè)假

3、設(shè) 對于所有適合對于所有適合nk的正整的正整數(shù)數(shù)n成立，則成立，則 也成立；也成立； p n p k那么，那么， 對任意自然數(shù)對任意自然數(shù)n都成立。都成立。 p n6例例2.3.2 證明可以僅用證明可以僅用4分和分和5分郵票來組成分郵票來組成等于和超過等于和超過12分的每種郵資。分的每種郵資。12 , 13 , 14 ,15pppp(1) 當當n=12,13,14,15時，命題時，命題 為真。為真。票加上票加上1個個4分郵票就可以了。分郵票就可以了。為了組成為了組成n+1分郵資，用組成分郵資，用組成n-3分郵資的郵分郵資的郵即可以用即可以用4分和分和5分郵票來組成分郵票來組成k（ ）分郵分郵資

4、。資。(2) 對于任意自然數(shù)對于任意自然數(shù)n 15,假定命題假定命題 為真為真 p n15kn7兩類數(shù)學歸納法是等價的兩類數(shù)學歸納法是等價的 第一數(shù)學歸納法和第二數(shù)學歸第一數(shù)學歸納法和第二數(shù)學歸納法是等價的，即用第一數(shù)學歸納納法是等價的，即用第一數(shù)學歸納法證明的法證明的 可以用第二數(shù)學歸納可以用第二數(shù)學歸納法證明，反之亦然。法證明，反之亦然。 p n83.數(shù)學歸納法的變式數(shù)學歸納法的變式 1 跳躍歸納法跳躍歸納法跳躍歸納法的基本形式為：跳躍歸納法的基本形式為：那么，那么， 對任意自然數(shù)都成立。對任意自然數(shù)都成立。 p n數(shù)數(shù)k+l正確；正確；(2) 假設(shè)對于自然數(shù)假設(shè)對于自然數(shù)k正確，就能推出

5、命題對自然正確，就能推出命題對自然(1) 成立；成立； 12ppp l、設(shè)設(shè) 是一個關(guān)于自然數(shù)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果 p n9反歸納法的基本形式為：反歸納法的基本形式為：設(shè)設(shè) 是一個關(guān)于自然數(shù)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果的命題，如果(1) 對無窮多個自然數(shù)成立；對無窮多個自然數(shù)成立；(2) 假設(shè)假設(shè) 對于自然數(shù)對于自然數(shù)k正確，就能推出正確，就能推出命題對自然數(shù)命題對自然數(shù)k-1正確；正確；那么，那么， 對任意自然數(shù)對任意自然數(shù)n都成立。都成立。 p n p n p n p n2 反歸納法（倒推歸納法）反歸納法（倒推歸納法）10例例 求證求證n個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等

6、個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于這于這n個數(shù)的幾何平均值，即個數(shù)的幾何平均值，即nnnaaanaaa2121證明：證明：(1)當當n=2時，時， 因此命題因此命題對對n=2正確。正確。當當n=4時，時， 因此命題對因此命題對n=4正確。正確。同理可推出命題對同理可推出命題對都正確（都正確（s為任意自然數(shù)）。為任意自然數(shù)）。 21212aaaa224341234121234()()()224aaaaaaaaa a a a342 , 2 , , 2snnn11 (2)設(shè)命題對設(shè)命題對n=k正確，令正確，令則則 由歸納假設(shè)命題對由歸納假設(shè)命題對n=k正確，正確，所以所以所以所以即即1,121121ka

7、aaskaaaskkkkksaaaskkk11211121111211S()kkkkkkkaaasa aask11121Skkka aa11211211kkkaaakaaa12 命題對命題對n=k-1也正確，由反歸納法原理也正確，由反歸納法原理知，命題對一切自然數(shù)成立。知，命題對一切自然數(shù)成立。 第一類數(shù)學歸納法的關(guān)鍵是：由第一類數(shù)學歸納法的關(guān)鍵是：由 成立往后推出成立往后推出 也成立；而反歸納法也成立；而反歸納法的關(guān)鍵恰是：由的關(guān)鍵恰是：由 成立往前推出成立往前推出 成成立。立。 p k1p k p k1p k 13雙歸納法的基本形式為：雙歸納法的基本形式為：設(shè)命題設(shè)命題P與兩個獨立的自然數(shù)

8、對與兩個獨立的自然數(shù)對m與與n有有關(guān)，若關(guān)，若(1) 命題命題P對對m=1與與n=1是正確的；是正確的；(2) 從命題對自然數(shù)對從命題對自然數(shù)對（m,n）正確就能推正確就能推出該命題對自然數(shù)對出該命題對自然數(shù)對（m+1,n）正確，和對正確，和對自然數(shù)對自然數(shù)對（m,n+1）也正確；也正確；則命題則命題P對一切自然數(shù)對對一切自然數(shù)對（m,n）都正確。都正確。3 雙歸納法（二元歸納法）雙歸納法（二元歸納法）14蹺蹺板歸納法的基本形式為：蹺蹺板歸納法的基本形式為：有兩個命題有兩個命題 , 如果如果(1) 正確；正確；(2) 假設(shè)假設(shè) 正確，那么正確，那么 也是正確的；也是正確的；(3) 假設(shè)假設(shè) 正

9、確，那么正確，那么 也是正確的；也是正確的；那么，對于任意自然數(shù)那么，對于任意自然數(shù)n, 命題命題 都是正都是正確的。確的。,nnA B1A1kAkAkBkB,nnA B4 蹺蹺板歸納法與螺旋式上升歸納法蹺蹺板歸納法與螺旋式上升歸納法15例例 已知數(shù)列已知數(shù)列1，3，7，12，19，27，37，48，61設(shè)設(shè) 為其第為其第n項，項， 為其前為其前n項的和，其中項的和，其中 求證：求證：nSna22213 ,311llalal l2221211431 , 431 .22llSlllSlll證明：令證明：令 為為 ； 為為 為為nA22114312nSnnnnB2214312nSnnn(1) ，

10、即即 是正確的。是正確的。11S 1A16(2) 假設(shè)假設(shè)那么那么即，假設(shè)即，假設(shè) 是正確的，那么是正確的，那么 也正確。也正確。22114312kSkkk222221211431343122kkkSSakkkkkkkkAkB即，假設(shè)即，假設(shè) 是正確的，則是正確的，則 也正確。也正確。kB1kA(3) 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么2214312kSkkk 22212212322114313114316122211149721 4521 41311222kkkSSakkkk kkkkk kkkkkkkkkk 因此，因此， 對任何自然數(shù)都是正確的。對任何自然數(shù)都是正確的。,nnA B17說明：作為說明：

11、作為“蹺蹺板歸納法蹺蹺板歸納法”的推廣，還的推廣，還可能要使用若干結(jié)論螺旋式上升的證明方可能要使用若干結(jié)論螺旋式上升的證明方法，這種方法的基本形式為：法，這種方法的基本形式為：有五個命題有五個命題 ，如果，如果(1) 是正確的；是正確的；(2) 那么，這五個命題都是正確的。那么，這五個命題都是正確的。,nnnnnA B CD E1A1, , , , kkkkkkkkkkABBCCDDEEA18 數(shù)學歸納法和反證法的關(guān)系數(shù)學歸納法和反證法的關(guān)系 凡是用數(shù)學歸納法證明的命題凡是用數(shù)學歸納法證明的命題 都可以用反證法來證明，因而數(shù)學歸納都可以用反證法來證明，因而數(shù)學歸納法在使用上可以用反證法來代替，

12、反之法在使用上可以用反證法來代替，反之不然。不然。 p n19 每一種形式的數(shù)學歸納法都有兩個步每一種形式的數(shù)學歸納法都有兩個步驟，第一步是驗證步驟，第二步是歸納步驟，第一步是驗證步驟，第二步是歸納步驟。這兩步相輔相成，缺一不可。驟。這兩步相輔相成，缺一不可。 下面這個例子就是很好的說明。下面這個例子就是很好的說明。5.關(guān)于數(shù)學歸納法的若干說明關(guān)于數(shù)學歸納法的若干說明20例例 二項式二項式 曾引起數(shù)學家們的極大曾引起數(shù)學家們的極大興趣，最使數(shù)學家們感性趣的是把它分解興趣，最使數(shù)學家們感性趣的是把它分解為具有整系數(shù)因子的乘積。為具有整系數(shù)因子的乘積。1nx 對許許多多特殊對許許多多特殊n的值，考

13、查的值，考查 的分解式。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)：在分解式中，的分解式。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)：在分解式中，x的各次冪的所有系數(shù)的絕對值都不超的各次冪的所有系數(shù)的絕對值都不超過過1。實際上，。實際上，1nx 2123242543262211,111 ,111 ,1111 ,111 ,11111 ,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2248474643424039363534333231282624222017161514413127519862221.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 這表明它不具有所說的性質(zhì)。這表明它不具有所說的性質(zhì)。所有次數(shù)小于所有次數(shù)小于105的二項式都具有所說的性的二項式都具有所說的性質(zhì)，但當質(zhì)，但當n=105時，時， 的一個分解因子的一個分解因子是是1051x23 許多證明起來比較復(fù)雜的數(shù)學命題許多證明