2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)--專(zhuān)題五解析幾何第3講圓錐曲線(xiàn)中的最值、范圍、證明問(wèn)題練習(xí)含解析

1、第 3 講圓錐曲線(xiàn)中的最值、范圍、證明問(wèn)題破解睡點(diǎn)破解睡點(diǎn)1最值問(wèn)題函數(shù)最值法：當(dāng)題目中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.求函數(shù)最值的常用方法有（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）判別式法;單調(diào)性法；（5）三角換元法；（6）導(dǎo)數(shù)法等.高考真題略（2）當(dāng)l，x軸時(shí)不合題意，【關(guān)鍵1:研究直線(xiàn)l與x軸垂直的情況】故可設(shè)l:y=kx-2,Rx1,y1）,Qx2,丫2）,將丫=卜*2 代、X2222入 4-+y=1 得（1+4k）x-16kx+12=0.當(dāng)=16（4k研考點(diǎn)考向研考點(diǎn)考向破重點(diǎn)難點(diǎn)破重點(diǎn)難點(diǎn)_ _思維方法【基本不等式法】（2014-高考課標(biāo)全

2、國(guó)卷 I）已知點(diǎn)22A（0,2）,橢圓E:0+$=r,23,8k2J4k-3.、3)0,即k4 時(shí)，x12=-4k，【關(guān)鍵2:設(shè)出直線(xiàn)方1（ab0）的離心率為坐，F(xiàn)程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的橫坐標(biāo)與參數(shù)k的關(guān)系式】24.k+1;4k3從而|PQ=Mk2+1|x1x2|=工-2-.AB兩點(diǎn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為O,O為坐標(biāo)原3點(diǎn).（1）求E的方程；（2） 設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.2又點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ勺距離d=,144k2-3所以O(shè)PQ勺面積SAOPQ=d|PQ=4k2+1.【關(guān)鍵 3：用參數(shù)k表小面積】設(shè)、4k23=

3、t，則 t0,$OP斫=暨；=47因?yàn)?t+94,當(dāng)t+4t+4t且僅當(dāng) t=2,即k=士乎時(shí)等號(hào)成立，且滿(mǎn)足 A0,【關(guān)鍵 4:換元，利用基本不等式求最值】所以，當(dāng)OPQ勺面積最大時(shí)，k=gl的方程為y=i27x2或y=-2.【關(guān)鍵5：利用弦長(zhǎng)公式求出PQPG的表達(dá)式】2.18k(1+k)所以PQG勺面積 S=2|PQ|Pq=(1+2kb(2+k2)1,8k+k1+27+kk【關(guān)鍵6：將PQG勺面積表示成關(guān)于k的函數(shù)】1設(shè)1=卜+1,則由k0 得t2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1 時(shí)取等號(hào).因k略(2)證明：設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為 k,則其方程為y=kx(k0).y=kx,2、一 2 一一由 xy 倚 x=-

4、工.I 己 u=-2,貝 URu,uk),幣+會(huì)=1 產(chǎn)次產(chǎn)玄2Qu,-uk),E(u,0).【關(guān)鍵 1：巧換元，妙設(shè)點(diǎn)P、QE的坐標(biāo)】k-k_一于是直線(xiàn)QGW斜率為 2,萬(wàn)程為 y=2(x-u).【關(guān)鍵 2：求直【利用函數(shù)的單調(diào)性求最值】(2019高考全國(guó)卷n)已知點(diǎn)A(-2,0),R2,0),動(dòng)點(diǎn)Mx,y)滿(mǎn)足直線(xiàn)AM與1、，BM勺斜率之積為一萬(wàn).記M的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求C的方程， 并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE!x軸， 垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G證明：PQG1直角三角形；求PQGM積的最大值.線(xiàn)QG勺方程】k,、y=2(x-u

5、),2x一42?1設(shè)G(XG,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.*yG),則u和XG是方程*的解,由此得yG=uk32+k2.【關(guān)鍵 3:正確求出G點(diǎn)的坐標(biāo)】uk32+k2uk從而直線(xiàn)PG的斜率為“，加2,au(3k 十 2)zu2+kPG的斜率】所以PCXPG即PQ蛻直角三角形.由得|PQ=2u/i+k2,|Pq=型故XG=u(3k2+2)1、，.【關(guān)鍵 4:求直線(xiàn)kk.1k2+1八12,2+k為 S=不魯在2,+8)單調(diào)遞減，所以當(dāng) t=2,即 k=1 時(shí)，S取得最大值，最大值為。.因此，PQ(積的最大值為6.99典型例題22第(2019安徽宣城二模)已知橢圓C的方程為X+

6、y-=1,A是橢圓上的一點(diǎn)，且A在第一象限內(nèi)，過(guò)A且斜率等于一 1 的直線(xiàn)與橢圓C交于另一點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D(1)證明：直線(xiàn)BD的斜率為定值；(2)求4AB面積的最大值.一一、一.一、一,，八一八,、V2V1【解】【解】(1)證明：設(shè)D(xby。，RX2,y2),則A(X1,y,直線(xiàn)BD的斜率k=-一X2X122X1y1.+-=1,42V2y11X1+X2由22兩式相減得-L=-x,x2y2X2-X12y1+y2彳十5iy1y2y2-y11因?yàn)閗AB=1,所以k=二,X1+X2X2X121故直線(xiàn)BD的斜率為定值 2.(2)連接OB因?yàn)锳,D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以 SLABD=2SAOB

7、t；,一_11由(1)可知BD的斜率k=2,設(shè)BD的萬(wàn)程為y=2X+t,因?yàn)镈在第三象限，所以一 42vtb0）的離心率為焦距為 2.（1）求橢圓E的方程；13（2）如圖，動(dòng)直線(xiàn)l：y=kx交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線(xiàn)OC的斜率為k2,且卜此二里，M是線(xiàn)段OC長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且|MC：IAB=2：3,OM的半徑為|M（f,OSO設(shè) OM 的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為S,工求/SO砸最大值，并求取彳#最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率.c2_斛：（1）由題息知e=_=紜,2c=2,a2所以 a=q2,b=1,=111,y（X1+X2）24x1x2=1119632t（2017 高考山東卷）在平面直角坐標(biāo)系

8、3QE,x22因此橢圓E的方程為+y2=1.(2)設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),Fy2=i，1+8k1.21+4。由題意可知 sin 三用 rTTBC/1+8k|0C/1+4k2r2小+k2d+8k2.231+2k1聯(lián)立方程y=kix一亭,得(4k2+2)x2-4 于kix1=0,由題意知0,且xi+x2=2.3ki痛 7，2(2k2+1)所以 lAB=,1+k21x1x2|=，21+k：1+8k11+2k2由題意可知圓M的半徑r為r=3lAB32 必.1+皿 1+8%二二 2k2+1由題設(shè)知所以k2=4k1因此直線(xiàn)0a勺方禾呈為 v#x22.萬(wàn)+y=1聯(lián)立方程2y=x-xy4k1x得

9、x2=8k1211+4k2y=1+4k23 也 1+2k141+4k2W+k；22令 t=1+2ki,則t1,Je（o,1）,crn,ZSOT1所以 sin2/SOT兀v,26一一一.一兀所以/SOT最大值為.3綜上所述：/SOT勺最大值為-j,取得最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率為匕=*.范圍問(wèn)題1.幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線(xiàn)的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決.高考真題思維方法因此1竿3242t2+t12112+因此31一，2.代數(shù)法：代數(shù)法求范圍問(wèn)題，常需要根據(jù)條件構(gòu)造關(guān)于某個(gè)變量的不等式或函數(shù)表達(dá)式，然后利用求解不等式、基本不等式、函數(shù)值域(導(dǎo)數(shù)與不

10、等式、導(dǎo)數(shù)與方程)等方法求出范圍，要特別注意變量的取值范圍.高考真題思維方法(2018 高考浙江卷)如圖,(1)略已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線(xiàn)C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿(mǎn)足(1)設(shè)AB中點(diǎn)為 M 證明:PM垂直于y軸;(2)若P是半橢圓1(x0)上的動(dòng)點(diǎn),求PAB面積的取值范圍.y1+y2=2y。，(2)由(1)可知2y/2=8x。一y。,1,2.2、32所以|PM=g(丫1+y2)-x0=y03x。，|y1y2|=22(y。4x。).因此，PAB的面積 SPAB=【關(guān)鍵 1：利用根與系數(shù)的關(guān)系，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示PAB勺面積】2因?yàn)閤0+，=1(1wxo1,y1),N(x

11、2,y2).由x24222得(4k+3)x8kx.2+4k-12=0,【關(guān)鍵 1:分類(lèi)討論,當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立消元得(2016高考全國(guó)卷 I)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0 的圓心為A,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD點(diǎn)E.(1)證明|EA+IEB為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn) E 的軌跡為曲線(xiàn) C,直線(xiàn)l交C于MN兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ?積的取值范圍.則 xdx2=S，4k+312(k2+1)4k2+3.24k122x1x2=4k2+3,所以|MN=弋1+k|x

12、1x2|【關(guān)鍵 2:利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)】1過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線(xiàn)my=-(x-1),A到m的k一,2距離為【關(guān)鍵 3:利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求距離】所以|PQ=42-VkV14k3k2+1.【關(guān)鍵 4:利用圓中半徑、弦長(zhǎng)一半、弦心距的關(guān)系求弦長(zhǎng)】一一一一 1 一故四邊形MPNQJ面積 S=2|MNIPQ=111+4k2+3.【關(guān)鍵5：用直線(xiàn)斜率k表示四邊形MPNQJ面積】可得當(dāng)8W).l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQJ積的取彳 1 范圍為(12,【關(guān)鍵6：利用k20 求取值范圍】當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為 x=1,|MN=3,|PQ=8,四邊形MPN的面積為 12.【

13、關(guān)鍵 7:分類(lèi)討論，直線(xiàn)斜率不存在時(shí)四邊形MPNQJ面積】綜上，四邊形MPN面積的取彳 1 范圍為12,8r3).典型例題鈍國(guó)(2019安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)已知橢圓 C:22xy7+#=1(ab0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分3 別為Fi(1,0),F2(1,0),P為橢圓C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足 3|PF|=5|PF2|且 cos/FiPF=.5(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，一 1 一 4 一一，、點(diǎn)Q不0,若|AQ=|BQ,求k的取值范圍.【解】【解】(1)由題意設(shè)|PF|=1,|PE|=2,則 3r1=5 匕又1+2=2a,所以3r2=-a42y=123，消去y

14、得(3+4k)y=kx+m2、Mrt,8km4m12、,一，/2、公y2),則xdx2=3+4k2,x1x2=3+4k),且=48(3+4km)0,一，一，1因?yàn)閨AQ=|BQ,所以AB!QM又 Q,0,M為AB的中點(diǎn)，所以kw0,直線(xiàn)QM勺斜率3m-7223+4k.-3+4k-存在，所以k,kQMk,=一1,斛得m=一3，4km14k3+414求解范圍問(wèn)題的常見(jiàn)方法(1)利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的取值范圍，解決這類(lèi)問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系.回似方法5r1-4a，在APFFz中，由余弦定理得，cos/F1PE=222r

15、2+r2一|FF2|22r11252322：a+-a244532aa4435解得a=2,因?yàn)閏=1,所以b=ac=3,22所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 9 卜1.2x、T+(2)聯(lián)立方程4x2+8kmx+411212=0,設(shè)A(x1,y。，B(x2,設(shè)AB的中點(diǎn)為 Mx。，y。)，連接QM則xO=x1+x24km234k2,3my0=kx0+m=彳汞,把代入得3+4k2-號(hào)”整理得16k4+8k2-30,即(4k?1)(4k2+3)0,(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用函數(shù)的值域求范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是建立關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)

16、函數(shù)，通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)變量的取值范圍.在建立函數(shù)的過(guò)程中，要根據(jù)題目的其他已知條件把要求的量都用已知變量表示出來(lái)，同時(shí)要注意變量的取值范圍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2019 洛陽(yáng)模擬)已知 A,B是x軸正半軸上兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，且|AE|=a(a0),過(guò)A,B分別作x軸的垂線(xiàn)，與拋物線(xiàn)y2=2px(p0)在第一象限分別交于D,C兩點(diǎn).(1)若a=p,點(diǎn)A與拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)重合，求直線(xiàn)CD的斜率；Si(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記OCD勺面積為S,梯形ABCD勺面積為S2,求工的取值范圍.解：(1)由題意知Ap,0,則Bp+a,0,Dp,p,則Cp+a,Jp2+2pa,又a=p,222212

17、p所以=4p8pkb0,得kb2,所以kCD=22(2)設(shè)直線(xiàn)CD勺方程為y=kx+b(kw0),C(xi,yi),C(x2,y 公,y=kx+b2由2_2，得ky2py+2Pb=0,因?yàn)閨CD=業(yè)+k21xix2I=a,1+k2,點(diǎn)O到直線(xiàn)CD的距離d=r旦E，n+k21.2Ib|1所以S=-a-J1+k-2=rab.2.;1+k2又S2=2y1+y2)Ix1x2|=；fa=*,22kk因?yàn)?0kbp,所以 0S10,yiy2=_pb0,可知k0,b0,kk所以S2kb2?位置關(guān)系等等.證明時(shí)，常把幾何量用坐標(biāo)表示，建立某個(gè)變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明.高考真題思維方法(2018高考全國(guó)卷I)

18、設(shè)一X22,1橢圓 C-+y=1 的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與X軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)AM勺方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/OMA/OMB(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，/OMA?/OMB0.略【關(guān)鍵1:分類(lèi)討論(1與x軸重合)，證明/OMA：/OMB當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線(xiàn)，所以/OMAZOMB【關(guān)鍵 2：分類(lèi)討論(l與x軸垂直)，證明/OMA：/OMB當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x1)(kw0),Nxi,y1),B(x2,v4，【關(guān)鍵 3:設(shè)出直線(xiàn)方程及直線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)】則x1d2,x2J2,直線(xiàn)MA

19、MB勺斜率之和為kMA+kME=-y+vx12y2.x22由y1=kx1k,y2=kx2k得kMkMK2kx1x2-3k(xdx2)+4k(x12)(x22)【關(guān)鍵 4:用交點(diǎn)橫坐標(biāo)表示直線(xiàn)MAMB勺斜率之和】、x22一.22.2.2將 y=k(x1)代入萬(wàn)+y=1 得(2k+1)x-4kx+2k2=0.,2,2,4k2k2所以x1+x2d2-x1x2d2-2k+12k+1【關(guān)鍵 5:聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，用參數(shù)k表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)】3_33一4k4k12k+8k+4k則 2kxx23k(x+x2)+4k=2k2+1=0.從而klMA+kMB=0,【關(guān)鍵 6：把直線(xiàn)MAMB勺斜率之和用k表示并化

20、簡(jiǎn)，可證/OMA/OMB故直線(xiàn)MAMB勺傾斜角互補(bǔ)，所以/OMAZOMB綜上，/OMAZOMBX2y2x2v2證明：設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2),則=1,=43431.V1y2X1+X2y1+y2兩式相減，并由-=k 得一二+Q*=0.【關(guān)鍵 1：X1一X243點(diǎn)差法表示直線(xiàn)斜率】,X1+X2丫1+丫2一3_,由題設(shè)知2=1,y產(chǎn)=簿于是 k=4 布【關(guān)鍵 2:構(gòu)造函數(shù)】31由題設(shè)得0Vm0).1證明：k2;(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP+FA+FB=0.證明：IFA,IFp,IFB|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.+X2)=1,ys=(yH-y2)=2m3又點(diǎn)P在C上，所

21、以m=4,從而P1,2,|Fp=-,于是|FA|=弋(xi-1)234+y2=(xi1)2+314=2X1一 2.同理|FB|=2X2,所以|FA|+|由|=4芥1+*2)=3.【關(guān)鍵 4:用AB的橫坐標(biāo)表示向量FA,FB的模】故 2|FP|=|FA|十|FB,即|笛，|FP|,|FB成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為 d,則 21d|=|FB-|FA|=：|X1X2|=2j(X1+X2)24X1X2.【關(guān)鍵5:設(shè)出公差，并用AB的橫坐標(biāo)表示】公 37將 m=4 代入得 k=-1,所以 l 的方程為 y=-X+-,R、一、一-、一一o1 一入C的萬(wàn)程，并整理得 7x214x+：=0,故XI+X2=2

22、,X1X242=而.【關(guān)鍵 6：利用m與k的關(guān)系求k的值，與出 28直線(xiàn)l的方程，代入橢圓方程求出兩根之和與兩根之積】代入解得|d|=1.所以該數(shù)列的公差為節(jié)1或一42128.典型例題x3y1。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l：孑一第=1的斜率與直線(xiàn)0A的斜率乘積為一.(1)求橢圓C的方程；(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)y=x+t(tW0且teR)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為R與點(diǎn)A不重合)，直線(xiàn)AQAR與y軸分別交于兩點(diǎn)MN,求證：|AM=|AN.【解】【解】(1)由題意知，kOA.kl=-.J32=-2=-,23aa4即a2=4b2,-13_又孑+4F：1,(2)證明：設(shè)RXI,y。，QX2,y

23、2),則 RXI,一y。，由得x2+/3tx+t21=0,所以 A=4120,即一 2tb0)上,所以聯(lián)立，解得a=2b=1所以橢圓C的方程為X22.Z+y=1.3,y=2x+tx22+y=14所以 1AM=|AN|.法二：要證明|AM=|AN,可轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)AQAR與y軸的交點(diǎn)MN連線(xiàn)的中點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為23,即AS垂直平分MNP可.直線(xiàn)AQAR的方程分別為；313-y2-2 用-y1+23分別令 x=0,彳導(dǎo)yM=X2-12，yN=X1+12，；313-力-安-y1+2 廠所以yM+yN=X21+X1+1Y乎X1t+乎(X2-1)+乎X2t乎(X1+1)(X21)一q3xiX2t(X1+X

24、2)y(Xl+1)(X21)一串(t2-1)一 t(一木 t)一y3(X1+1)(X21)=-后ys=*2yL乎，即AS垂直平分MN所以|AM=|AN.幾何證明問(wèn)題的解題策略(1)圓錐曲線(xiàn)中的證明問(wèn)題，主要有兩類(lèi)：一是證明點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線(xiàn)上、某直線(xiàn)經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線(xiàn)平行或垂直等；二是證明直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).(2)解決證明問(wèn)題時(shí)，主要根據(jù)直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等,通過(guò)相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練X2y22(2019湖南省五市十校聯(lián)考)已知橢圓 C：丁+/=1(ab

25、0)的離心率為 22，右焦點(diǎn)為F,以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)X-丫+啦=0 相切.lAQ：y+3Q2+22X2-1J3y1(X1),IAR：y+-=_Xi-1(X1),(Xi+1)一.13(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，過(guò)定點(diǎn) R2,0)的直線(xiàn)l交橢圓C于 A,B兩點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交C于M求證：/PFM=/PFB解：(1)依題意可設(shè)圓O的方程為x2+y2=b2,因?yàn)閳A O 與直線(xiàn) xy+J2=0 相切，所以 b=!2|2=1,所以 a2c2=1,j1+1又|=事,所以 M2,UL4、E,X22所以橢圓C的方程為萬(wàn)+y2=1.(2)證明：依題意可知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)l

26、的方程為y=k(x2).y=k(x2)由x22得(1+2k2)x28k2x+8k22=0,2+y=1因?yàn)閘與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 A0,即 2k210.設(shè)A(x1,y。，B(x2,y2),直線(xiàn)AF,BF的斜率分別為kb.2.2w8k8k2則x1+x2=Ex1x2=iT即/PF陣/PFB練典型習(xí)題練典型習(xí)題G提數(shù)學(xué)素養(yǎng)提數(shù)學(xué)素養(yǎng)22，一xy1.已知F為橢圓 C:-+t-=1 的右焦點(diǎn)，M為C上的任意一點(diǎn).43求|MF的取值范圍；32 2)P,N是C上異于M的兩點(diǎn)，若直線(xiàn)PM與直線(xiàn)PN的斜率之積為一4,證明：MN兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).解：(1)依題意得 a=2,b=，3,所以 c=a2b2=1,

27、所以橢圓C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),k2,y1y2因?yàn)镕(1,0),所以k+g3+告k(x12)x1-1+k(x22)x21=2k-k117+7x11x21=2k-kxx1+x22x1x2一(x1+x2)-=2k-kx+18k21+2k228k228kL1+2k21+2k*1=2k-kx2-4k一 22k2-1=0,設(shè)橢圓C上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(XM,yM),22XMyM則 4+3=1,所以|MF=(XM-1)+yM=(XM1)+37XM=XM2XM+4=(XM4),444又一 2WXM2,所以 1W|MF2W9,所以 1W|MFb0)的左、右焦點(diǎn)分別為 E,ab為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左、

28、右頂點(diǎn))，AFE 的周長(zhǎng)為 4+2 也，且面積的最大值為也.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)B是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為p,OAOBO為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為yp),(XM,yM),(XN,yN),設(shè)直線(xiàn)PMPN的斜率分別為ki,k2,則直線(xiàn)PM的方程為yyp=ki(x-xp),消去V，所以XM=8ki(kixpyp).24k1Xp8kyp3X77-2XP=7723+4k13+4k1F2,Ak1,-1-k2,且k1k2=&求|Op的取值氾圍.解：(1)由橢圓的定義及AFF2 的周長(zhǎng)為4+2 小,可得 2(3+0)=4+273,所以 a+c=2+小.當(dāng)A在上(或下)頂點(diǎn)時(shí)，AFF2

29、的面積取得最大值，即bc=/,由及a2=c2+b2,得a=2,b=1,c=3,x22所以橢圓 C 的方程為：+y2=1.4111(2)當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，k1=-k2,因?yàn)閗1k2=-,所以 k=2,不妨取 k=2,1則直線(xiàn)OA的方程為 y=x,不妨取點(diǎn)A/,乎，則 B42,半，P(2,0),所以|0印=啦.y=kx+m當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+mA(x1,y。，B(x2,y2),由？+4？4可得(1+4k2)x2+8km桿 4n24=0,A=64k2M4(4k2+1)(4m24)=16(4k2+1n2)0,所以 4(kx1+n)(kx2+m)+x1x2=(4k2+1)xa+4knjx1+x2)+4ni=4n2-4-0,化簡(jiǎn)得 2m2=1+4k2(滿(mǎn)足式)，所以宿：.x+x2-4km2k1y0),則x0=-=/12=,y0=kx0+m=T21+4km2n4k