高中數(shù)學(xué)平面幾何例題

1、 必修2一、 平面幾何（一）直線1、 直線的斜率與傾斜角(1)斜率兩點(diǎn)的斜率公式：，則斜率的范圍：(2)直線的傾斜角范圍：（3）斜率與傾斜角的關(guān)系：注：（1）每條直線都有傾斜角，但不是每條直線都有斜率；（2）特別地，傾斜角為的直線斜率為；傾斜角為的直線斜率不存在。2、直線方程(1)點(diǎn)斜式：；適用于斜率存在的直線（2）斜截式：；適用于斜率存在的直線注：為直線在軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負(fù)，可為零（3）兩點(diǎn)式：；適用于斜率存在且不為零的直線（4）截距式：；適用于斜率存在，且不為零且不過原點(diǎn)的直線（5）一般式：（不同時(shí)為）（6）特殊直線方程斜率不存在的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：斜率

2、為的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：在兩軸上截距相等的直線：（）；（）在兩軸上截距相反的直線：（）；（）在兩軸上截距的絕對值相等的直線：（）；（）；（）3、平面上兩直線的位置關(guān)系及判斷方法（1）平行：且（注意驗(yàn)證）重合：且相交：特別地，垂直：（2）平行：且（驗(yàn)證）重合：且相交：特別地，垂直：（3）與直線平行的直線可設(shè)為：與直線垂直的直線可設(shè)為：4、其他公式（1）平面上兩點(diǎn)間的距離公式：，則（2）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）三角形重心坐標(biāo)公式：，則三角形的重心坐標(biāo)公式為：（4）點(diǎn)到直線的距離公式：（5）兩平行線間的距離：（用此公式前要將兩直線中的系數(shù)統(tǒng)一）（6）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的求法

3、：點(diǎn)為中點(diǎn)（7）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法：利用直線與直線垂直以及的中點(diǎn)在直線上，列出方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)。（二）、圓1、圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中為圓心，為半徑（2）圓的一般方程：，其中圓心為，半徑為(只有當(dāng)?shù)南禂?shù)化為1時(shí)才能用上述公式)注意：已知圓上兩點(diǎn)求圓方程時(shí)，注意運(yùn)用圓心在這兩點(diǎn)的垂直平分線上這個(gè)條件可簡化計(jì)算。2、直線與圓的位置關(guān)系(1)直線，圓，記圓心到直線的距離直線與圓相交,則或方程組的直線與圓相切，則或方程組的直線與圓相離，則或方程組的（2）直線與圓相交時(shí)，半徑，圓心到弦的距離，弦長，滿足：（3）直線與圓相切時(shí)，切線的求法：（）已知切點(diǎn)（圓上的點(diǎn)）求切線,有且只有一條切

4、線,切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直；（）已知切線斜率求切線，有兩條互相平行的切線，設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求出的值；（）已知過圓外的點(diǎn)求圓的切線，有兩條切線，若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為：，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求出的值；若切線的斜率不存在，則切線方程為，驗(yàn)證圓心到切線距離是否等于半徑。由圓外點(diǎn)向圓引切線，記兩點(diǎn)的距離為，則切線長（4）直線與圓相離時(shí)，圓心到直線距離記為，則圓上點(diǎn)到直線的最近距離為，最遠(yuǎn)距離為3、兩圓的位置關(guān)系圓，圓，兩圓圓心距離(1)兩圓相離，則（2）兩圓相外切，則（3）兩圓相交，則注：圓，圓相交，則兩圓相交弦方程為：（4）兩圓相內(nèi)切，則

5、（5）兩圓內(nèi)含，則特別地，當(dāng)時(shí)，兩圓為同心圓（三）、空間直角坐標(biāo)系1、右手系（與軸，軸平行或在軸，軸上的線段長度不變，與軸平行或在軸上的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?。?、空間兩點(diǎn)間的距離公式：，則3、空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則中點(diǎn)坐標(biāo)為二、立體幾何（一）三視圖與直觀圖1、三視圖：主視圖與左視圖要高平齊；主視圖與俯視圖要長對正；俯視圖與左視圖要寬相等2、直觀圖：（1）與軸，軸平行或在軸，軸上的線段長度不變，與軸平行或在軸上的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿＃?）原圖形與直觀圖面積之比為（二）平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面上。即：，則公理2：如果兩

6、個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線。即：，則，且公理3：經(jīng)過不在同一直線上的3點(diǎn)有且只有一個(gè)平面推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面（三）空間兩條直線的位置關(guān)系1、位置關(guān)系：（1）相交直線：在同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（2）平行直線：在同一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)（3）異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)2、平行直線(1)公理4（平行的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線平行即：，則（2）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平

7、行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。（延伸：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。）3、異面直線判定定理：過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。 即：，則與是異面直線（四）直線與平面的位置關(guān)系1、位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（或平面經(jīng)過直線）：有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，記作：（2）直線與平面相交：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，記作：（3）直線與平面平行：沒有公共點(diǎn)，記作：注：直線與平面相交，直線與平面平行統(tǒng)稱為直線在平面外。2、直線與平面平行（1）判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。即：，則（2）性質(zhì)定理：如果

8、一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。即：，則3、直線與平面垂直(1)判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。即：，則（2）性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。即：，則（3）重要性質(zhì)：如果直線與平面垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線。即：，則如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。即：，則（4）重要結(jié)論：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直（五）平面與平面的位置關(guān)系1、位置關(guān)系：（1）兩平面平行：沒有公共點(diǎn)，記

9、作：（2）兩平面相交：有一條公共直線，記作：2、兩平面平行（1）判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。即；，則（2）性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行。即:,則（3）重要性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面平行。即：，則如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面。即：，則3、兩平面垂直（1）判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。即：，則（2）性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。即：，則（六）

10、空間角1、異面直線所成的角：范圍：2、線面角（1）斜線與平面所成的角：范圍：（2）直線與平面所成的角：范圍：3、兩面角：二面角的平面角的范圍：（七）空間的距離1、點(diǎn)到面的距離2、直線與平面的距離3、兩平行平面間的距離（八）空間幾何體及側(cè)面積，體積1、多面體（1）棱柱：兩個(gè)底面是全等的多邊形，對應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱（側(cè)面都是矩形）（如：長方體）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱（如：正方體）側(cè)面積：（為底面周長，為高）體積：（為底面積，為高）（2）棱錐：底面是多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心，側(cè)面

11、是全等的等腰三角形。（如：正三棱錐，正四面體）側(cè)面積：（為底面周長，為斜高）體積：（為底面積，為高）（3）棱臺(tái)：底面是相似的多邊形，側(cè)面是梯形，各側(cè)棱延伸后交于一點(diǎn)正棱臺(tái)：底面是正多邊形，側(cè)面是全等的等腰梯形側(cè)面積：（分別為上、下底面周長，為斜高）體積：（分別為上、下底面面積，為高）2、旋轉(zhuǎn)體(1)圓柱：矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的。側(cè)面積：（為底面圓周長，為母線長）體積：（為底面圓面積，為高）（2）圓錐：直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的。側(cè)面積：（為底面圓周長，為母線長）體積：（為底面圓面積，為高）（3）圓臺(tái)：直角梯形繞著垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的。側(cè)面積：（

12、分別為上、下底面圓周長，為母線長）體積：（分別為上、下底面圓面積，為高）（4）球：半圓繞著直徑所在的直徑旋轉(zhuǎn)形成的。表面積：體積：選修11一、 常用邏輯用語1、 命題：可以判斷真假的語句（）四種命題：（1）定義：（分別表示原命題的條件和結(jié)論）原命題：若則逆命題：若則否命題：若則逆否命題：若則（2）四種命題的真假：互為逆否關(guān)系的命題同真假。即原命題與逆否命題同真假，逆命題與否命題同真假；在同一個(gè)命題的四種命題中真命題的個(gè)數(shù)要么個(gè)，要么個(gè)，要么個(gè)。（）簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的命題（1）“或”命題：表示可兼有但不必兼有，與并集意義相同“或”命題的真假：一真必真或真真真真假真假真真假假假（2）“且”命題：

13、表示兼有，與交集意義相同“且”命題的真假：一假必假且真真真真假假假真假假假假（3）“”命題表示否定，與補(bǔ)集意義相同“”命題的真假：真假相對真假假真命題的否定與否命題的區(qū)別：（i）命題的否定：把一個(gè)命題的結(jié)論改為與它相矛盾的判斷；否命題：同時(shí)否定命題的條件和結(jié)論（ii）對命題“若則”而言：否命題：若則； 命題的否定：若則。（）全稱命題和存在性命題（1）全稱命題：常見的全稱量詞有：“所有”、“任意”、“每一個(gè)”、“任意一個(gè)”、“一切”等定義：含有全稱量詞的命題。形式：全稱命題的否定：全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，肯定變?yōu)榉穸ǎ蔀榇嬖谛悦}。（2）存在性命題：常見的存在量詞有：“有一個(gè)”、“有些”、“存在

14、一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“某個(gè)”、“有的”等；定義：含有存在量詞的命題。形式：存在性命題的否定：存在量詞變?yōu)槿Q量詞，肯定變?yōu)榉穸?，成為全稱命題。2、 充分條件和必要條件(1)從邏輯推理上看若，但，則是的充分不必要條件；若，但，則是的必要不充分條件；若，則是的充要條件；若且，則是的既不充分又不必要條件。(2)從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè)滿足條件的元素構(gòu)成集合，滿足條件的集合構(gòu)成集合，則若，則是的充分不必要條件；若，則是的必要不充分條件；若，則是的充要條件；若且，則是的既不充分也不必要條件。（3）從與四種命題的關(guān)系上看若是的充分不必要條件，則原命題“若則”和逆否命題“若則”為真命題；逆命題“若則

15、”和否命題“若則”為假命題；若是的必要不充分條件，則原命題“若則”和逆否命題“若則”為假命題；逆命題“若則”和否命題“若則”為真命題；若是的充要條件，則四種命題都為真命題；若是的既不充分又不必要條件，則四種命題都為假命題。（4）判斷四種類型條件關(guān)系的方法：定義法：（i）分清條件和結(jié)論；（ii）判斷“”及“”的真假；（iii）根據(jù)定義下結(jié)論；集合法：運(yùn)用集合的思想解題，即求出條件和結(jié)論的集合；逆否法：將命題轉(zhuǎn)化為逆否命題，以便于判斷真假。二、 圓錐曲線（）橢圓（一）定義1、第一定義： 平面上到定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。 即為常數(shù)，且說明：（1）若定義中“常數(shù)等于”，則動(dòng)點(diǎn)

16、的軌跡為 線段（包括端點(diǎn)）； （2）若定義中“常數(shù)小于”，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在。2、第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線（不在上）的距離之比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是橢圓。即（為點(diǎn)到直線的距離）（二）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）：焦點(diǎn)在軸上時(shí)：；焦點(diǎn)在軸上時(shí)：說明：如何判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？哪個(gè)項(xiàng)的分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;定義法：利用橢圓的定義先求出，再求，從而得方程；待定系數(shù)法：（）定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)軸上，以便確定方程形式；（）定形：根據(jù)條件求出。說明：（1）若根據(jù)條件無法確定焦點(diǎn)所在的軸，則需分情況討論。 （2）若已知橢圓

17、經(jīng)過兩點(diǎn)，在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的時(shí)候，可設(shè)橢圓方程的一般式：。（三）橢圓的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形點(diǎn)的范圍橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)對稱性對稱軸軸，軸對稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)長軸線段長度稱為長半軸長短軸線段長度稱為短半軸長焦距線段長度的關(guān)系準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線間距離離心率公式范圍對應(yīng)圖形關(guān)系越接近于，橢圓越圓；越接近于，橢圓越扁。焦準(zhǔn)距通徑焦半徑公式范圍最大值為；最小值為。說明：（1）橢圓的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上； （2）橢圓的準(zhǔn)線總是垂直于實(shí)軸所在的直線。 （3）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓與兩點(diǎn)，則三角形的周長為； （4）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，為橢圓上任意一點(diǎn)（不在長軸上）,則三角形的周長為；若，則三角形的面積為；特別地，當(dāng)

18、時(shí)，三角形的面積為。 （5）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，若在橢圓上存在點(diǎn)使得，則；若在橢圓上存在點(diǎn)使得為鈍角，則。（）雙曲線（一）定義1、第一定義：平面上到定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。 即為常數(shù)，且說明：（1）若定義中“常數(shù)等于”，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；（2）若定義中“常數(shù)為零”，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段的垂直平分線；（3）若定義中“常數(shù)大于”則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；（4）若定義中去掉“絕對值”，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線的一支。2、第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線（不在上）的距離之比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。即（為點(diǎn)到直線的距離）（二）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（中心在

19、原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）：焦點(diǎn)在軸上時(shí)：；焦點(diǎn)在軸上時(shí)：說明：如何判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？哪個(gè)項(xiàng)的分母為正，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。（三）雙曲線的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形點(diǎn)的范圍橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)或?qū)ΨQ性對稱軸軸，軸對稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)軸線段長度稱為實(shí)半軸長虛軸線段長度稱為虛半軸長焦距線段長度的關(guān)系漸近線方程準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線間距離離心率公式范圍對應(yīng)圖形關(guān)系越大，雙曲線張口越大。焦準(zhǔn)距通徑焦半徑公式范圍最小值為。說明：（1）雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上；（2）雙曲線的準(zhǔn)線總是垂直于實(shí)軸所在的直線。（3）與漸近線有關(guān)的結(jié)論：求雙曲線漸近線方程時(shí)，可將雙曲線方程中的“1”換成“0”，然后因式分解即得漸近線

20、方程；若漸近線方程為，則雙曲線可設(shè)為；（）若雙曲線與有公共漸近線，則可設(shè)為；（）當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上.雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為；雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為。（4）等軸雙曲線（實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線）：方程可用（）；離心率；漸近線互相垂直，方程為。（5）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為，為雙曲線上任一點(diǎn)（不在實(shí)軸上），若，則三角形的面積為；特別地，當(dāng)時(shí)，三角形的面積為。（）拋物線1、定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線（不在上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。即（為點(diǎn)到直線的距離）說明：若定義中“定點(diǎn)在直線上”，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為過且垂直于的直線。2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形開口方

21、向向右向左向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸軸軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程點(diǎn)的取值范圍橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)離心率焦準(zhǔn)距通徑（通徑是最短的焦點(diǎn)弦）焦半徑3、拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：過拋物線的焦點(diǎn)的弦，設(shè)，的中點(diǎn)，則（1） 弦長（其中為的傾斜角）；（2） 以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切；（3） 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值，即三、導(dǎo)數(shù)1、函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為2、用定義求導(dǎo)數(shù)的方法：（1）求平均變化率：求函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率：（2）求瞬時(shí)變化率：當(dāng)時(shí)，（常數(shù)），則3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，則切線方程為4、導(dǎo)數(shù)在物理中的運(yùn)用：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)物體的位移為，則物體在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)物體的速度為，則物體在秒時(shí)的瞬時(shí)加速度為5、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（1）（為常數(shù)），（2），（3），特別地，（4），特別地，（5），（6），6、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：（1）（2）（3）特別地，（為常數(shù)）（4）（）7、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（1）單調(diào)性方法：一般