高中數(shù)學排列組合及二項式定理知識點

1、高中數(shù)學之排列組合二項式定理一、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理：分類計數(shù)原理：如果完成某事有幾種不同的方法，這些方法間是彼此獨立的，任選其中一種方法都能達到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的和。分步計數(shù)原理：如果完成某事，必須分成幾個步驟，每個步驟都有不同的方法，而個步驟中的任何一種方法與下一步驟中的每一個方法都可以連接，只有依次完成所有各步，才能達到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的積。區(qū)別：如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事，則選用分類計數(shù)原理，即類與類之間是相互獨立的，即“分類完成”；如果只有當個步驟都做完，這件事才能完成，則選用分步計

2、數(shù)原理，即步與步之間是相互依存的，連續(xù)的，即“分步完成”。二、排列與組合：（1）排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系：都是研究從一些不同的元素中取出個元素的問題；區(qū)別：前者有順序，后者無順序。（2）排列數(shù)、組合數(shù)：排列數(shù)的公式：注意：全排列：；記住下列幾個階乘數(shù)，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列數(shù)的性質：（將從個不同的元素中取出個元素，分兩步完成：第一步從個元素中選出1個排在指定的一個位置上；第二步從余下個元素中選出個排在余下的個位置上）（將從個不同的元素中取出個元素，分兩類完成：第一類：個元素中含有，分兩步完成：第一步將排在某一位置上，有不同的方法。第二步從余下個

3、元素中選出個排在余下的個位置上）即有種不同的方法。第二類：個元素中不含有，從個元素中取出個元素排在個位置上，有種方法。組合數(shù)的公式：組合數(shù)的性質：（從個不同的元素中取出個元素后，剩下個元素，也就是說，從個不同的元素中取出個元素的每一個組合，都對應于從個不同的元素中取出個元素的唯一的一個組合。）（分兩類完成：第一類：含，有種方法；第二類：不含，有種方法；）（第一步：先選出1個元素，第二步：再從余下個元素中選出個，但有重復，如先選出，再選出組成一個組合，與先選出，再選出組成一個組合是相同的，且重復了次）（分類：第一類：含，為；第二類：不含，含，為；第三類：不含，不含，含，為；）（將元素分成分成兩個

4、部分，第一部分含個元素，第二部分含個元素：在第一部分中取個元素，在第二部分不取元素，有；在第一部分中取個元素，在第二部分取1個元素，有；）（3）排列、組合的應用：解排列組合應用題時主要應抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步切記：排組分清(有序排列、無序組合)，分類分步明確排列組合應用問題主要有三類：不帶限制條件的排列或組合題；帶限制條件的排列或組合題；排列組合綜合題；解排列組合的應用題，通常有以下途徑：以元素為主，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素特殊元素法以位置為主，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置特殊位置法先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減不合要求

5、的排列數(shù)或組合數(shù)間接法（4）對解組合問題，應注意以下三點：對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎?，是解組合題的常用方法。是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”。命題設計“分組方案”是解組合題的關鍵所在。（3）解排列、組合題的基本策略與方法：去雜法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應用題時一種常用的解題方法。分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結論。這是解排列組合問題的基本策略之。注意的是：分類不重復不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常

6、分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。插入法（插空法）：某些元素不能相鄰采用插入法。即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。“捆綁”法：要求某些元素相鄰，把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列，即是“捆綁法”。窮舉法：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一排列出來。消序處理：對均勻分組問題在解決時，一定要區(qū)分開是“有序分組”還是“無序分組”，若是“無序分組”，一定要清除同均勻分組無形中產生的有序因素。三、二項式定理

7、：（1）通項：（2）二項式系數(shù)的性質：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即：二項展開式中，中間的一項或兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，即當為偶數(shù)時，第項的二項式系數(shù)最大，為；當為奇數(shù)時，第項及項的二項式系數(shù)最大，為；二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和等于，即；二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，即；（3）、展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為（4）二項式定理的應用：求展開式中的指定的項或特定項： 如：若，展開式中含有常數(shù)項，則的最小值是 ；求的展開式中的常數(shù)項。注意：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決。求展開式中的某一項的系數(shù)：如：在的展開式中，的系數(shù)是 ；求展開式中的系數(shù)和：如：的所有各項的系數(shù)和是（賦值法：令）；（令）求二項式展開式的系數(shù)最大項的問題：求展開式中系數(shù)最大的項，通常設展開式各項系數(shù)分別為；設第項系數(shù)最大，則；然后求出不等式組的整數(shù)解。如：求展開式中系數(shù)最大的項。利用二項式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）證明有關的不等式問題：有些不等式，可應用二項式定理，結合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當刪去(縮小)，或把某些負項刪去(放大)，使