金融工程復(fù)習(xí)寶典開卷考試必備

1、單元一：金融工程概述無套利定價(jià)法案例1.2假設(shè)種不支付紅利的股票目前的市價(jià)為10元，3個月后該股票價(jià)格或?yàn)?1元或?yàn)?元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，如何為一份3個月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)定價(jià)？構(gòu)建一個由一單位歐式看漲期權(quán)空頭和單位標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時無風(fēng)險(xiǎn)，必須滿足下式：該組合在期權(quán)到期時價(jià)值恒等于，所以無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：元由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市價(jià)為10元，因此元，當(dāng)該期權(quán)價(jià)格為0.31元時，市場就不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會，市場處于無套利均衡。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法案例1.3:為了用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

2、法求案例1.2的期權(quán)價(jià)格，假定在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。則根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，由于該期權(quán)到期回報(bào)為0.5元（股票上升時）和0（股票下跌時），再次運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，求出該期權(quán)的價(jià)值：元連續(xù)復(fù)利假設(shè)數(shù)額為A的資產(chǎn)以利率r投資n年。每年計(jì)一次復(fù)利，投資終值為：如果每年計(jì)m次復(fù)利，則終值為：當(dāng)m趨于無窮大時，就稱為連續(xù)復(fù)利，終值為：A元現(xiàn)值的n年現(xiàn)值為連續(xù)復(fù)利的年利率：與之等價(jià)每年計(jì)m次復(fù)利年利率：單元二：遠(yuǎn)期與期貨1、 遠(yuǎn)期與期貨的比較 交易場所；標(biāo)準(zhǔn)化程度；違約風(fēng)險(xiǎn)；合約雙方關(guān)系；價(jià)格確定方式；結(jié)算方式；結(jié)清方式不同2、 無收益資產(chǎn)、支付已知收益資產(chǎn)、支付已

3、知收益率證券的遠(yuǎn)期（或期貨）合約價(jià)值、價(jià)格的計(jì)算（定價(jià)）。 遠(yuǎn)期價(jià)值f：遠(yuǎn)期合約本身的市場合理價(jià)值。 E.g.一個交割價(jià)格為10元，交易數(shù)量為100單位、距離到期日還有1年的遠(yuǎn)期合約，如果標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的市場價(jià)格為15元，市場無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，則對多頭來說，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為元，對于空頭來說，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為-595元。遠(yuǎn)期價(jià)格F：使遠(yuǎn)期合約價(jià)值為0的交割價(jià)格。 E.g. F=16.58元，當(dāng)交割價(jià)格為16.58元時，該遠(yuǎn)期價(jià)值等于0。遠(yuǎn)期價(jià)格與交割價(jià)格的差異的貼現(xiàn)決定了遠(yuǎn)期價(jià)值。當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正

4、相關(guān)時，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價(jià)：（貼現(xiàn)債券）組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭f加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金。組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)S。t時刻：合約現(xiàn)值：無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理：由于遠(yuǎn)期價(jià)格F就是使遠(yuǎn)期價(jià)值f為0的交割價(jià)格K，即當(dāng)f=0時，K=F。據(jù)此令上式f=0，則：假設(shè)，即交易對手報(bào)出的交割價(jià)格大于現(xiàn)貨的終值。在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率r借入S現(xiàn)金，期限為T-t。然后用S購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時賣出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時刻，套利者可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)交割換得K現(xiàn)金，并歸還借款本息,從而實(shí)現(xiàn)的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。若KSe.，即交割價(jià)格小于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。套利者

5、可以進(jìn)行反向操作，即賣空標(biāo)的資產(chǎn)，將所得收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率r進(jìn)行投資，期限為T-t。同時買進(jìn)一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時刻，套利者將收到投資本息，并以K現(xiàn)金購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)Se.-K的利潤。案例3.1無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值：目前，6個月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為4.17%。市場上正在交易一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為970元，該債券的現(xiàn)價(jià)為960元。請問：對該遠(yuǎn)期合約的多頭和空頭來說，遠(yuǎn)期價(jià)值分別是多少？S=960,K=970，r=4.17%，T-t=0.5，該遠(yuǎn)期合約多頭的遠(yuǎn)期價(jià)值f為：元該遠(yuǎn)期合

6、約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為-f=-10.02元案例3.2：無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格目前，3個月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為3.99%，市場上正在交易一個期限為3個月的股票遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票不支付紅利且當(dāng)時市價(jià)為40元。那么根據(jù)，這份遠(yuǎn)期合約的合理交割價(jià)格應(yīng)為元假設(shè)市場上該合約的交割價(jià)格為40.20元，則套利者可以賣空股票并將所得收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，期末可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤40.40-40.20=0.20元。反之，如果市場上遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格大于40.40元，如40.80元，套利者可以借入40元買入股票并以40.80元的價(jià)格賣出遠(yuǎn)期合約，期末也可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤0.40元。遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)案例3.3：無

7、收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格期限結(jié)構(gòu)目前，3個月期與6個月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為3.99%與4.17%。某不支付紅利的股票3個月遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格為20元，該股票6個月期的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)為多少？支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)：（附息債券、支付已知現(xiàn)金紅利的股票、黃金白銀）組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金。組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從當(dāng)前時刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。案例3.4：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值目前，6個月期與1年期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為4.17%和4.11%。市場上一種10年期國債現(xiàn)貨價(jià)格為990元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為10

8、01元，該債券在6個月和12個月后都將收到60元的利息，且第二次付息在遠(yuǎn)期合約交割之前，求該合約的價(jià)值。計(jì)算該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值：元（I要貼現(xiàn)）計(jì)算該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為：元該合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為87.04元支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理：案例3.5：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價(jià)格：假設(shè)黃金現(xiàn)價(jià)為每盎司733美元，其存儲成本為每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為4%。則一年期黃金期貨的理論價(jià)格為式中，（I要貼現(xiàn))故，（美元/盎司）支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)：組合A:一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為的現(xiàn)金。組合B:單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該

9、資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算得已知收益率。支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期評價(jià)公式：課后習(xí)題1、假設(shè)一種無紅利支付的股票目前的市價(jià)為20 元，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該股票3 個月期遠(yuǎn)期價(jià)格。如果3個月后該股票的市價(jià)為15元，求這份交易數(shù)量為100單位的遠(yuǎn)期合約多頭方的價(jià)值。三個月后，對于多頭來說，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為2、 假設(shè)一種無紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，市場上該股票的3個月遠(yuǎn)期價(jià)格為23元，請問應(yīng)如何進(jìn)行套利？，在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率10%借入現(xiàn)金X元三個月，用以購買單位的股票，同時賣出相應(yīng)份數(shù)該股票的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為23元。三個月后，該

10、套利者以單位的股票交割遠(yuǎn)期，得到元，并歸還借款本息元，從而實(shí)現(xiàn)元的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。4、 某股票預(yù)計(jì)在2個月和5個月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價(jià)等于30元，所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?個月期的遠(yuǎn)期合約空頭，交易單位為100。請問：1該遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值等于多少？（2）3個月后，該股票價(jià)格漲到35元，無風(fēng)險(xiǎn)利率仍為6%，此時遠(yuǎn)期價(jià)格和該合約空頭價(jià)值等于多少？（1）2個月和5個月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值=e-0.062/12+e-0.065/12=1.97元。遠(yuǎn)期價(jià)格=(30-1.97)e0.060.5=28.88元。

11、 若交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，則遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)值為0。（2）在3個月后的這個時點(diǎn)，2個月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值= e-0.062/12=0.99元。遠(yuǎn)期價(jià)格=（35-0.99）e0.063/12=34.52元。此時空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值=100(28.88-34.52）e-0.063/12 =-556元。3、 遠(yuǎn)期與期貨的三大運(yùn)用領(lǐng)域：套期保值、套利、投機(jī)?；铒L(fēng)險(xiǎn)：b特定時刻的基差，H是需要進(jìn)行套期保值的現(xiàn)貨價(jià)格，G是用以進(jìn)行套期保值的期貨價(jià)格。在1單位現(xiàn)貨空頭用1單位期貨多頭進(jìn)行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益：在1單位現(xiàn)貨多頭而用1單位期貨空頭進(jìn)行套期保值的情況下，投資者的套期保值收益：當(dāng)前時刻的基差是已知的，是否確定則決定了套期保值收益是否確定，是否能夠完全消除價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)?？梢赃M(jìn)一步將分解為表示套期保值結(jié)束時，期貨標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格。源自的不確定性就被稱為基差風(fēng)險(xiǎn)。多頭套期保值的受益來源：基差減小 條件：（1）現(xiàn)貨價(jià)格的漲幅小于期貨價(jià)格的漲幅（2） 現(xiàn)貨價(jià)格的跌幅大于期貨價(jià)格的跌幅 （3） 現(xiàn)貨價(jià)格下跌而期貨價(jià)格上漲套期保值比率：指用于套期保值的資產(chǎn)（如遠(yuǎn)期和期貨)頭寸對被套期保值的資產(chǎn)頭寸的比率，即在1單位現(xiàn)貨空頭用n單位期貨多頭進(jìn)行