非常好的定積分與微積分基本定理復(fù)習(xí)講義

1、定積分與微積分基本定理復(fù)習(xí)講義備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2.了解微積分基本定理的含義.1.考查形式多為選擇題或填空題2.考查簡單定積分的求解3.考查曲邊梯形面積的求解4.與幾何概型相結(jié)合考查歸納·知識(shí)整合1定積分(1)定積分的相關(guān)概念：在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時(shí)，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲

2、邊梯形的面積(左圖中陰影部分)一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa，xb之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)(3)定積分的基本性質(zhì)： kf(x)dxkf(x)dx.f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.探究1.若積分變量為t，則f(x)dx與f(t)dt是否相等？提示：相等2一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，反過來導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)唯一嗎？提示：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是唯一的，而導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)則有無窮多個(gè)

3、，這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時(shí)，只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，這樣有利于計(jì)算3定積分f(x)g(x)dx(f(x)>g(x)的幾何意義是什么？提示：由直線xa，xb和曲線yf(x)，yg(x)所圍成的曲邊梯形的面積2微積分基本定理：如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式 為了方便，常把F(b)F(a)記成F(x)，即 f(x)dxF(x)F(b)F(a)課前預(yù)測：1.dx等于()A2ln 2B2ln 2 Cln 2 D

4、ln 22(教材習(xí)題改編)一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度和時(shí)間的關(guān)系為V(t)t2t2，質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，則此物體在時(shí)間1,2內(nèi)的位移為()A. B. C. D.3(教材習(xí)題改編)直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊梯形的面積為_4(教材改編題)dx_.5由y，直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_考點(diǎn)一 利用微積分基本定理求定積分例1利用微積分基本定理求下列定積分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)x(x1)dx；(4)dx；(5) sin2dx.求定積分的一般步驟：(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；(2)把定積分用定積分性質(zhì)

5、變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)；(4)利用牛頓萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值；(5)計(jì)算原始定積分的值強(qiáng)化訓(xùn)練：1求下列定積分：(1)|x1|dx；(2) dx.考點(diǎn)二 利用定積分的幾何意義求定積分例2dx_.變式：在本例中，改變積分上限，求dx的值 利用幾何意義求定積分的方法(1)當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜，定積分很難直接求出時(shí)，可考慮用定積分的幾何意義求定積分(2)利用定積分的幾何意義，可通過圖形中面積的大小關(guān)系來比較定積分值的大小強(qiáng)化訓(xùn)練：2(2014·福建模擬)已知函數(shù)f(x)(cos tsin t)dt(x>0)，則f(x)的最大

6、值為_考點(diǎn)三：利用定積分求平面圖形的面積例3(2014·山東高考)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4C. D6變式訓(xùn)練：若將“yx2”改為“yx2”，將“y軸”改為“x軸”，如何求解？利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1)畫出曲線的草圖(2)借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限(3)將“曲邊梯形”的面積表示成若干個(gè)定積分的和或差(4)計(jì)算定積分，寫出答案強(qiáng)化訓(xùn)練：3 (2014·鄭州模擬)如圖，曲線yx2和直線x0，x1，y所圍成的圖形(陰影部分)的面積為()A.B.C.D.考點(diǎn)四：定積分在物理中的應(yīng)用例4列車以72 km/h的速

7、度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度a0.4 m/s2，問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時(shí)間，以及離車站多遠(yuǎn)處開始制動(dòng)？1變速直線運(yùn)動(dòng)問題如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程為v(t)dt；如果做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過的路程為v(t)dt.2變力做功問題物體在變力F(x)的作用下，沿與力F(x)相同方向從xa到xb所做的功為F(x)dx.強(qiáng)化訓(xùn)練：4一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F(x)相同的方向運(yùn)動(dòng)了4米，力F(x)做功為()A44 JB46

8、JC48 J D50 J1個(gè)定理微積分基本定理由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算3條性質(zhì)定積分的性質(zhì)(1)常數(shù)可提到積分號(hào)外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進(jìn)行3個(gè)注意定積分的計(jì)算應(yīng)注意的問題(1)若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須分清誰是積分變量；(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限不小于積分下限；(3)面積非負(fù)， 而定積分的結(jié)果可以為負(fù). 易誤警示利用定積分求平面圖形的面積的易錯(cuò)點(diǎn)典例(2013·上海高考)已知函數(shù)yf(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函數(shù)yxf(x)(0x1)的

9、圖象與x軸圍成的圖形的面積為_1本題易寫錯(cuò)圖形面積與定積分間的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤2本題易弄錯(cuò)積分上、下限而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，實(shí)質(zhì)是解析幾何的相關(guān)知識(shí)和運(yùn)算能力不夠致錯(cuò)3解決利用定積分求平面圖形的面積問題時(shí)，應(yīng)處理好以下兩個(gè)問題：(1)熟悉常見曲線，能夠正確作出圖形，求出曲線交點(diǎn)，必要時(shí)能正確分割圖形；(2)準(zhǔn)確確定被積函數(shù)和積分變量變式訓(xùn)練：1由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()A.B.C.D.2(2014·山東高考)設(shè)a>0.若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_. 定積分與微積分基本定理檢測題一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.dx

10、()Aln xln2xB.1C. D.2(2012·湖北高考)已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()A. B.C. D.3設(shè)函數(shù)f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，則x0等于()A±1 B.C± D24設(shè)f(x)則f(x)dx()A. B.C. D不存在5以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t秒時(shí)刻的速度v4010t2，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為()A. m B. mC. m D. m6(2013·青島模擬)由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A. B1C. D.二、填空題(本

11、大題共3小題，每小題5分，共15分)7設(shè)asin xdx，則曲線yf(x)xaxax2在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為_8在等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1，a4(12x)dx，則該數(shù)列的前5項(xiàng)之和S5等于_9(2013·孝感模擬)已知a，則當(dāng)(cos xsin x)dx取最大值時(shí)，a_.三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10計(jì)算下列定積分：(1) sin2xdx； (2)2dx； (3)e2xdx.11如圖所示，直線ykx分拋物線yxx2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值12如圖，設(shè)點(diǎn)P從原點(diǎn)沿曲線yx2向點(diǎn)A(2,4)移動(dòng)，直線OP與曲線yx2圍成圖形的面積為

12、S1，直線OP與曲線yx2及直線x2圍成圖形的面積為S2，若S1S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo) 備選習(xí)題1一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其vt曲線如圖所示，則該物體在 s6 s間的運(yùn)動(dòng)路程為_2計(jì)算下列定積分：(1) (3x22x1)dx； (2)dx.3求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積4某技術(shù)監(jiān)督局對(duì)一家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢測時(shí)，得到了下面的資料：這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律屬于變速直線運(yùn)動(dòng)，且速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式v(t)某公司擬購買一臺(tái)顆粒輸送儀，要求1 min行駛的路程超過7 673 m，問這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀能否被列入

13、擬挑選的對(duì)象之一？ 定積分與微積分基本定理復(fù)習(xí)講義答案前測：1.2ln 2例：(1).(2)2.(3).(4)e4e2ln 2.(5).變式：解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.例：自主解答dx表示y與x0，x1及y0所圍成的圖形的面積由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y與x0，x1及y0所圍成的圖形為個(gè)圓，其面積為.dx.互動(dòng)：解：dx表示圓(x1)2y21在第一象限內(nèi)部分的面積，即半圓的面積，所以

14、dx.變式.1例.互動(dòng)：.變式.例：自主解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.設(shè)t s后的速度為v，則v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)設(shè)列車由開始制動(dòng)到停止所走過的路程為s，則svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20×500.2×502500(m)，即列車應(yīng)在進(jìn)站前50 s和進(jìn)站前500 m處開始制動(dòng)變式.46典例：解析由題意可得f(x)所以yxf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx錯(cuò)誤！未找到引用源。(10x10x2)dxx3錯(cuò)誤！未找到引用源。. 答案 變式5.檢測題答案.42ln 2.10.解：(1) . (2)ln . (3) e.11.解：拋物線yxx2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x10，x21，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積S(xx2)dx. 又由此可得，拋物線yxx2與ykx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.12.解：設(shè)直線OP的方程為ykx，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(kxx2)dx(x2kx)dx，即，解得kx2x32k，解得k，即直線OP的方程為yx，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.備選題：1.解析：由題圖可知，v(t)因此該物體在 s6 s間運(yùn)動(dòng)的路程為sv