隨機過程作業(yè)

1、要求：前六個題每人選3個，第7題到第14題每人任選1個。第三章Poisson過程1、設(shè)是強度為的Poisson過程，令，其中L>0為常數(shù)，求的一維分布，均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。2、設(shè)是強度為的Poisson過程，證明對于任意的，3、設(shè)有兩個相互獨立，強度分別為的Poisson過程，證明在過程中兩個相鄰事件間，過程出現(xiàn)k個事件的概率為4、設(shè)復(fù)合Poisson過程，證明也是平穩(wěn)獨立增量過程。5、對于齊次泊松過程，計算的聯(lián)合分布。6、產(chǎn)生一個泊松隨機變量。設(shè)隨機變量列服從（0，1）上的的均勻分布，且相互獨立：若,證明服從參數(shù)為的指數(shù)分布；若定義為滿足下式之值：，其中利用證明服從均值為的泊松分布。7

2、、考慮一個從底層起動上升的電梯。以記在第層進入電梯的人數(shù)。設(shè)相互獨立，且是均值為的泊松變量。在第層進入的各個人相互獨立地以概率在第層離開電梯。=1，令為第層離開電梯的人數(shù)。求；的分布是什么？的聯(lián)合分布是什么？8、考慮一個具有個面的骰子，且假定每擲一次只呈現(xiàn)其一面，第面以概率出現(xiàn)，。給定數(shù)，以記直到第面出現(xiàn)次時所需擲次數(shù)，。令,于是是對某個,第面出現(xiàn)次時所需擲次數(shù).的分布是什么?諸獨立嗎?設(shè)拋擲是在參數(shù)為=1的泊松過程所產(chǎn)生的隨機來到時刻進行的。以記直到第面出現(xiàn)次所需要時間，令， 的分布是什么?諸獨立嗎?導(dǎo)出的表達式。用導(dǎo)出的表達式。9、個體按照參數(shù)為的泊松過程進入系統(tǒng)。每個來到的個體相互獨立地

3、經(jīng)歷系統(tǒng)的狀態(tài)。以記一個體來到后經(jīng)過時間處于狀態(tài)的概率。以記在時刻處于狀態(tài)的個體數(shù)。證明相互獨立且服從均值為一個體從進入系統(tǒng)到時止處于狀態(tài)的時間。10、證明非齊次泊松過程的增量服從均值為的泊松分布。11、一個二維泊松過程是在平面上隨機發(fā)生的事件構(gòu)成的過程，使得（i）對于任一面積為的區(qū)域，其中的事件數(shù)服從均值為的泊松分布；（ii）不相交的區(qū)域中的事件數(shù)是相互獨立的。對此過程，考慮平面上任意一點，以記它與最近的事件間的距離，此處的距離是指通常的歐氏距離。證明 ；。12、設(shè)是復(fù)合泊松過程，計算。13、對一個條件泊松過程：（a） 解釋為什么條件泊松過程有平穩(wěn)增量但無獨立增量。（b） 在已知,即過程直到時的歷史資料條件下，計算的條件分布，并且證明它只依賴于。解釋為什么會是這樣的。（c） 在已知=的條件下，計算之后第一個事件發(fā)生的時刻的條件分布。（d） 計算（e） 以表示來到間隔，它們獨立嗎？它們同分布嗎？14、考慮一個條件泊松過程，其中服從參數(shù)為與