自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)

1、北京石油化工學(xué)院2013屆優(yōu)秀畢業(yè)論文自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)通信工程專業(yè) 熊潔指導(dǎo)教師 張寧 教授摘 要: 最小二乘(RLS)法是一種典型的有效的數(shù)據(jù)處理方法。它使各項實際觀測值和計算值之間的差的平方乘以度量其精度的數(shù)值以后的和為最小。這就是著名的最小二乘法。遞推最小二乘法(RLS)是最小二乘法的一類快速算法。本文基于matlab進(jìn)行仿真，設(shè)計了M文件，研究不同輸入和信噪比濾波器的性能。通過對比實驗，分析收斂性和濾波效果，確定了濾波器正則化系數(shù)的選取。關(guān)鍵詞: 自適應(yīng)濾波器，最小二乘法，matlab仿真1 引言自適應(yīng)濾波器屬于現(xiàn)代濾波的范疇，它是40年代發(fā)展起來的自適應(yīng)信號處理領(lǐng)域的一個重要

2、應(yīng)用，自適應(yīng)信號處理主要是研究結(jié)構(gòu)可變或可調(diào)整的系統(tǒng)，可以通過自身與外界的接觸來改善自身對信號處理的性能，通常這類系統(tǒng)是時變的非線性系統(tǒng)，可以自動適應(yīng)信號傳輸?shù)沫h(huán)境和要求，無須詳細(xì)的知道信號的結(jié)構(gòu)和實際知識，無須精確設(shè)計處理系統(tǒng)本身。自適應(yīng)系統(tǒng)的非線性特性主要是由系統(tǒng)對不同的信號環(huán)境實現(xiàn)自身參數(shù)的調(diào)整來確定的。自適應(yīng)系統(tǒng)的時變特性主要是由其自適應(yīng)響應(yīng)或自適應(yīng)學(xué)習(xí)過程來確定的，當(dāng)自適應(yīng)過程結(jié)束和系統(tǒng)不再進(jìn)行時，有一類自適應(yīng)系統(tǒng)可成為線性系統(tǒng)，并稱為線性自適應(yīng)系統(tǒng)，因為這類系統(tǒng)便于設(shè)計且易于數(shù)學(xué)處理，所以實際應(yīng)用廣泛。本文研究的自適應(yīng)濾波器就是這類濾波器。自適應(yīng)濾波器是相對固定濾波器而言的，固定濾

3、波器屬于經(jīng)典濾波器，它濾波的頻率是固定的，自適應(yīng)濾波器的頻率則是自動適應(yīng)輸入信號而變化的，所以其適用范圍更廣。在沒有任何信號和噪聲的先驗知識的條件下，自適應(yīng)濾波器利用前一時刻已獲得的濾波器參數(shù)來自動調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知或隨機(jī)變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。近十幾年來，自適應(yīng)濾波理論和方法得到了迅速的發(fā)展，究其原因是因為自適應(yīng)濾波器相比于其他一般的濾波器在濾波性能、設(shè)計實現(xiàn)的難易程度、對外部環(huán)境的復(fù)雜程度的適應(yīng)能力和對系統(tǒng)先驗統(tǒng)計知識的依賴程度等方面都顯現(xiàn)出強(qiáng)大的優(yōu)勢。自適應(yīng)濾波器具有很強(qiáng)的自學(xué)習(xí)、自跟蹤能力和算法的簡單易實現(xiàn)性，它在噪聲量化信號的檢測增強(qiáng)，噪聲干擾的抵

4、消，通信系統(tǒng)的自適應(yīng)均衡，圖象的自適應(yīng)增強(qiáng)復(fù)原以及未知系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)辯識等方面都有廣泛的應(yīng)用。本文僅討論自適應(yīng)濾波器在噪聲干擾的抵消方面的原理、算法及仿真。2 遞歸最小二乘法所謂的自適應(yīng)濾波，就是利用前一時刻以獲得的濾波器參數(shù)的結(jié)果，自動的調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器實質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達(dá)到最優(yōu)的維納濾波器。自適應(yīng)濾波器不需要關(guān)于輸入信號的先驗知識，計算量小，特別適用于實時處理。2.1遞歸最小二乘法原理遞歸最小二乘估計算法是以最小誤差平方和為優(yōu)化目標(biāo)，它是在在最小二乘基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。用最小二乘法解決線性

5、濾波問題，這種方法不需要對濾波器輸入信號的統(tǒng)計特性進(jìn)行假設(shè)。為了說明最小二乘法的基本思想，假定有一組實數(shù)，它們分別取自時刻。要求構(gòu)造一條曲線，這條曲線能夠以某種最優(yōu)方式擬合這些數(shù)據(jù)點?，F(xiàn)用表示這條曲線與時間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)最小二乘法，“最優(yōu)”擬合是使與，之差的平方和的代價函數(shù)最小。誤差函數(shù)定義為 公式（1）式中， 為期望響應(yīng)，是抽頭輸入向量，為抽頭增益向量。遞歸最小二乘的代價函數(shù)定義如下： 公式（2）要完成RLS算法就是要找到抽頭向量，使得代價函數(shù)最小。RLS算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子。該遺忘因子的引入，使RLS算法能夠?qū)Ψ瞧椒€(wěn)信號進(jìn)行跟蹤。粗略的說，的倒數(shù)可以用來衡量算法的記憶能力；而的特殊情

6、況，則對應(yīng)于無限記憶。本文后續(xù)實驗部分默認(rèn)。式中是一個正實數(shù)，稱為正則化參數(shù)。將這一項包含在代價函數(shù)中，一遍通過平滑作用來穩(wěn)定遞歸最小二乘問題的解。將抽頭輸入向量的時間平均相關(guān)矩陣表示為 公式（3）橫向濾波器抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的時間平均互相關(guān)向量為 公式（4）通過計算，得出遞歸最小二乘問題的正則方程可用矩陣形式寫為 公式（5）將對應(yīng)于的項與式（3）右邊的求和項分開，可寫出 公式（6）根據(jù)定義，式（6）右括號內(nèi)的表達(dá)式等于相關(guān)矩陣。于是，可使得用于更新抽頭輸入相關(guān)矩陣的遞歸公式 公式（7）其中是相關(guān)矩陣的過去值，矩陣乘積在更新過程中起著修正的作用。式（7）的遞歸過程與初始條件無關(guān)。類似的，可

7、用式（3）導(dǎo)出抽頭輸入與期望響應(yīng)之間互相關(guān)向量的更新公式 公式（8）為了按式（3-31）計算抽頭權(quán)向量的最小二乘估計，必須確定相關(guān)矩陣的逆。然而在實際中，我們通常盡量避免這樣做，因為這種運(yùn)算非常耗時，特別是當(dāng)抽頭數(shù)很大時。為此，我們先引入一個著名的結(jié)果矩陣求逆引理。設(shè)和是兩個正定矩，他們之間的關(guān)系為 公式（9）其中，是正定矩，是矩陣。根據(jù)矩陣求逆引理，可將的矩陣表示為 公式（10）假定相關(guān)矩陣是非奇異的，因而它可逆。我們對式（5）所表示的遞歸方程應(yīng)用矩陣求逆引理，首先做如下設(shè)定 公式（11）然后將這些定義代入求逆引理，可得計算相關(guān)矩陣的遞歸方程如下 公式（12）為了方便計算，令 公式（13）和

8、 公式（14）用上面的定義，可將式（12）改寫為 公式（15） 矩陣叫做逆相關(guān)矩陣，向量叫做增益向量。式（15）是RLS算法的Riccati方程。整理式（14），可得 公式（16）即： 公式（17）從式（15）可以看出，式（17）右邊最后一行括號里的表達(dá)式等于。因此，我們可將式（17）簡化為 公式（18）這一結(jié)論，連同，可以用來定義增益向量 公式（19）換句話說，增益向量可定義為經(jīng)相關(guān)矩陣逆矩陣變換的抽頭輸入向量。下面導(dǎo)出更新抽頭權(quán)向量最小二乘估計的遞歸公式。為此，用式（2）、式（7）和式（12）來表示抽頭權(quán)向量n次迭代的最小二乘估計 公式（20）將式（20）右邊第一項中用式（15）代替，可得

9、 公式（21）最后，應(yīng)用等于增益向量，可使得更新抽頭權(quán)向量的遞歸方程為 公式（22）其中 公式（23）是一個先驗誤差。內(nèi)積表示基于時刻抽頭權(quán)向量最小二乘估計舊值得期望響應(yīng)的估值。2.2 RLS算法小結(jié)算法初始化 公式（24）對每一時刻，計算 公式（25） 公式（26） 公式（27） 公式（28）3.RLS自適應(yīng)濾波器M文件的設(shè)計與仿真根據(jù)前面介紹的LS算法，用MATLAB設(shè)計RLS自適應(yīng)濾波器。本文一共做了三個實驗，下面進(jìn)行仿真與分析。3.1 正弦波去噪實驗原始信號為單一正弦波，加入方差為0.8的隨機(jī)高斯噪聲，濾波器輸入信號為，輸出信號為。運(yùn)行結(jié)果如下： 圖1 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化

10、圖 圖2 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖為0.8的隨機(jī)高斯噪聲，得到濾波器輸入信號，從頻譜圖可以看出，包含原始信號有很多頻率。圖3中紅色部分為經(jīng)過RLS濾波器后的輸出信號，藍(lán)色部分為誤差信號?？梢钥闯稣`差信號較小。由上可知，濾波效果較好。3.2 濾波器正則化參數(shù)的確定RLS算法有兩個特殊的可變參數(shù)：抽頭輸入數(shù)據(jù)的信噪比，這個量由運(yùn)行的條件決定；正則化參數(shù)。以下做了對比實驗，在輸入為正弦波，控制加性高斯噪聲的均值，相同均值的隨機(jī)的噪聲都保持不變。來實現(xiàn)不同信噪比，分析正則化參數(shù)的在最佳選擇。4.2.1 高信噪比原始輸入信號是幅值為1的正弦波，噪聲方差為0.1。實驗組1：實驗組2：運(yùn)行得到圖4

11、。 圖3 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖 圖4 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖實驗組2程序與實驗組1大部分相同，改變Delta=0.0001運(yùn)行得到圖5。 圖5 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖 圖6 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖當(dāng)信噪比較高時，實驗組1抽頭系數(shù)在4000開始收斂，實驗組2抽頭系數(shù)在500開始收斂。兩組誤差信號都很小。不難看出，實驗組2收斂速度更快。4.2.2 低信噪比原始輸入信號是幅值為1的正弦波，噪聲方差為0.8。實驗組1：實驗組2：實驗程序與高信噪比時大部分一樣，變動的語句：b=0.8*randn(1,N)。其它部分這里就不再重復(fù)。當(dāng)信噪比較低時，實驗組1

12、抽頭系數(shù)在1800開始收斂，誤差信號較小。實驗組2抽頭系數(shù)在500開始收斂，但是誤差信號波動較大。綜合考慮。實驗組1的全局性能較好。4.2.3 結(jié)論 綜合上述兩組對比實驗，當(dāng)抽頭輸入噪聲電平低（即輸入信噪比較高）時，RLS算法的正則化系數(shù)取較小的正常數(shù)收斂速度更快，濾波效果也較好。當(dāng)抽頭輸入噪聲電平高（即輸入信噪比較低）時，RLS算法的正則化系數(shù)取較大的正常數(shù)收斂速度較快，濾波效果也較好，全局性能更好。圖 7 誤差信號輸出信號和抽頭權(quán)值w變化圖3.3 輸入信號不同對濾波效果的影響3.3.1 輸入信號為周期信號原始信號輸入為周期三角波，噪聲方差為2。運(yùn)行得到圖8到圖10。 圖8 原始信號時域和頻

13、域圖 圖9 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖 圖10 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖 圖11 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖如圖7從時域觀察，原始信號峰值為10，噪聲峰值為2。濾波之后誤差信號值接近于0。從頻域上看，接近原始信號頻譜。濾波效果較好。3.3.2 輸入信號為非周期信號本實驗原始輸入信號為純背景音頻信號，格式為wav,將其放在matlab文件，存為“2.wav”。所加噪聲方差為2。運(yùn)行得到圖11到圖14：圖 11 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖 圖 12 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖 圖 13 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖圖 14 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖如圖1

14、1，從時域分析，背景音樂信號加入相同均值為2噪聲，誤差信號幅值較三角波實驗大。如圖14，從頻域上看，濾波之后，在100200一級800900之間含有少量噪聲頻率。濾波效果不如輸入為周期信號。4結(jié)束語通過對比實驗，分析收斂性和濾波效果，確定了濾波器正則化系數(shù)的選取，信噪比高正則化系數(shù)選取小正常數(shù)，反之取大正常數(shù)。對不同類型濾波器輸入信號獨(dú)立實驗，周期型號和非周期信號的濾波器效果都較好，但周期信號的濾波效果更好。但從程序的運(yùn)行時間上看，其復(fù)雜度高，計算量比較大。 Abstract: Least squares (RLS) method is a kind of typical effective

15、data processing method. It makes the actual observed value multiplied by the square measure of the difference between calculated value and the accuracy of numerical and later to a minimum. This is the famous least-square method. Recursive least squares (RLS) is a fast algorithm of the least-square m

16、ethod. Simulation based on matlab, this paper designs the M file, the different performance of the filter input and SNR. Through contrast experiment, convergence analysis and filtering effect, the filter selection of regularization coefficient is determined. Key words：Adaptive filtering, the least s

17、quare method, emulation verify by MATLAB參 考 文 獻(xiàn)1 于洋. 一種改進(jìn)的LMS自適應(yīng)濾波器設(shè)計D.本科學(xué)位論文.北京：北京石油化工學(xué)院，20092 丁玉美. 數(shù)字信號處理M.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，20023 王姣. 自適應(yīng)濾波器的MATLAB仿真D. 本科學(xué)位論文.北京：北京石油化工學(xué)院，20024 薛小梅. 一種基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器設(shè)計D. 本科學(xué)位論文.北京：北京石油化工學(xué)院，20065 吳燕. 一種自適應(yīng)濾波器的設(shè)計與仿真J.科技廣場，2010，第7期：59-616 程玉柱. 自適應(yīng)濾波器的算法比較研究J.大慶師范學(xué)報，2008，第2期：23-267 張立萍. RLS自適應(yīng)濾波器的Matlabe設(shè)計與仿真J.赤峰學(xué)院學(xué)報，2011，第4期：25-268 蒙俊甫. LMS自適應(yīng)濾波器的仿真與實現(xiàn)J.設(shè)計參考，2009，第9期：67-739 程玉柱. 自適應(yīng)濾波器的算法比較研究J.大慶師范學(xué)報，2008，第2期：2