自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

1、北京石油化工學(xué)院2013屆優(yōu)秀畢業(yè)論文自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)通信工程專(zhuān)業(yè) 熊潔指導(dǎo)教師 張寧 教授摘 要: 最小二乘(RLS)法是一種典型的有效的數(shù)據(jù)處理方法。它使各項(xiàng)實(shí)際觀測(cè)值和計(jì)算值之間的差的平方乘以度量其精度的數(shù)值以后的和為最小。這就是著名的最小二乘法。遞推最小二乘法(RLS)是最小二乘法的一類(lèi)快速算法。本文基于matlab進(jìn)行仿真，設(shè)計(jì)了M文件，研究不同輸入和信噪比濾波器的性能。通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分析收斂性和濾波效果，確定了濾波器正則化系數(shù)的選取。關(guān)鍵詞: 自適應(yīng)濾波器，最小二乘法，matlab仿真1 引言自適應(yīng)濾波器屬于現(xiàn)代濾波的范疇，它是40年代發(fā)展起來(lái)的自適應(yīng)信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要

2、應(yīng)用，自適應(yīng)信號(hào)處理主要是研究結(jié)構(gòu)可變或可調(diào)整的系統(tǒng)，可以通過(guò)自身與外界的接觸來(lái)改善自身對(duì)信號(hào)處理的性能，通常這類(lèi)系統(tǒng)是時(shí)變的非線性系統(tǒng)，可以自動(dòng)適應(yīng)信號(hào)傳輸?shù)沫h(huán)境和要求，無(wú)須詳細(xì)的知道信號(hào)的結(jié)構(gòu)和實(shí)際知識(shí)，無(wú)須精確設(shè)計(jì)處理系統(tǒng)本身。自適應(yīng)系統(tǒng)的非線性特性主要是由系統(tǒng)對(duì)不同的信號(hào)環(huán)境實(shí)現(xiàn)自身參數(shù)的調(diào)整來(lái)確定的。自適應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)變特性主要是由其自適應(yīng)響應(yīng)或自適應(yīng)學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)確定的，當(dāng)自適應(yīng)過(guò)程結(jié)束和系統(tǒng)不再進(jìn)行時(shí)，有一類(lèi)自適應(yīng)系統(tǒng)可成為線性系統(tǒng)，并稱(chēng)為線性自適應(yīng)系統(tǒng)，因?yàn)檫@類(lèi)系統(tǒng)便于設(shè)計(jì)且易于數(shù)學(xué)處理，所以實(shí)際應(yīng)用廣泛。本文研究的自適應(yīng)濾波器就是這類(lèi)濾波器。自適應(yīng)濾波器是相對(duì)固定濾波器而言的，固定濾

3、波器屬于經(jīng)典濾波器，它濾波的頻率是固定的，自適應(yīng)濾波器的頻率則是自動(dòng)適應(yīng)輸入信號(hào)而變化的，所以其適用范圍更廣。在沒(méi)有任何信號(hào)和噪聲的先驗(yàn)知識(shí)的條件下，自適應(yīng)濾波器利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)來(lái)自動(dòng)調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知或隨機(jī)變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。近十幾年來(lái)，自適應(yīng)濾波理論和方法得到了迅速的發(fā)展，究其原因是因?yàn)樽赃m應(yīng)濾波器相比于其他一般的濾波器在濾波性能、設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的難易程度、對(duì)外部環(huán)境的復(fù)雜程度的適應(yīng)能力和對(duì)系統(tǒng)先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的依賴(lài)程度等方面都顯現(xiàn)出強(qiáng)大的優(yōu)勢(shì)。自適應(yīng)濾波器具有很強(qiáng)的自學(xué)習(xí)、自跟蹤能力和算法的簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)性，它在噪聲量化信號(hào)的檢測(cè)增強(qiáng)，噪聲干擾的抵

4、消，通信系統(tǒng)的自適應(yīng)均衡，圖象的自適應(yīng)增強(qiáng)復(fù)原以及未知系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)辯識(shí)等方面都有廣泛的應(yīng)用。本文僅討論自適應(yīng)濾波器在噪聲干擾的抵消方面的原理、算法及仿真。2 遞歸最小二乘法所謂的自適應(yīng)濾波，就是利用前一時(shí)刻以獲得的濾波器參數(shù)的結(jié)果，自動(dòng)的調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器實(shí)質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達(dá)到最優(yōu)的維納濾波器。自適應(yīng)濾波器不需要關(guān)于輸入信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，計(jì)算量小，特別適用于實(shí)時(shí)處理。2.1遞歸最小二乘法原理遞歸最小二乘估計(jì)算法是以最小誤差平方和為優(yōu)化目標(biāo)，它是在在最小二乘基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的。用最小二乘法解決線性

5、濾波問(wèn)題，這種方法不需要對(duì)濾波器輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行假設(shè)。為了說(shuō)明最小二乘法的基本思想，假定有一組實(shí)數(shù)，它們分別取自時(shí)刻。要求構(gòu)造一條曲線，這條曲線能夠以某種最優(yōu)方式擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)?，F(xiàn)用表示這條曲線與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)最小二乘法，“最優(yōu)”擬合是使與，之差的平方和的代價(jià)函數(shù)最小。誤差函數(shù)定義為 公式（1）式中， 為期望響應(yīng)，是抽頭輸入向量，為抽頭增益向量。遞歸最小二乘的代價(jià)函數(shù)定義如下： 公式（2）要完成RLS算法就是要找到抽頭向量，使得代價(jià)函數(shù)最小。RLS算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子。該遺忘因子的引入，使RLS算法能夠?qū)Ψ瞧椒€(wěn)信號(hào)進(jìn)行跟蹤。粗略的說(shuō)，的倒數(shù)可以用來(lái)衡量算法的記憶能力；而的特殊情

6、況，則對(duì)應(yīng)于無(wú)限記憶。本文后續(xù)實(shí)驗(yàn)部分默認(rèn)。式中是一個(gè)正實(shí)數(shù)，稱(chēng)為正則化參數(shù)。將這一項(xiàng)包含在代價(jià)函數(shù)中，一遍通過(guò)平滑作用來(lái)穩(wěn)定遞歸最小二乘問(wèn)題的解。將抽頭輸入向量的時(shí)間平均相關(guān)矩陣表示為 公式（3）橫向?yàn)V波器抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的時(shí)間平均互相關(guān)向量為 公式（4）通過(guò)計(jì)算，得出遞歸最小二乘問(wèn)題的正則方程可用矩陣形式寫(xiě)為 公式（5）將對(duì)應(yīng)于的項(xiàng)與式（3）右邊的求和項(xiàng)分開(kāi)，可寫(xiě)出 公式（6）根據(jù)定義，式（6）右括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式等于相關(guān)矩陣。于是，可使得用于更新抽頭輸入相關(guān)矩陣的遞歸公式 公式（7）其中是相關(guān)矩陣的過(guò)去值，矩陣乘積在更新過(guò)程中起著修正的作用。式（7）的遞歸過(guò)程與初始條件無(wú)關(guān)。類(lèi)似的，可

7、用式（3）導(dǎo)出抽頭輸入與期望響應(yīng)之間互相關(guān)向量的更新公式 公式（8）為了按式（3-31）計(jì)算抽頭權(quán)向量的最小二乘估計(jì)，必須確定相關(guān)矩陣的逆。然而在實(shí)際中，我們通常盡量避免這樣做，因?yàn)檫@種運(yùn)算非常耗時(shí)，特別是當(dāng)抽頭數(shù)很大時(shí)。為此，我們先引入一個(gè)著名的結(jié)果矩陣求逆引理。設(shè)和是兩個(gè)正定矩，他們之間的關(guān)系為 公式（9）其中，是正定矩，是矩陣。根據(jù)矩陣求逆引理，可將的矩陣表示為 公式（10）假定相關(guān)矩陣是非奇異的，因而它可逆。我們對(duì)式（5）所表示的遞歸方程應(yīng)用矩陣求逆引理，首先做如下設(shè)定 公式（11）然后將這些定義代入求逆引理，可得計(jì)算相關(guān)矩陣的遞歸方程如下 公式（12）為了方便計(jì)算，令 公式（13）和

8、 公式（14）用上面的定義，可將式（12）改寫(xiě)為 公式（15） 矩陣叫做逆相關(guān)矩陣，向量叫做增益向量。式（15）是RLS算法的Riccati方程。整理式（14），可得 公式（16）即： 公式（17）從式（15）可以看出，式（17）右邊最后一行括號(hào)里的表達(dá)式等于。因此，我們可將式（17）簡(jiǎn)化為 公式（18）這一結(jié)論，連同，可以用來(lái)定義增益向量 公式（19）換句話說(shuō)，增益向量可定義為經(jīng)相關(guān)矩陣逆矩陣變換的抽頭輸入向量。下面導(dǎo)出更新抽頭權(quán)向量最小二乘估計(jì)的遞歸公式。為此，用式（2）、式（7）和式（12）來(lái)表示抽頭權(quán)向量n次迭代的最小二乘估計(jì) 公式（20）將式（20）右邊第一項(xiàng)中用式（15）代替，可得

9、 公式（21）最后，應(yīng)用等于增益向量，可使得更新抽頭權(quán)向量的遞歸方程為 公式（22）其中 公式（23）是一個(gè)先驗(yàn)誤差。內(nèi)積表示基于時(shí)刻抽頭權(quán)向量最小二乘估計(jì)舊值得期望響應(yīng)的估值。2.2 RLS算法小結(jié)算法初始化 公式（24）對(duì)每一時(shí)刻，計(jì)算 公式（25） 公式（26） 公式（27） 公式（28）3.RLS自適應(yīng)濾波器M文件的設(shè)計(jì)與仿真根據(jù)前面介紹的LS算法，用MATLAB設(shè)計(jì)RLS自適應(yīng)濾波器。本文一共做了三個(gè)實(shí)驗(yàn)，下面進(jìn)行仿真與分析。3.1 正弦波去噪實(shí)驗(yàn)原始信號(hào)為單一正弦波，加入方差為0.8的隨機(jī)高斯噪聲，濾波器輸入信號(hào)為，輸出信號(hào)為。運(yùn)行結(jié)果如下： 圖1 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值w變化

10、圖 圖2 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值w變化圖為0.8的隨機(jī)高斯噪聲，得到濾波器輸入信號(hào)，從頻譜圖可以看出，包含原始信號(hào)有很多頻率。圖3中紅色部分為經(jīng)過(guò)RLS濾波器后的輸出信號(hào)，藍(lán)色部分為誤差信號(hào)?？梢钥闯稣`差信號(hào)較小。由上可知，濾波效果較好。3.2 濾波器正則化參數(shù)的確定RLS算法有兩個(gè)特殊的可變參數(shù)：抽頭輸入數(shù)據(jù)的信噪比，這個(gè)量由運(yùn)行的條件決定；正則化參數(shù)。以下做了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，在輸入為正弦波，控制加性高斯噪聲的均值，相同均值的隨機(jī)的噪聲都保持不變。來(lái)實(shí)現(xiàn)不同信噪比，分析正則化參數(shù)的在最佳選擇。4.2.1 高信噪比原始輸入信號(hào)是幅值為1的正弦波，噪聲方差為0.1。實(shí)驗(yàn)組1：實(shí)驗(yàn)組2：運(yùn)行得到圖4

11、。 圖3 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值w變化圖 圖4 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值w變化圖實(shí)驗(yàn)組2程序與實(shí)驗(yàn)組1大部分相同，改變Delta=0.0001運(yùn)行得到圖5。 圖5 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值w變化圖 圖6 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值w變化圖當(dāng)信噪比較高時(shí)，實(shí)驗(yàn)組1抽頭系數(shù)在4000開(kāi)始收斂，實(shí)驗(yàn)組2抽頭系數(shù)在500開(kāi)始收斂。兩組誤差信號(hào)都很小。不難看出，實(shí)驗(yàn)組2收斂速度更快。4.2.2 低信噪比原始輸入信號(hào)是幅值為1的正弦波，噪聲方差為0.8。實(shí)驗(yàn)組1：實(shí)驗(yàn)組2：實(shí)驗(yàn)程序與高信噪比時(shí)大部分一樣，變動(dòng)的語(yǔ)句：b=0.8*randn(1,N)。其它部分這里就不再重復(fù)。當(dāng)信噪比較低時(shí)，實(shí)驗(yàn)組1

12、抽頭系數(shù)在1800開(kāi)始收斂，誤差信號(hào)較小。實(shí)驗(yàn)組2抽頭系數(shù)在500開(kāi)始收斂，但是誤差信號(hào)波動(dòng)較大。綜合考慮。實(shí)驗(yàn)組1的全局性能較好。4.2.3 結(jié)論 綜合上述兩組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，當(dāng)抽頭輸入噪聲電平低（即輸入信噪比較高）時(shí)，RLS算法的正則化系數(shù)取較小的正常數(shù)收斂速度更快，濾波效果也較好。當(dāng)抽頭輸入噪聲電平高（即輸入信噪比較低）時(shí)，RLS算法的正則化系數(shù)取較大的正常數(shù)收斂速度較快，濾波效果也較好，全局性能更好。圖 7 誤差信號(hào)輸出信號(hào)和抽頭權(quán)值w變化圖3.3 輸入信號(hào)不同對(duì)濾波效果的影響3.3.1 輸入信號(hào)為周期信號(hào)原始信號(hào)輸入為周期三角波，噪聲方差為2。運(yùn)行得到圖8到圖10。 圖8 原始信號(hào)時(shí)域和頻

13、域圖 圖9 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖 圖10 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖 圖11 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖如圖7從時(shí)域觀察，原始信號(hào)峰值為10，噪聲峰值為2。濾波之后誤差信號(hào)值接近于0。從頻域上看，接近原始信號(hào)頻譜。濾波效果較好。3.3.2 輸入信號(hào)為非周期信號(hào)本實(shí)驗(yàn)原始輸入信號(hào)為純背景音頻信號(hào)，格式為wav,將其放在matlab文件，存為“2.wav”。所加噪聲方差為2。運(yùn)行得到圖11到圖14：圖 11 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖 圖 12 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖 圖 13 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖圖 14 濾波器輸誤差信號(hào)和輸出信號(hào)頻域圖如圖1

14、1，從時(shí)域分析，背景音樂(lè)信號(hào)加入相同均值為2噪聲，誤差信號(hào)幅值較三角波實(shí)驗(yàn)大。如圖14，從頻域上看，濾波之后，在100200一級(jí)800900之間含有少量噪聲頻率。濾波效果不如輸入為周期信號(hào)。4結(jié)束語(yǔ)通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分析收斂性和濾波效果，確定了濾波器正則化系數(shù)的選取，信噪比高正則化系數(shù)選取小正常數(shù)，反之取大正常數(shù)。對(duì)不同類(lèi)型濾波器輸入信號(hào)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，周期型號(hào)和非周期信號(hào)的濾波器效果都較好，但周期信號(hào)的濾波效果更好。但從程序的運(yùn)行時(shí)間上看，其復(fù)雜度高，計(jì)算量比較大。 Abstract: Least squares (RLS) method is a kind of typical effective

15、data processing method. It makes the actual observed value multiplied by the square measure of the difference between calculated value and the accuracy of numerical and later to a minimum. This is the famous least-square method. Recursive least squares (RLS) is a fast algorithm of the least-square m

16、ethod. Simulation based on matlab, this paper designs the M file, the different performance of the filter input and SNR. Through contrast experiment, convergence analysis and filtering effect, the filter selection of regularization coefficient is determined. Key words：Adaptive filtering, the least s

17、quare method, emulation verify by MATLAB參 考 文 獻(xiàn)1 于洋. 一種改進(jìn)的LMS自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)D.本科學(xué)位論文.北京：北京石油化工學(xué)院，20092 丁玉美. 數(shù)字信號(hào)處理M.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，20023 王姣. 自適應(yīng)濾波器的MATLAB仿真D. 本科學(xué)位論文.北京：北京石油化工學(xué)院，20024 薛小梅. 一種基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)D. 本科學(xué)位論文.北京：北京石油化工學(xué)院，20065 吳燕. 一種自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)與仿真J.科技廣場(chǎng)，2010，第7期：59-616 程玉柱. 自適應(yīng)濾波器的算法比較研究J.大慶師范學(xué)報(bào)，2008，第2期：23-267 張立萍. RLS自適應(yīng)濾波器的Matlabe設(shè)計(jì)與仿真J.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，第4期：25-268 蒙俊甫. LMS自適應(yīng)濾波器的仿真與實(shí)現(xiàn)J.設(shè)計(jì)參考，2009，第9期：67-739 程玉柱. 自適應(yīng)濾波器的算法比較研究J.大慶師范學(xué)報(bào)，2008，第2期：2