2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)學(xué)科考試說明

1、2019 年江蘇省高考說明數(shù)學(xué)科一、命題指導(dǎo)思想2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)學(xué)科（江蘇卷）命題， 將依據(jù) 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)） ，參照普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱，結(jié)合江蘇省普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求，按照“有利于科學(xué)選拔人才、促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展、維護(hù)社會公平”的原則，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和方法，又考查進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所必須的基本能力.試卷保持較高的信度、效度以及必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度.1 突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，貼近教學(xué)實(shí)際，既注意全面，又突出重點(diǎn)，支撐學(xué)科知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容在試卷中要占有較大的比例.注重

2、知識內(nèi)在聯(lián)系的考查，不刻意追求知識的覆蓋面.注重對中學(xué)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的考查 .2 重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查數(shù)學(xué)基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理這幾方面的能力.（ 1） 空間想象能力的考查要求是：能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，并能夠?qū)臻g圖形進(jìn)行分解和組合.（ 2） 抽象概括能力的考查要求是：能夠通過對實(shí)例的探究,發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；能夠從給定的信息材料中概括出一些結(jié)論，并用于解決問題或作出新的判斷.（ 3） 推理論證能力的考查要求是：能夠根據(jù)已知的

3、事實(shí)和已經(jīng)獲得的正確的數(shù)學(xué)命題，運(yùn)用歸納、類比和演繹進(jìn)行推理，論證某一數(shù)學(xué)命題的真假性.（ 4） 運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計或近似計算.（ 5） 數(shù)據(jù)處理能力的考查要求是：能夠運(yùn)用基本的統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，以解決給定的實(shí)際問題.數(shù)學(xué)綜合能力的考查，主要體現(xiàn)為分析問題與解決問題能力的考查，要求能夠綜合地運(yùn)用有關(guān)的知識與方法，解決較為困難的或綜合性的問題.3 注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識的考查要求是：能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，構(gòu)造適合的數(shù)學(xué)模型，將一

4、些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決.創(chuàng)新意識 的考查要求是：能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和思想方法，創(chuàng)造性地解決問題.二、考試內(nèi)容及要求數(shù)學(xué)試卷由必做題與附加題兩部分組成.選修測試歷史的考生僅需對試題中的必做題部分作答；選修測試物理的考生需對試題中必做題和附加題這兩部分作答.必做題部分考查的內(nèi)容是高中必修內(nèi)容和選修系列1 的內(nèi)容；附加題部分考查的內(nèi)容是選修系列2（不含選修系列1） 中的內(nèi)容以及選修系列4中專題 4-2矩陣與變換、4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程、4-5不等式選講這4 個專題的第 3 頁 共 30 頁內(nèi)容（考生只需選考其中兩個專題）對知識的考查要求依次分為

5、了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用A、 B、C表不）.了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認(rèn)識，并能解決相關(guān)的簡單 問題.理解：要求對所列知識有較深刻的理性認(rèn)識認(rèn)識，并能解決有一定綜合性的 問題.掌握：要求系統(tǒng)地把握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的問題 . 具體考查要求如下：1 .必做題部分內(nèi)容要求ABC1.集合集合及其表示V子集V交集、并集、補(bǔ)集V2.函數(shù)概念函數(shù)的概念V與是小利寺國數(shù)I函數(shù)的基本性質(zhì)V指數(shù)與對數(shù)V指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)V對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)V哥函數(shù)V函數(shù)與方程V函數(shù)模型及其應(yīng)用V3.基本初等函數(shù)n （二角函數(shù)）、三角恒等變換三角函數(shù)的概念V同角三角函數(shù)的基本關(guān)

6、系式V正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式V正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)V函數(shù)y = Asin（® x + 中）的圖象與性質(zhì)V兩角和（差）的正弦、余弦及正切V二倍角的正弦、余弦及正切V4.解三角形正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用V5.平面向量平面向量的概念V平面向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算V平面向量的坐標(biāo)表不V平面向量的數(shù)吊積V平面向量的平行與垂直V平面向量的應(yīng)用V6.數(shù)列數(shù)列的概念V等差數(shù)列V第21頁共30頁等比數(shù)列V7.不等式基本不等式V一元二次不等式V線性規(guī)劃V8.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念V復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算V復(fù)數(shù)的幾何意義V9.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念V導(dǎo)數(shù)的幾何意義V導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算V利用導(dǎo)數(shù)研究函

7、數(shù)的單調(diào)性與極值V導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用V10.算法初步算法的含義V流程圖V基本算法語句V11.常用邏輯用語命題的四種形式V充分條件、必要條件、充分必要條件V簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞V全稱量詞與存在量詞V12.推理與證明合情推理與演繹推理V分析法與綜合法V反證法V13.概率、統(tǒng)計抽樣方法V總體分布的估計V總體特征數(shù)的估計V隨機(jī)事件與概率V古典概型V幾何概型V互斥事件及其發(fā)生的概率V14.空間幾何體柱、錐、臺、球及其簡單組合體V柱、錐、臺、球的表面積和體積V15.點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系平面及其基本性質(zhì)V直線與平面平行、垂直的判定及性質(zhì)V兩平面平行、垂直的判定及性質(zhì)V16.平面解析幾何初步直線的斜率和傾

8、斜角V直線方程V直線的平行關(guān)系與垂直關(guān)系V兩條直線的交點(diǎn)V兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離V圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程V直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系V17.圓錐曲線程中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)V中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)V頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)V2 .附加題部分內(nèi)容要求ABC選 修 素 列2:不 含 選 修列1中 的 內(nèi) 容1.圓錐曲線與方程曲線與方程V頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)V2.空間向量與立體幾何空間向量的概念V空間向量共線、共面的充分必要條件V空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算V空間向量的坐標(biāo)表示V空間向量的數(shù)吊積V空間向量的共線與垂

9、直V直線的方向向量與平面的法向量V空間向量的應(yīng)用V3.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)V4.推理與證明數(shù)學(xué)歸納法的原理V數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用V5.計數(shù)原埋加法原理與乘法原理V排列與組合V二項式定埋V6.概率、統(tǒng)計離散型隨機(jī)變量及其分布列V超幾何分布V條件概率及相互獨(dú)立事件Vn次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項分布V離散型隨機(jī)變量的均值與方差V選修系列4中4個專題7.矩陣與變換矩陣的概念V二階矩陣與平面向量V常見的平面變換V矩陣的復(fù)合與矩陣的乘法V二階逆矩陣V二階矩陣的特征值與特征向量V二階矩陣的簡單應(yīng)用V8.坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系的啟關(guān)概念V簡單圖形的極坐標(biāo)方程V極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化V參數(shù)方

10、程V直線、圓及橢圓的參數(shù)方程V參數(shù)方程與普通方程的互化V參數(shù)方程的簡單應(yīng)用V9.不等式選講不等式的基本性質(zhì)V含有絕對值的不等式的求解V不等式的證明（比較法、綜合法、分析法）V算術(shù)-幾何平均不等式與柯西不等式V利用不等式求最大（?。┲礦運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式V三、考試形式及試卷結(jié)構(gòu)（一）考試形式閉卷、筆試，試題分必做題和附加題兩部分.必做題部分滿分為160分，考試 時間120分鐘；附加題部分滿分為40分，考試時間30分鐘.（二）考試題型1 .必做題 必做題部分由填空題和解答題兩種題型組成.其中填空題14小題, 約占70分；解答題6小題，約占90分.2 .附加題 附加題部分由解答題組成，共 6題

11、.其中，必做題2小題，考查 選修系列2中的內(nèi)容；選做題共4小題，依次考查選修系列4中4-2、4-4、4-5 這4個專題的內(nèi)容，考生只須從中選 2個小題作答.填空題著重考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，只要求直接寫出結(jié)果，不 必寫出計算和推理過程；解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（三）試題難易比例必做題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的 比例大致為4: 4: 2.附加題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的 比例大致為5: 4: 1.四、典型題示例A.必做題部分1 .設(shè)復(fù)數(shù)i滿足（3-4i）z=|4 + 3i | （i是虛數(shù)單位），則

12、z的虛部為 【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，基本運(yùn)算.本題屬容易題.【答案】4 52 .設(shè)集合A=1,2, B =a,a2+3,若A"=1,則實(shí)數(shù)a的值為【解析】本題主要考查集合的概念、交集運(yùn)算等基礎(chǔ)知識.本題屬容易題.【答案】1.I開始3.右圖是一個算法流程圖，則輸出的 k的僖【解析】本題主要考查算法流程圖的基礎(chǔ)知識k2本題屬容易題.Y輸出k結(jié)束】N-5k+4>0k-k +14.函數(shù)£（刈=皿4生的定義域?yàn)閤 -1【解析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，本題屬容易題【答案】（-1,1）=（1,z）5.某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了 100根棉花纖維的

13、長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中，有棉花纖維的長度小于20mm.【解析】本題主要考查統(tǒng)計中的抽樣方法與總體分布的估計.本題屬容易題.【答案】由頻率分布直方圖觀察得棉花纖維長度小于 20mm的頻率為0.04 父 5 + 0.01 父 5 + 0.01 父 5 = 0.3，故頻數(shù)為 0.3 父 100 = 30.6.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標(biāo)有1, 2, 3, 4, 5, 6個點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是【解析】本題主要考察古典概型、互斥事件及其發(fā)生的概率等基礎(chǔ)

14、知識.本題屬谷易題.【答案】5 67.已知函數(shù)y =8$*與丫 =sin（2x +邛）（0 M x < n）,它們的圖像有一個橫坐標(biāo)為工的交點(diǎn)，則邛的值是3【解析】本題主要考察特殊角的三角函數(shù)值，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考察數(shù)形結(jié)合的思想，考察分析問題、解決問題的能力.本題屬容易題.【答案】-.68 .在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 Ln中，若a2=1,a8=a6+a4,則a6的值是.【解析】本題主要考察等比數(shù)列的通項公式等基礎(chǔ)知識，考察運(yùn)算求解能力.本題屬容易題.【答案】4.29 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線±-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交 3于P

15、，Q,其焦點(diǎn)是Fi, F2,則四邊形F1PF2Q的面積是.【解析】本題主要考察中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線、準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)、焦距和直線與直線的交點(diǎn)等基礎(chǔ)知識 .本題屬中等難度題.【答案】2丁310 .如圖，在長方體 ABCD-ABQDi 中，AB = AD=3cm,AA =2cm ,則四棱錐A-BB1D1D的體積為 cm3.【解析】本題主要考查四棱錐的體積，考查空間想象能力 和運(yùn)算能力.本題屬容易題.【答案】6.11 .設(shè)直線y = lx+b是曲線y = lnx（x0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b的值是 2【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法.本題屬中等題.【答案】ln2 -1.

16、12 .設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1)上，x a ,-1<x ： 0, f(x) 2:1|50 Mx 1 ,其中a若(2一(2)，則f(5a)的值是【解析】本題主要考察函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.本題屬中等難度題.【答案】一2513.如圖，在 MBC中，D是BC的中點(diǎn)，E, F是AD上的兩個三等分點(diǎn)，BA CA =4 , bF CF = 1 ,貝U BE CE 的值是.【解析】本題主要考查平面向量的概念、平面向量的運(yùn)算以及平(第13題)面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想,考查運(yùn)算求解能力.本題屬難題.814 .已知正數(shù)a

17、,b,c滿足：5c3a w bw 4ca, clnb > a+clnc,貝！J 2的取值范圍是 a【解析】本題主要考查代數(shù)形式的變形和轉(zhuǎn)化能力，考查靈活運(yùn)用有關(guān)的基礎(chǔ)知識解決問題的能力.本題屬難題.【答案】e,7 二、解答題15 .在 SBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3, b = 2限 B = 2A.(1)求 cosA值；(2)求c的值.【解析】本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.本題屬容易題.【參考答案】(1)在 AABC 中，因?yàn)?a =3, b=2j6, B = 2A ,故由正弦定理得3sin A2、, 6sin 2 A2sin A

18、cosA 2 . 6sin A 3所以c0sA號(2)由(1)得 cosA =學(xué).所以 sin A = V1 - cos2 A =3P H _XU _ UL 221又因?yàn)?B=2A,所以 cos B = cos2A = 2 cos 一 1 = 一 .3f-從而 sin B = 1 -cos2 B =42.3所以sin C在 AABC 中，因?yàn)?A + B+C=n , =sin( A B) = sin A cos B cos Asin B =因此由正弦定理得c=2n&=5.sin A16.如圖，在三棱錐 A-BCD中，AB，AD, BC± BD,平面 ABD，平面BCD點(diǎn)E、F

19、 （E與A、D不重合）分別在棱AD, BD上，且 EF± AD.求證：（1） EF/平面ABC AD± AC.【解析】本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力.本題屬容易題【參考答案】證明：(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B，AD, EF _L AD ,所以EF/AB .又因?yàn)镋F遼平面ABQ AB二平面ABQ所以EF/平面ABC(2)因?yàn)槠矫鍭BD，平面BCQ平面ABDn平面BCD=BD,BCu 平面 BCD, BCBD,所以BC_L平面ABD.因?yàn)锳D u平面ABD ,所以BC -L AD .又 AB，AD, BCnAB=B

20、, AB 匚平面 ABC BC 二平面 ABC所以AD，平面ABQ又因?yàn)锳C=平面ABQ(第17題)所以AD±AC. 2217.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E :與+鼻=1(a>b>0) a b的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi, F2,離心率為工，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn) Fi作直線PR的垂線li,過點(diǎn)F2作直 線P三的垂線%.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線11, 12的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】本小題主要考查直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、橢圓方程、橢圓 的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查分析問題能力和運(yùn)算求解能力.本題屬

21、中等難度題.【參考答案】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.2a2=8c ,-22X0Vo =1«22至十血=1"3 ，無解.因?yàn)闄E圓E的離心率為2 ,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以a解得 a=2，c=1,于是 b = 2a2c2 =點(diǎn),22二二-1因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是43由(1)知，«1,0), F2(1,0).設(shè)P(%，y0),因?yàn)辄c(diǎn)P為第一象限的點(diǎn)，故A0，y0A0.當(dāng)X0=1時，l2與l1相交于 工 與題設(shè)不符.y°y°當(dāng)X0，1時，直線PF1的斜率為X0+1 ,直線PF2的斜率為x0-1.-X0 - 1X0 - 1因?yàn)閘PF1, l2,PF2,所

22、以直線l1的斜率為y0，直線l2的斜率為y0 ,y - - x0-1 (x 1)從而直線l1的方程：y0,直線l2的方程：廣一一1).22X = -X0,y=°Q(-X0,0)由，解得y0 ,所以y04上。廣.事沖/=70目x2v21X2v21因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，由對稱性，得 V。 ,即X0y0=1或5十%二122血血=1又P在橢圓E上，故43.X2 y2 =1X2 + y0214百 3萬=1X0 = , y0 =由33,解得 7 y 7,4,、7 3,、7、(,)因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為 77 .18 .如圖：為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC ,同時設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū)，規(guī)劃要求，新橋

23、BC與河岸AB垂直；保護(hù)北東第20頁共30頁區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端。和A到該圓上任 一點(diǎn)的距離均不少于 80m,經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)。正北方向60m處，點(diǎn)C位于 點(diǎn)。正東方向170m處，(OC為河岸)，tan/BCO=f.3(1)求新橋BC的長；(2)當(dāng)OM多長時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？【解析】本小題主要考查直線方程、直線與圓的位置關(guān)系和解三角形等基礎(chǔ)知識，考查建立數(shù)學(xué)模型及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.【參考答案】解法一：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知 A(0, 60), qi70, 0),直線 BC 的斜率 k

24、 bc= - tan Z BCO=- 4.3又因?yàn)锳B± BC,所以直線AB的斜率kAB=3.4設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(a,b),則 kBc=± = -, kAB=b6°=-, a -1703a -04解得 a=80, b=120.所以 BC=J(17080)2 +(0120)2 =150.因此新橋BC的長是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M的半徑為r m,OM=d m,(0<d<60).由條件知，直線BC的方程為y=-4(x-170),即4x+3y-680=03由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0, d)到直線BC的距離是r,即| 3d - 680 |

25、680d 3r = J.55因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m,第23頁共30頁i箱8題)680 -3d一一-d 80所以!r-d 80 即 5解得10Wd&35lr-(60-d)>8°1 680.(60d產(chǎn) 805故當(dāng)d = 10時,二竺0二3d最大，即圓面積最大.5所以當(dāng)OM = 10 m時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.解法二：(1)如圖，延長OA CB交于點(diǎn)F.因?yàn)?tan/BCO=4 .所以 sin/FCO=4, cos/ FCO=W .355因?yàn)?OA=60,OG=170,所以 OF=OC tan/FC。680 .3OC850500CF=，從而 AF

26、 =OF -OA =.cos. FCO33因?yàn)?OA,OC,所以 cos/ AFB=sinZ FCO=4 ,5又因?yàn)?AB± BC,所以 BF=AF cos/ AFB=400 ,從而 BC=CF- BF=150.3因此新橋BC的長是150 m.(2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓 M與BC的切點(diǎn)為D,連接MD,則MDLBQ 且MD是圓M的半徑，并設(shè) MD=r m, OM=d m(0< d<60).因?yàn)?OA,OC,所以 sin/ CFO=cos/ FCQ故由(1)知，sin/CFO=MD=L=* = 3 所以 r:絲0二也.MF OF-OM 680_d 553因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)

27、的距離均不少于 80 m,680 -3d - ccd A > on-d > 80所以|r-d-U即5解得10WdW35L60-尸 80 p0.(60.d產(chǎn) 805故當(dāng)d = 10時,r=胭二鮑最大，即圓面積最大.5所以當(dāng)OM = 10 m時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.19 .設(shè)函數(shù) f (x) =ln x - ax, g(x) =ex - ax ,其中 a 為實(shí)數(shù).(1)若f (x)在(1,依)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,-)上有最小值，求a的取值范圍；(2)若g(x)在(一1，十劫上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論.【解析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、零

28、點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的能力.本題屬難題.【參考答案】解：(1)令f'x)=1-a=3<。，考慮到f(x)的定義域?yàn)?0, +8), x x故a>0,進(jìn)而解得x>a 即f(x)在(a1, +°°止是單調(diào)減函數(shù).同理，f(x)在(0,1 » 一 、，、一_.， ，*，一、，、一 1a )上是單調(diào)增函數(shù).由于 f(x)在(1, + °°止是單調(diào)減函數(shù)，故(1, + °°F (a ,+ 8),從而 a 1< 即 an 伶 g，x)=ex a

29、=0,得 x= ln a.當(dāng) x<ln a 時，g'x)<0;當(dāng)x>ln a時，g'x)>0.又g(x)在(1, + 00止有最小值，所以ln a>1,即a>e.綜上，有 aS (e, 十 °°)當(dāng)awo時，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a>0時，令g'x)=exa>0,解得a<ex,即 x> ln a.因?yàn)間(x)在(一1, + 00止是單調(diào)增函數(shù)，類似(1)有l(wèi)n a<-1,即0<aWe1.結(jié)合上述兩種情況，有a<e 1.當(dāng)a=0時，由f(1) = 0以及f'x)=

30、 1>0,彳# f(x)存在唯一的零點(diǎn)； x當(dāng) a<0 時，由于 f(ea)=a aea = a(1ea)<0, f(1)= a>0,且函數(shù) f(x)在ea,1上的圖象不間斷，所以f(x)在(ea,1)上存在零點(diǎn).另外，當(dāng)x>0時，f'x)= 1 a>0,故f(x)在(0, +°°止是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x) x只有一個零點(diǎn).當(dāng) 0<a<e1 時,令 f'x)=3a=0,解得 x=a 1.當(dāng) 0cxea 1 時,f'x)>0, x當(dāng)x>a1時，f'x)<0,所以，x=a 1是f

31、(x)的最大值點(diǎn)，且最大值為f(a 1)= ln a 1.當(dāng)一In a1 = 0,即2=$一1 時，f(x)有一個零點(diǎn) x= e.當(dāng)一In a1>0,即0<a<e 1時,f(x)有兩個零點(diǎn).實(shí)際上，對于 0<a<e 1,由于 f(e1)=-1 ae 1<0, f(a 1)>0,且函數(shù) f(x)在e a上的圖象不間斷，所以f(x)在自1, a.1)上存在零點(diǎn).另外，當(dāng)x6 (0, a.1)時，f'x)=1a>0,故f(x)在(0, a7)上是單調(diào)增函數(shù)，所 x以f(x)在(0, a1)上只有一個零點(diǎn).下面考慮f(x)在1, + 00止的情況

32、.先證f(ea 1) = a(a 2-ea 1)< 0.為此，我們要證明：當(dāng)x>e時，ex>x2.設(shè)h(x)=exx2,則h'x)=ex 2x,再設(shè)l(x) = h'x)=3 2x,則 l'x) = ex2.當(dāng)x> 1時，l'x) = ex2>e 2>0,所以l(x) = h'x)在(1, + s止是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)x>2時,h'x)=ex2x>h' (2)e2-4>0,從而h(x)在(2, +oo止是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)x>e時，h(x) = ex x2>h(e)=ee e

33、2>0.即當(dāng) x>e時,ex>x2當(dāng) 0c ace 1,即 a 1>e 時，f(ea 1) = a 1 aea 1=a(a 2ea 1)<0,又 f(a 1)>0,且函數(shù)f(x)在a.1, e*1上的圖象不間斷，所以f(x)在(a.1, e"1)上存在零點(diǎn).又當(dāng)x>a.1時，f'x)=la<0,故f(x)在(a 1, 十°°止是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a-1, + 00止 x只有一個零點(diǎn).綜合，當(dāng)aw(Ma=e1時，f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為1,當(dāng)0<a<e 1時，f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2.20.設(shè)數(shù)

34、列*的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù) m,使得 S = & ,則稱3是H數(shù)列”.(1)若數(shù)列an的前n項和Sn=2n(nw N *),證明：是H數(shù)列”；(2)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項a1=1,公差d<0.若an是H數(shù)列”，求d的值；(3)證明：對任意的等差數(shù)列an,總存在兩個H數(shù)列” bn和Cn,使得an =bn +Cn(nw N*)成立.【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查探究能力與推 理論證能力.本題屬難題.【參考答案】(1)當(dāng) n>2時，an =Sn -SA _2-2當(dāng) n =1 日寸，a1 =S1 =2n=1 時，S =a ,當(dāng)

35、 n>2時，Sn =a“斗a”是H數(shù)列”(2) S 二na Id =n nd對 Vn WN*, m WN*使 Sn =am ,即 n +n(n2fd =1 +(m 1)d取 n =2得 1+d =(m -1)d , m=2+1 d: d <0 , m <2 ,又 mW N*, m=1 , d =1(3)設(shè)an的公差為d令"bn =a1(n -1)a1 =(2 -n)a1，對* Vn N*, h + -bn =-a1Cn =(n 1)(a1+d),對 Vn N*,1十一cn =a +d則 bn +c =a1 +(n-1)d =a“ ,且bn ,c0為等差數(shù)列bn的前

36、n 項和 Tn =n& +n(n2T)(f),令 Tn =(2 m)a1 ,貝 U m =仆2-3) +2當(dāng) n =1 時 m =1 ；當(dāng) n =2 時 m =1 ；當(dāng)n43時，由于n與n_3奇偶性不同，即n(n3)非負(fù)偶數(shù)，mm N* 因此對黃，都可找到me “，使=bm成立，即bn為H數(shù)列”.Cn的前 n 項和 R =n(n2-1)(a1 +d),令 Cn =(m _1)(a +d)=Rm ,則 m =n(n2-1) +1:對字nN" n(n1)是非負(fù)偶數(shù)，/. m N*即對Vnw N工者阿找到m三N,使得Rs成立，即c為H數(shù)列” 因此命題得證.B.附加題部分 1.選修4

37、-2矩陣與變換已知矩陣A=叫bJ1 21求AB.10 2_0 6_【解析】本題主要考查逆矩陣、矩陣的乘法，考查運(yùn)算求解能力.本題屬容易 題.【參考答案】設(shè)A的逆矩陣為產(chǎn)叫則叫1ac d 一 I。2cb1 01d 一 1。1,即1a- 2c-b1 01= I ,故 a = -12db 1J第32頁共30頁-1 0d =,從而A的逆矩陣為A=1 ,所以，20一 2 一-1一0-1 0A9 =10 - 一 2 一2 .選修4 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P卜2,三)，圓心為直線Psin1 3=g與極軸的交點(diǎn), 432求圓C的極坐標(biāo)方程.【解析】本題主要考查直線和圓的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知

38、識，考查轉(zhuǎn)化問題的能,圓C圓心為直線Psin ,16 - -)=3I3與極軸的交比O力。本題屬容易題.3卜一片中令6Q 圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0);圓c經(jīng)過點(diǎn)p(42 -),圓c的半徑為4PC 二2 +12 -2xlxv 2cosl=l o4.二圓C經(jīng)過極點(diǎn)。.圓C的極坐標(biāo)方程為P=2cosH3 .選修4-5不等式選講已知a,b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3+b3 X ab(a2+b2)，【解析】本題主要考查證明不等式的基本方法.考查推理論證能力，本題屬容易 題.【參考答案】由a,b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得a3 b3 - ab(a2 b2)=a2 a( a - b) b2 b( b - a二(a - b)(

39、 a)5 -( b)5)當(dāng) a 2b日寸,7a 之也,從而(v,a)5 之(vb)5,得(v,a -豆)(da)5 -(Vb)5)之0當(dāng) a <b 時，<a <而,從而(高)5 <Hb)5,得(石 fb)(»a)s_ (而)5)>0.所以 a3 b3 _ ab(a2 b2).5.如圖，在正四棱柱ABCD ABCiDi中，AA = 2,AB =1 ,點(diǎn)N是BC的 中點(diǎn)，點(diǎn)M在CG上，設(shè)二面角A-DN-M的大小為e.(1)當(dāng)8 =900時，求AM的長；(2)當(dāng)cose =農(nóng)時，求CM的長。6【解析】本題主要考查空間向量的基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用空間向量解決問題的能力.本題屬中等題.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz。設(shè) CM =t(0MtM2),則各點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(1,0,0), Ai(1,0,2), N(- ,1,0), M (0,1,t)2所以東 =(；,0), DM, =(0,1,t),31=(1,0,2).設(shè)平面DMN的法向量為 2M =(x1, ,乙)，則 n DN =0,n D