【精品講義】二次函數(shù)一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式

1、二次函數(shù)一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這節(jié)課我們學(xué)什么1 .會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；2 .會平移二次函數(shù)y =ax2(a =0)的圖象得到二次函數(shù) y = a(x-h)2+k的圖象;了解特殊與一般相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的思想；3 .根據(jù)交點(diǎn)求解解析式.知識點(diǎn)梳理21、頂點(diǎn)式：y =a(x h)+k的圖像與性質(zhì)a <0問卜(h, k )直線x = hxh時，y隨X的增大而減??；X<h時， y隨x的增大而增大；x=h時，y有最 大值k.2、交點(diǎn)式：y =a(x x)(x X2)的圖像與性質(zhì)Xi、X2分別是二次函數(shù)與 X軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，如果二次函數(shù)與 X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)已知,則我們可以設(shè)解析式為

2、 y =a(X_Xi)(X-X2),然后再根據(jù)條件求出 a即可；，.2.一一3、般式 y=ax +bx+c的性質(zhì)對于一般式：y =ax2 +bx +c(a #0),我們怎么能知道二次函數(shù)的對稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)呢?將一般式配方成頂點(diǎn)式:/ 2=a(xbX C = a(X2 bX -) = a(X2 - xa ab / b 2、 c b 2-x (-)-(-)a 2a a 2a22b2b2、2r2 r)4a 4a上2=a X 2ab2 -4ac4 a2所以，任意二次函數(shù)，其對稱軸方程為：直線b 一 .x 二 一一 ；頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a4ac -b24a1.當(dāng)a >0時，拋物線開口向上，對稱軸為直線

3、bx = -,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2a2b 4ac -b2a' 4a當(dāng)x一包時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>-b-時，y隨x的增大而增大; 2a2ab 2.當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，對稱軸為直線 x =,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2aF 2b 4ac -b一 ，、2a 4a J當(dāng)x一包時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>-b-時，y隨x的增大而減小; 2a '2a '典型例題分析1、二次函數(shù)一般式；例1、拋物線y = _2x2 +4x-1的對稱軸是直線 【答案：x=1例2、拋物線y =2x2 4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .【答案：(1,1)1例3、二次函數(shù)y=x22x3,當(dāng)y<0時，

4、自變量x的取值范圍是 .【答案：根據(jù)一般式，畫出圖像，求出與x軸的兩個交點(diǎn)，位于 x軸下方的部分就是y <0；: 一1 <x <3例4、已知二次函數(shù) y =ax2+bx+c的圖象如圖，則 a、b、c的正負(fù)性分別是.【答案：a <0; b <0; c>01例 5、如果 A ( 2, y1),B (-1, y2)為二次函數(shù)y = x24x+1的圖像上的兩點(diǎn),試判斷丫與y2的大小為【答案：丫2<%例6、若二次函數(shù)y = (m+1 X2+m2 -2m 3的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則 m的值為【答案：3】例7、二次函數(shù)y =ax2+bx+c的圖像如圖所示，那么abG b2

5、4ac,2a+b,a+b+ c值為正數(shù)的有 個.【答案：2】例8、已知二次函數(shù) y =ax2+bx + c的圖象與x軸交于點(diǎn)(一2,0)、(x1,0)且1 <x, <2,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在(0,2)的下方.下列結(jié)論： 4a -2b +c=0； ab+c>0； a+b+cc0； a<b<0.其中正確結(jié)論的是.【答案：正確，將 x = 2即可；正確，將 x = T代入得：ab+c>0;錯誤，將x=1代入彳導(dǎo)：a+b+c0;正確，將x = -2代入得：4a 2b+c = 0 ,將x = 1代入得：a+b+c>0,所以(4a -2b +c) -(a +b

6、+c) <0 ,整理得：3a -3b <0 例9、已知二次函數(shù)y = 2x2 +3x +1的頂點(diǎn)是A ,與x軸的兩個交點(diǎn)為 B、C ( B點(diǎn)在C點(diǎn)的左側(cè))與y軸的交點(diǎn)為 D,求四邊形 ABCD的面積.31_1_9【答案：A(-,-) ； B(1,0)； C( 一,0) ； D(0,1)；面積為一】482322、二次函數(shù)頂點(diǎn)式；1 2 . 一.例10、把一次函數(shù)y=x的圖像向左平移1個單位，再向上平移3個單位，則所得 2圖像的解析式為：.一心12-127【答案：y= (x+1)+3或丫= x +x十2 22例11、如果拋物線y =x2mx+m+3的頂點(diǎn)在x軸上，那么 m=【答案：m

7、= 6或m = 2例12、拋物線y =ax2 1上有一點(diǎn)P(2, 2),平移該拋物線，使其頂點(diǎn)落在點(diǎn)A(1,1 ) A(1,1)處，這時，點(diǎn)P落在點(diǎn)Q處，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.【答案：Q(3, 4),原函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0, -1)2例13、將函數(shù)y = 2x2 +8x7寫成y =a(x+m) +k的形式為.【答案：y = 2(x2)2+1例14、已知函數(shù)y = (m +2 Km24ms是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：(1)滿足條件的m的值；(2)m為何值時，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個最低點(diǎn)，當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大；(3)m為何值時，拋物線有最大值？最大值是多少？當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減?。俊敬?/p>

8、案：(1) m = -3或m = 2;(2) m=2, (0,0);當(dāng)x=0時，y有最小值為0,當(dāng)x>0, y隨x的增大而增大(3) m=-3, (0,0)；當(dāng)x=0時，y有最大值為0,當(dāng)x>0, y隨x的增大而減小】例15、（1）若拋物線y = x2+mx +2m的頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，求 m的取值范圍;（2）已知拋物線y =x2 2（k +1）x+16的頂點(diǎn)在x軸上，求k的值；（3）若拋物線y =x2 2（k+1）x +16的頂點(diǎn)在y軸，求k的值.【答案：（1） mc0; （2） k=3 或 k=5; （3） k=1】3、二次函數(shù)交點(diǎn)式；例16、拋物線y =x2+bx + c經(jīng)過點(diǎn)（

9、0,-3）和（-1,0），那么拋物線的解析式是 .【答案：y =x2 -2x-31例17、二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn) （1,0） , （3,0）,且最大值是3,求二次函數(shù)的解析式.3 2 39【答案：y=x+ x+ 424例18、已知拋物線y =ax2+bx+c（a#0）與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是 -1和3, 與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 -3； （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線 的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).1 23.【答案：（1） y=-xx-一 ；（ 2）開口向上；對稱軸：直線x = 1 ；頂點(diǎn)坐標(biāo)（1,2）】2 2課后練習(xí)練1 .拋物線y = x2 6x +5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .【答

10、案：（3, Y）】練2.已知一元二次方程 x2+bx3 =0的一根為一3 ,在二次函數(shù)y=x2+bx 3的4 . 5.1圖象上有一八、（一，y1）、（ ，y2 ）、（ 一，y3 ） ,yi、y2、y3 的大小關(guān)系.5 46【答案：必丫2丫3】練3.已知函數(shù)y =（k3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 .【答案：k 4123練4. 右一次函數(shù) y=x -一x+c圖象的頂點(diǎn)在 x軸上，則c=.2,9【答案：c = 2】16練5.拋物線y=ax2+bx + c在點(diǎn)（3,1）處達(dá)到最高點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為與，則它的解析式為.【答案：y = -x2 +6x -8 練6.已知

11、拋物線y =ax2+bx+c經(jīng)過（1,2）、（3,0）兩點(diǎn)，它在x軸上截得線段的長為6 .求此拋物線的函數(shù)解析式.1 2 327 212 9,答案：y= x x + 或 y = x +一82844練7.已知拋物線y = x2+mx 2與直線y = 2x + b相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)M、點(diǎn)N的橫坐標(biāo)分別是7和一2.求：(1) M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線和拋物線的解析式；(3)若坐標(biāo)原點(diǎn)是 O,求iMON的面積.【答案：(1) M (7, -30) , N(底,12)； (2) y = _x2+3x2; y = 2x16；(3)SION 72 練8.拋物線y=ax2+bx + c過點(diǎn)(0,1)與點(diǎn)

12、(3,2 ),頂點(diǎn)在直線y=3x3上,a <0,求此二次函數(shù)的解析式.【答案：y = -x2 +4x -1 練9.已知二次函數(shù)圖象與 x軸交于A(-2, 0), B(3,0)兩點(diǎn)，且函數(shù)有最大值是2.(1) 求二次函數(shù)的圖象的解析式；(2) 設(shè)次二次函數(shù)的頂點(diǎn)為 P ,求 MBP的面積.(2) S,BP = 5 】/、82848【答案:(1) y=-x +-x+一；252525練10.已知拋物線y = x2mx+m2.(1)求證此拋物線與 x軸有兩個不同的交點(diǎn)；(2)若m是整數(shù)，拋物線 y = x2-mx十m-2與x軸交于整數(shù)點(diǎn)，求 m的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線頂點(diǎn)為 A ,拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn) 為B.若M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且 MA = MB ,求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案：(1) =b2-4ac>0;(2) m=2； (3) (1,0)或(0,1)】課后小測驗1 2 ,1 .將拋物線y=-x向下平移2個單位得到的拋物線的解析式為 ,再向右3平移3個單位得到的拋物線的解析式為 ，并分別寫出這兩個函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、.1 010【答案：y= X22； y=-(x-3)2-2； (0,-2) ； (3,-2) 332 .拋物線y=x2 6x16的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .【答案：(3, 15)】3 .二次函數(shù)y =x2 +bx+C的圖象沿x軸向左平移2個單位，再沿y軸向上