上海市松江區(qū)九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷

1、九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷題號(hào)一一三總分得分、選擇題（本大題共 6小題，共24.0分）1.下列圖形一定是相似圖形的是（）A.兩個(gè)矩形C.兩個(gè)正方形B.兩個(gè)周長(zhǎng)相等的直角三角形D.兩個(gè)等腰三角形2. 已知 RtAABC 中，70=90 °, AC=4,A. sinA=23B. cosA=23BC=6,那么下列各式中，正確的是（C. tanA=23D. cotA=233 .已知a, b是兩個(gè)非零向量，e是一個(gè)單位向量，下列等式中正確的是（）A. a|a|=eB. a|a|=b|b|C. |a|e=a4 . 已知ab=35 ,下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()D. |e|a=aA. a+bb=85B.

2、 a-bb=-25C. a+1b+1=ab D. ba=535.如圖，在那BC中，點(diǎn)E、F分別是邊 AC、BC的中點(diǎn)，設(shè)BC=a,CA=b,用a、b表示EF,下列結(jié)果中正確的是（A. 12(a+b)B. - 12(a+b)C. 12(b-a)D. 12(a-b)6.如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線 BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（A.EDAD=DFABB.BCDE=CFDFC.DEBC=EFFBD.BFBE=BCAE第16頁(yè)，共17頁(yè)、填空題（本大題共 12小題，共48.0分）7 . 已知線段a=4 cm, b=9 cm,則線段a, b的比例中項(xiàng)為 cm.8 .已知點(diǎn)

3、P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=4厘米，則較短線段AP的長(zhǎng)是 厘米.9 . 已知兩地的實(shí)際距離為 800米，畫(huà)在圖上的距離（圖距）為 2厘米，在這樣的地圖 上，圖距為16厘米的兩地間的實(shí)際距離為 千米.10 .計(jì)算，（2a-b） -12 （6a-4b） =.11 .已知 BBC的兩條中線 AD和BE相交于點(diǎn)G, BG=8,則BE=12.在以。為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)A （4, 2）,如果AO與x軸正半軸的夾角為a,那么COS a =13.在 AABC 中，/C=90 °, sinA=1213, BC=12,那么 AC=14 .如果a是銳角，且COt a =tan25那么a =

4、度.15 .如圖，線段BD與線段CE相交于點(diǎn)A, ED/BC,已知2BC=3ED, AC=8,貝U AE=.16 .如圖，點(diǎn) C、D在線段AB上（AC>BD） , APCD力是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，且"PB=120° ,若AB=19, 則 AC=.17 .如果三角形有一邊上的高恰好等于這邊長(zhǎng)的12,那一忑么稱這個(gè)三角形為 好玩三角形：在Rt9BC是好玩三角形"，且/C=90°,則 tanA=.18 .在 RtAABC 中，/ACB=90 ： AB=9, cosA=23,如果將 AABC 繞著點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)至 AAB C ' 的位置，使點(diǎn)B落在

5、/ACB的角平分線上，AB與AC相交于點(diǎn)D ,那么線段CD 的長(zhǎng)等于.三、解答題（本大題共7小題，共78.0分）19 . 3sin60 -2cos30 + tan60 ?cot45 °20 .已知：如圖，兩個(gè)不平行的向量a和b.求作（1） 2a+b； （ 2） a-b（不要求寫(xiě)作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）21.如圖，在 AABC 中，DE/BC, DEBC=25.(1)如果AD=4,求BD的長(zhǎng)度；(2)如果 Szade=2,22.如圖，在 AABC 中，AB=AC=10, sinC=35 ,點(diǎn) D 是 BC 上一點(diǎn)，且DC=AC.D（1）求BD的長(zhǎng)；(2)求 tan/BAD.2

6、3.24.如圖，在四邊形ABCD中，AD IBC, BA和CD的延長(zhǎng)線交于 P, AC和BD交于點(diǎn)O,連接PO并延長(zhǎng)分別交 AD、BC于M、N.求 證：AM=DM.如圖，已知直線y=-34x+b與y軸相交于點(diǎn) B(0,3), 與x軸交于點(diǎn)A,將 BOB沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在 x軸上的點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合.聯(lián)結(jié)PB.以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線PM交AB 于點(diǎn) M,使 ZBPM=ZBAC.求證：APBCsMPA.是否存在點(diǎn)P,使4PBM為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.25.在 AABC 中，AB=AC=10,si

7、n/BAC=35,過(guò)點(diǎn) C 作 CD/AB,點(diǎn) E 在邊 AC 上，AE=CD, 聯(lián)結(jié)AD, BE的延長(zhǎng)線與射線 CD、射線AD分別交于點(diǎn)F、G.設(shè)CD=x, ACEF 的面積為y.(1)求證：ZABE=ZCAD.(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) G在線段AD上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域.(3)若ADFG是直角三角形，求 4CEF的面積.答案和解析1 .【答案】C【解析】解:A、兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，故不符合題意；B、兩個(gè)周長(zhǎng)相等的直角三角形的 對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合題意；C、兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意；D、兩個(gè)等腰三角形頂角不一定相等，故不

8、符合題意.故選:C.根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)，用排除法求解.本題考查相似形的定義，熟悉各種圖形的性質(zhì)和相似形的定義是解題的關(guān)鍵.2 .【答案】D 【解析】解：.£=90 , BC=6, AC=4,. AB=2 ,A . sinA= 二單四，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B . cosA= 蓋=筆 ,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；DC :，C. tanA= =5 ,故此選項(xiàng)錯(cuò)塊； _ ll.i 二D . cotA=示=、,故此選項(xiàng)正確.故選：D.本題可以利用銳角三角函數(shù)的定 義以及勾股定理分 別求解，再進(jìn)行判斷即可.此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定 義以及勾股定理，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.3 .

9、【答案】D 【解析】解:A、得出的是a的方向不是單位向量，故錯(cuò)誤；B、方力得出的是a的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故C、由于單位向量只限制長(zhǎng)度，不確定方向，故錯(cuò)誤；D、符合向量的長(zhǎng)度及方向，故正確；故選：D.長(zhǎng)度不為0的向量叫做非零向量，向量包括 長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒(méi)規(guī)定方向，則可分析 求解.本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的性質(zhì)和計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.4 .【答案】C【解析】A、如果；：=，那么 a+b) b= C+d) d b、dwQ .所以=；,得'J 三亂,故該選項(xiàng)正確；B、如果a：b=c：d那么

10、 a-b) b= C-d) d b、dw。.所以巾;=：,<1=,故該選項(xiàng)正確；C、由得，5a=3b,所以a*b 又由;.：=得，ab+b=ab+a即 a=b.故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由;=：得，5a=3b;又由二=?得，5a=3b.故該選項(xiàng) 正確； rJ J-IU! ii故選:C.根據(jù)比例的性質(zhì)(合分比定理)來(lái)解答.本題主要考查的合分比定理和更比定理.合比定理：如果a：b=c：d,那么a+b) b= C+d) d b、dw。；分比定理：如果a：b=c：d那么a-b) b= C-d) d b、dw。；合分比定理:如果 a：b=c：d那么 a+b) : a-b)= C+d) : c-d) b、d

11、、a-b、c-d w Q ；更比定理：如果a：b=C：d那么a：C=b：d a、b、c、dw。.5 .【答案】B【解析】解：元=丁、而一了 ,.5=?？?仁1=- =值 + b)，, £F= : All= 2 f Tf + b l故選：B.此題主要用到了三角形中位 線定理，在向量CA、BC已知的情況下，可求出向量AB,又矢胭中EF為中線，所以只要準(zhǔn)確把AB表示出來(lái)，向量EF即可解 決.本題考查平面向量、三角形中位線定理.解決本題的關(guān)鍵是懂得三角形中如何用三邊向量表示、三角形的中位 線定理的應(yīng)用.6 .【答案】A【解析】解：四邊形ABCD是矩形，. BC/DE, AD=BC ,ZBCF

12、s/edf,BC CF DF EF:正=瓦，羨=京，故B, C正確，.DF AB ,BF AD BC 丁色BE AE= AE ?故D 正確，故選:A.根據(jù)矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理即可解決 問(wèn)題；本題考查相似三角形的判定，平行線分線段成比例定理等知 識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.7 .【答案】6 【解析】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性 質(zhì)，得：比例側(cè)的平方等于兩條線段的乘積.設(shè)它們的比例中項(xiàng)是x,則x2=4X9,x=,線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），故晚.根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出中項(xiàng)，注意線段不能為負(fù).理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù).8

13、 .【答案】6-25 【解析】解：.點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)， 1 二,_.,.較長(zhǎng)線段 BP=-; >4=2'%-2 （厘米），.較短線段AP=4- 2濾-2）=6-2%行（厘米），故答案為:6-2湘.根據(jù)黃金比是計(jì)算.2本題考查的是黃金分割，掌握黃金分割的概念，黃金比是 正。是解題的關(guān) 鍵.9 .【答案】6.4【解析】解：設(shè)圖距為16厘米的兩地的實(shí)際距離為x米.一、2根據(jù)題意得到：,=.解得x=6400 （米），經(jīng)檢驗(yàn)：x=6400是原分式方程的解，所以圖距為16厘米的兩地間的實(shí)際距離為6.4千米，故答案為64.根據(jù)地圖上的距離的比值等于實(shí)際距離的比值，列比例式即可求解.本

14、題主要考查比例線段，判定四條線段是否成比例，只要把四條 線段按大小 順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段 之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系.10 .【答案】-a+b【解析】解：原式=2 - * -3 +2匕=-TT +石，故答案為:-F +了.先去括號(hào)，后合并即可解決問(wèn)題本題考查平面向量的加法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考 基礎(chǔ)題.11 .【答案】12【解析】解：:zABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G,G點(diǎn)為BBC的重心,. BG=2GE,. GEj BG=4, .BE=8+4=12.故答案為12.利用重心的性 質(zhì)得到

15、GE= ' BG=4,從而計(jì)算出BG+GE的和即可.本題考查了重心的性質(zhì)：重心至順點(diǎn)的距離與重心到 對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比 為2:1.12 .【答案】255【解析】解：.在以。為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)A 4, 2),利用銳角三角函數(shù)的定 義、坐示與圖形性質(zhì)以及勾股定理的知 識(shí)求解.本題考查了解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定 義、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股 定理的知識(shí)，止題比較簡(jiǎn)單，易于掌握.13 .【答案】5【解析】解：feABC 中，ZC=9(J ,.* I? sinA= 13，BC=12,. AB=13,. ac=J.w 曰y =5.故答案為5.先根據(jù)正切的定 義得到sinA=j =

16、 e，則可得到AB=13 ,然后根據(jù)勾股定理 計(jì)算AC的長(zhǎng).本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的 過(guò)程 就是解直角三角形.14 .【答案】65【解析】解：,a是銳角，且cot a =tan25.a =6q故答案為：65.依據(jù)a是銳角，且cot a =tan25°即可得出a =65：本題主要考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，若ZA+ ZB=90° ,那么sinA=cosB或 sinB=cosA.15 .【答案】163 【解析】解：.ED/BC,= A（ = RL又.2BC=3ED, DE ? =hi. AE=-I Jr nrnr 2.四?依據(jù)ED/BC,

17、可得手二五二，再根據(jù)五二二4，即可得到二%，進(jìn)而得出 HL. JJL.JUL. >門(mén) ”一 Hi AE= " .kJ本題考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，注意：平行于三角形一邊的直 線截其他兩邊（或兩力的延長(zhǎng)線），所得削應(yīng)線段成比例.16 .【答案】9 【解析】解：ZPCD是等邊三角形，PC=CD=PD=6, /PCD=/PDC=60°, jACP=ZPDB=120 °,：.A+ ZAPC=60°,v jAPB=120 °,.Y+ ZB=60°,APC=ZB,zACPs/pdb,. AC:PD=PC: BD, .AC?BD=P

18、D?PC=36,設(shè) AC=x,貝U BD=AB-AC-CD=13-x ,x Q3-x）=36,解得：x=9,或x=4 （舍去），. AC=9；故答案為：9.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PC=CD=PD=6, /PCD=/PDC=60 ,得出 /ACP=/PDB=120°,證出 “PC=ZB,得出AACPs/pdb,因止匕AC：PD=PC：BD, AC?BD=PD?PC=36,設(shè) AC=x，則 BD=AB-AC-CD=13-x ,得出方程，解方 程即可.該題考查了相似三角形的判定及其性 質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用等幾何 知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題；猴掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決 問(wèn)題的關(guān)鍵

19、.17.【答案】12或2或1【解析】解：分三種情況：圖1高 AC二 ； BC, 止匕時(shí) tanA=mz = 6=2；如圖2,高BC=； AC,此時(shí)tanA=尼=,設(shè) AC=x , BC=y, CD=a,貝U AB=2a,由三角形面積公式和勾股定理得:解得：x=y=M咆a僅數(shù)舍去）， .tanA= -7 =1 ；故答案為：1或2或1.分為三種情況：畫(huà)出圖形，再解直角三角形即可.本題考查了解直角三角形、勾股定理和三角形的面 積，能求出符合的所有情 況是解此題的關(guān)鍵，有一定難度，要分情況討論.18.【答案】302-1210【解析】解：女用，作B' SC于F,A' EgC于E. zBC

20、B' /CB'與ACA' =45,°區(qū)EC1等腰直角三角形，CB'是等腰直角三角形,在 RtAACB 中，AB=9 , cosA=:，. AC=6, BC=3 ,. BF=CF= , EC=A' E® ,_1 .八一，二、B=o ><6><3v1,)= ? CD? 3V - +,. CD=30f-12h而,故答案為30g-12/in .如圖，作B' gC于F,A' ESC于E.利用面積法構(gòu)建方程即可解決 問(wèn)題; 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和三角形面 積求法等知 識(shí),利用S3，C

21、=sAcdB +s3da求出是解題關(guān)鍵19 .【答案】 解：原式=3X32-2 >32 + 3X1 = 332 .【解析】 直接利用特殊角的三角函數(shù) 值代入求出答案.此題主要考查了特殊角的三角函數(shù) 值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.20 .【答案】 解：（1）如圖1中，AC即為所求；（2）如圖2中，EF即為所求；【解析】1）女置1中，利用三角形法則，作而=2/，正二葭則飛即為所求；2）女由2中，利用三角形法則，Z作方1 =T，方F =亍，則前即為所求；本題考查作圖，平面向量、三角形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本 知識(shí)，屬于中考?？碱}型.21 .【答案】解：(1).DE IBC,.ZA

22、DEMBC,. ADAB = DEBC,. DEBC=25 , AD=4,. 44+BD =25 ,. BD=6；(2) .,ADEsMBC, DEBC=25 , 2 SA ADESA ABC DEBC),，.Saade=2 , 222+S 四邊形 DBCE= (25), 解得：S 四邊形dbce=212 . 【解析】1）根據(jù)相似三角形的判定得出 BDEs&BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可;2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可.本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，能推出用des*bc是解此題的關(guān) 鍵，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方.22 .【答案

23、】 解：(1)過(guò)點(diǎn)A作AE1BC于點(diǎn)E,.AB=AC,.BE=CE,在 RtAACE 中，AC=10, sin/C=35,.AE=6,. CE=AC2-AE2 =8,. BC=2CE=16,. BD=BC-BD=BC-AC=6.(2)過(guò)點(diǎn)D作DFAB于點(diǎn)F,在 RtABDF 中，BD=6, sin ZB=sin ZC=35 ,. DF=185 ,. BF = BD2-DF2 =245,. AF=AB-BF=265 ,. tan/BAD = DFAF=913 .【解析】1）過(guò)點(diǎn)A作AE1BC于點(diǎn)E,求出CE,BE,再由CD=AC ,可求出BD的長(zhǎng)度.2）過(guò)點(diǎn)D作DFMB于點(diǎn)F,在RtBDF中求出

24、DF, BF,繼而可得AF ,從而 可求 tan/BAD .本題考查了解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，注意熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義.23 .【答案】 證明：.AD/BC,. AMNC=AOCO,.AD /BC,. AOOC=ADBC=PDPC=MDNC,.AMNC=MDNC,.AM=MD.【解析】依據(jù)AD /BC,即可得出 w = c0 ,再根據(jù)AD /BC,即可得到石=BC'=PD AfD，人所=，進(jìn)而得到結(jié)論.本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，平行于三角形一 邊的直線 截其他兩邊（或兩力的延長(zhǎng)線），所得削應(yīng)線段成比例.(0, 3),24

25、.【答案】(1)解：.直線y=-34x+b與y軸相交于點(diǎn)B . b=3,.,直線的解析式為y=-34x+3,令y=0 ,得到x=4,-A (4, 0),點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，. C (-4, 0).(2) 證明： zBPM = /BAC,且 /PMA= ZBPM + /PBM , /BPC=/BAC+/PBM,，zPMA=/BPC.又.點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，且 /BPM=/BAC, ，zBCP= /MAP. .ZPBCsmpa.解：存在.由題意：A (4, 0) , B (0, 3) , C (-4, 0)當(dāng)/PBM=90° 時(shí)，則有 ABPOsMBO. POBO=BOAO,即

26、PO3=34,. PO=94,即：Pi (-94, 0).當(dāng) /PMB=90° 時(shí),則 ZPMA 90°.zPAM+ZMPA=90°.zBPM=ZBAC, .zBPM+ZAPM=90°. BPSC.過(guò)點(diǎn)B只有一條直線與 AC垂直，.此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，即：符合條件的點(diǎn) P2的坐標(biāo)為：P2 (0, 0) .使4PBM為直角三角形的點(diǎn) P有兩個(gè)Pi (-94, 0) , P2(0, 0).【解析】QA與C關(guān)于y軸對(duì)稱，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；2)根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，即可得到BC=BA , WJ/BCP=ZMAP ,再根據(jù)三角形的外角的性 質(zhì)即可證得/P

27、MA=/BPC,從而證得兩個(gè)三角形相 似；首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)/PBM=90°時(shí)，則有ABPOs&bo ,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長(zhǎng)，求得P的坐標(biāo)；當(dāng)/PMB=9 0時(shí)，則/PMAr 90°時(shí)，BP必C,則此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合.則P的坐標(biāo)可以求得.本題是屬于一次函數(shù) 綜合題，考查了相似三角形的判定和性 質(zhì)、待定系數(shù)法、次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬 于中考?jí)狠S題.25.【答案】解：(1) .CD /AB, zBAC= /ECD,又.AE=CD, AB=AC,.ZDACAEBA (SAS), .MBE=/CAD；(2)過(guò)點(diǎn)E