八個有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(學(xué)生版)()

1、八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型(三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑，三棱錐與長方體的外接球相同)方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2=a2+b2+c2 ,即2R = Ja2+b2 + c2 ,求出R4,體積為16,則這個球例1 (1)已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為的表面積是(A. 16二B20二(2)若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為則其外接球的表面積是(3)在正三棱錐 S-ABC中，M、N分別是棱SGBC的中點，且AM _L MN ,若側(cè)SCB(3)題-1棱SA = 2點，則正三棱錐S ABC外接球的表面積是解：引理：正三

2、棱錐的對棱互垂直，證明如下: 如圖(3) -1 ,取AB,BC的中點D,E ,連接AE,CD , AE,CD交于H ,連接SH ,則H是底面正三角形 ABC的中心，,SH_L平面ABC, .SH_LAB, <AC=BC, AD=BD,二 CD _L AB , AB .L 平面 SCD ,二 AB.LSC , 同理：BC_LSA, AC_LSB,即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3) -2 , 丁 AM _L MN , SB/MN , AM 1SB, 丁 AC_LSB,二 SB_L平面 SAC, ，SB_LSA, SB1SC, v SB ISA, BC 1 SA, ,SA_L平面SBC

3、, . SA-LSC ,故三棱錐 S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互垂直, (2R)2 =(2m)2 +(273)2 +(213)2 =36 ,即 4R2 =36 ,二外接球的表面積是 36幾(4)在四面體 S ABC 中，SA_l 平面 ABC , / BAC = 120 ：SA= AC = 2, AB = 1,則該四面體的外接球的表面積為（5）如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是（6）已知某幾何體的三視圖如圖上右所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為 類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1 .題設(shè)：如

4、圖5, PA_L平面ABC解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點,作小圓的直徑AD ,連接PD ,則PD必過球心O ;第二步：OAABC的外心，所以O(shè)OJ平面ABC,算出小圓01的半徑OiD=r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得a b c 、1=2r）, OO= PA;sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 =PA2+(2r)2u 2R = ,PA2 +)2 ;Z R2 =r2 0012M R= r2 OO12 2.題設(shè)：如圖6, 7, 8, P的射影是AABC的外心之三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等u 三棱錐

5、P-ABC的底面MBC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點 解題步驟：第一步：確定球心 。的位置，取AABC的外心O則PQQ,三點共線；第二步：先算出小圓O1的半徑AO=r ,再算出棱錐的高PO1=h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 =O1A2+O1O2 = R2 =（h R）2+r2 ,解出R.方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為A. 3兀B. 2nC.回 D .以上都不對3類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直）1 .題設(shè)：如圖9-1 ,平面PAC_L平面ABC,且AB_L BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心 。必是

6、APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC =2r ;第二步：在APAC中，可根據(jù)正弦定理 a=b=J=2R,求出Ro sin A sin B sinC2 .如圖9-2 ,平面PAC _L平面ABC，且AB _L BC （即AC為小圓的直徑）3 .如圖9-3,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是AABC的外心。三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等 。三棱P-ABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心。的位置，取AABC的外心Oi,則P,O,Oi三點共線；第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi =r

7、，再算出棱錐的高POi =h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 =O1A2+0102 n R2 =（h-R）2+r2 ,解出 R4.如圖9-3，平面PAC _L平面ABC，且AB_L BC （即AC為小圓的直徑），且PA_L AC ,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 = PA2+（2r）2u 2R =，PA2 + （2r）2 ; R2 =r2 OO； = R=/r2 OO；例3 (1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為2J3,則該球的表面積為。(2)正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 22 ,各頂點都在同一個球面 上，則此球的體積為(3

8、)在三棱錐PABC中，PA = PB = PC =73，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐外接球的體積為()4：,A.二 B. C. 4 二 D. (4)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的求面上，AABC是邊長為1的正三角 形，SC為球O的直徑，且SC = 2;則此棱錐的體積為()A.互B.& C .互D.火6632類型四、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)題設(shè)：如圖10-1 ,圖10-2,圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：確定球心 。的位置，01是AABC的外心，則OO1，平面ABC；1

9、1第二步：算出小圓 01的半徑AO1=r, OO1 =1AA =h (慶人=八也是圓柱的身)；2 2第三步：勾股定理：0A2 =01A2+0102n R2=(9)2+r2= R = qr2+(32 ,解出 R 212例4 (1) 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長為3,則這個球的體積8為(2 ) 直二棱柱ABC - A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB =AC =AA =2 , NBAC =120%則此球的表面積等于 。(3 )已知AEAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA =EB =3,AD

10、=2,/AEB =60 口，則多面體 E A B C D 外接球的表面積 為。(4 ) 在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，AB =4,AC =6, A =二,AA =4貝U直三棱柱 3ABC - AB。的外接球的表面積為 。類型五、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)第一步：先畫出如圖所示的圖形，將 ABCD畫在小圓上，找出ABCD和AABD的外 心H1和H2 ；第二步：過HDH2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點即為球心O ,連接 OE,OC ;第三步：解AOEH1,算出OH1,在RtAOCH1中，勾股定理：OH； + CH； = OC2

11、例5三棱錐P-ABC中，平面 PAC_L平面ABC, PAC和 ABC均為邊長為2的 正三角形，則三棱錐 P-ABC外接球的半徑為 .類型六、對棱相等模型(補形為長方體)題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑(AB = CD,AD=BC, AC=BD)第一步：畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為 a,b,c, AD = BC = x, AB=CD = y , AC = BD = z , 列方程組，AxDyzzxbaBcya +b =x2 +2.2.2.22/c22 . . 2 .2 x y zb c = y = (2R)= a b

12、 c 二2222c a = z1 . 1 .2R = . a2 b2 c2補充：VA BCD =abc abc 4 abc 一63R2第三步：根據(jù)墻角模型,例如，正四面體的外接球半徑可用此法,求出R,例6 (1)棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 (2) 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是()A 3X3B g C .迎 D .史43412(3)在三棱錐 A BCD中，若 AB=CD=2,AD = BC=3, AC = BD=4,貝IJ 三棱錐A-BC

13、D外接球的表面積為 。(4)在三棱錐 A - BCD中，AB = CD = 5,AC = BD = 6, AD = BC = 7,則該三棱錐外接 球的表面積為.(5)正四面體的各條棱長都為2 ,則該正面體外接球的體積為 類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)：/APB =/ACB =90：求三棱錐P-ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點O ,連接1OP,OC ,貝U OA=OB =OC =OP =AB ,二。為二棱錐P ABC外接球球心，然后在2OCP中求出半徑) 例7 (1)在矩形ABCD中，AB=4, BC=3,沿AC將矩形ABCD折成

14、一個直二面角BACD,則四面體ABCD的外接球的體積為（A.125H12125H9125ji6125n3（2）在矩形 ABCD中，AB=2, BC=3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接 AC,所 得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為AB圖14C類型八、錐體的內(nèi)切球問題1 .題設(shè)：如圖14,三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其外接球 的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個三角形的外心；1第一步：求 DH =BD, PO=PHr, PD是側(cè)面AABP的身； 3第三步：由APOE相似于APDH ,建立等式： 匹=曳，解出rDH PD2 .題設(shè)：如圖15,四棱錐P-ABC上正四棱錐，求其外接

15、球 的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點共線；1第一步：求FH =BC, PO=PHr, PF是側(cè)面APCD的局;2第三步：由APOG相似于APFH ,建立等式： 旭二里，解出HF PF3 .題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑 方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第一步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式：VP-ABC=VO-ABC,VO-PAB,VO-PAC,VO-PBC第三步：解出r)迎3SO -BCSO -PAB SO -PAC SO -PBC習(xí)題：1 .若三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且 SA = 2, SB = SC = 4,則該三棱錐的 外接球半徑為（）A. 3 B. 6C. 36D. 92 .三棱錐S - ABC中，側(cè)棱SA_L平面ABC ,底面ABC是邊長為33的正三角形， SA = 2V3,則該三棱錐的外接球體積等于.3 .正三棱錐S - ABC中，底面ABC是邊長為V3的正三角形，側(cè)棱