全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編——10立體幾何

1、2021年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編10立體幾何1.【2021高考安徽，理5】，是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，那么以下命題正確的選項(xiàng)是 A假設(shè)，垂直于同一平面，那么與平行 B假設(shè)，平行于同一平面，那么與平行 C假設(shè)，不平行，那么在內(nèi)不存在與平行的直線 D假設(shè)，不平行，那么與不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由，假設(shè)，垂直于同一平面，那么，可以相交、平行，故不正確；由，假設(shè)，平行于同一平面，那么，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，假設(shè)，不平行，但平面內(nèi)會(huì)存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項(xiàng)，其逆否命題為“假設(shè)與垂直于同一平面，那么，平行是真命題，故項(xiàng)正確.所以選D.【考

2、點(diǎn)定位】1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.【評(píng)注】空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫(huà)圖尤其是畫(huà)長(zhǎng)方體、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法如墻角、桌面等、排除篩選法等；另外，假設(shè)原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).2.【2021高考北京，理4】設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且“是“的 A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)?，是兩個(gè)不同的平面，是直線且假設(shè)“，那么平面可能相交也可能平行，不能推出，反過(guò)來(lái)假設(shè)，那么有，那么“是“的必要而不充分條件.考點(diǎn)定位：此題考點(diǎn)為空

3、間直線與平面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考察線面、面面平行問(wèn)題和充要條件的有關(guān)知識(shí).【評(píng)注】此題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及充要條件，此題屬于根底題，此題以空間線、面位置關(guān)系為載體，考查充要條件考查學(xué)生對(duì)空間線、面的位置關(guān)系及空間面、面的位置關(guān)系的理解及空間想象能力，重點(diǎn)是線面平行和面面平行的有關(guān)判定和性質(zhì).3.【2021高考新課標(biāo)1，理6】?九章算術(shù)?是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆

4、放的米各為多少?1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，那么=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷22，應(yīng)選B.【考點(diǎn)定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式【評(píng)注】此題以?九章算術(shù)?中的問(wèn)題為材料，試題背景新穎，解答此題的關(guān)鍵應(yīng)想到米堆是圓錐，底面周長(zhǎng)是兩個(gè)底面半徑與圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，是根底題.4.【2021高考陜西，理5】一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為 A B C D【答案】D【解析】由三視圖知：該幾何體是半

5、個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，所以該幾何體的外表積是，應(yīng)選D【考點(diǎn)定位】1、三視圖；2、空間幾何體的外表積【名師點(diǎn)晴】此題主要考查的是三視圖和空間幾何體的外表積，屬于容易題解題時(shí)要看清楚是求外表積還是求體積，否那么很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤此題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計(jì)算出幾何體各個(gè)面的面積即可5.【2021高考新課標(biāo)1，理11】圓柱被一個(gè)平面截去一局部后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖.假設(shè)該幾何體的外表積為16 + 20，那么r= A1 B2 C4 D8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半

6、徑都為r，圓柱的高為2r，其外表積為=16 + 20，解得r=2，應(yīng)選B.【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的外表積公式、圓柱的測(cè)面積公式【評(píng)注】此題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖的識(shí)別，是常規(guī)提，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊的法那么組合體中的各個(gè)量.6.【2021高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為A、 B、C、 D、【答案】A【解析】這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體，選A.【考點(diǎn)定位】組合體的體積.【名師點(diǎn)晴】此題涉及到三視圖的認(rèn)知，要求學(xué)生能由三視圖畫(huà)出幾何體的直觀圖，從而分析出它

7、是哪些根本幾何體的組合，應(yīng)用相應(yīng)的體積公式求出幾何體的體積，關(guān)鍵是畫(huà)出直觀圖，此題考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.7.【2021高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的外表積是 A B C D5【答案】C【解析】根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐，其中平面ABC，取AB棱的中點(diǎn)D，連接CD、PD，有，底面ABC為等腰三角形底邊AB上的高CD為2，AD=BD=1,PC=1,三棱錐外表積.考點(diǎn)定位：此題考點(diǎn)為利用三視圖復(fù)原幾何體及求三棱錐的外表積，考查空間線線、線面的位置關(guān)系及有關(guān)線段長(zhǎng)度及三角形面積數(shù)據(jù)的計(jì)算.【評(píng)注】此題考查三視圖及多面體的外表積，此題屬于根底題，正確利用三視圖復(fù)原為

8、原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的復(fù)原，另外要利用線面垂直的性質(zhì)，判斷三角形的形狀，特別是側(cè)面的形狀為等腰三角形，正確求出三個(gè)側(cè)面的面積和底面的面積.8.【2021高考安徽，理7】一個(gè)四面體的三視圖如下圖，那么該四面體的外表積是 A B C D 【答案】B【解析】由題意，該四面體的直觀圖如下，是等腰直角三角形，是等邊三角形，那么，所以四面體的外表積，應(yīng)選B. 【考點(diǎn)定位】1.【評(píng)注】三視圖是高考中的熱門(mén)考點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.同時(shí)熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖，這對(duì)于解答這類(lèi)問(wèn)題非常有幫助，此題還應(yīng)注意常見(jiàn)幾何體的體積和外表積公式.9.【2021高考新課標(biāo)2，理9】A,

9、B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)三棱錐O-ABC體積的最大值為36，那么球O的外表積為( )【答案】C【解析】如下圖，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，那么球的外表積為，應(yīng)選C【考點(diǎn)定位】外接球外表積和椎體的體積【評(píng)注】此題以球?yàn)楸尘翱疾榭臻g幾何體的體積和外表積計(jì)算，要明確球的截面性質(zhì)，正確理解四面體體積最大時(shí)的情形，屬于中檔題10.【2021高考山東，理7】在梯形中， .將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為 A B C D 【答案】C【解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的

10、幾何體是一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為： 應(yīng)選C.【考點(diǎn)定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.【評(píng)注】此題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體的體積的計(jì)算，重點(diǎn)考查了圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計(jì)算，表達(dá)了對(duì)學(xué)生空間想象能力以及根本運(yùn)算能力的考查，此題屬中檔題.11.【2021高考浙江，理8】如圖，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，那么 A. B. C. D. 【答案】B.【解析】試題分析：設(shè)，設(shè)，那么由題意，在空間圖形中，設(shè)，在中，在空間圖形中，過(guò)作，過(guò)作，垂足分別為，過(guò)作，連結(jié)，那么

11、就是二面角的平面角，在中，同理，故，顯然面，故，在中，在中，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而在上為遞減函數(shù)，應(yīng)選B.【考點(diǎn)定位】立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【評(píng)注】此題主要考查立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，屬于較難題，由于的形狀不確定，與的大小關(guān)系是不確定的，再根據(jù)二面角的定義即可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立以立體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學(xué)試卷的熱點(diǎn)問(wèn)題，12年，13年選擇題壓軸題均考查了立體幾何背景的創(chuàng)新題，解決此類(lèi)問(wèn)題需在平時(shí)注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)此類(lèi)問(wèn)題的訓(xùn)練.【2021高考湖南，理10】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過(guò)切割，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，那

12、么原工件材料的利用率為材料利用率= A. B. C. D.【答案】A.【解析】試題分析：分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值，設(shè)長(zhǎng)方體體的長(zhǎng)，寬，高分別為，長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為，那么，如以下圖所示，圓錐的軸截面如下圖，那么可知，而長(zhǎng)方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，應(yīng)選A.【考點(diǎn)定位】1.圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體；2.根本不等式求最值.【評(píng)注】此題主要考查立體幾何中的最值問(wèn)題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用根本不等式求解，解決此類(lèi)問(wèn)題的兩大核心思路：一是化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)

13、求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用根本不等式，求其最值.12.【2021高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如下圖單位：cm，那么該幾何體的體積是 A. B. C. D. 【答案】C.【解析】試題分析：由題意得，該幾何體為一立方體與四棱錐的組合，如以下圖所示，體積，應(yīng)選C.【考點(diǎn)定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積計(jì)算.【評(píng)注】此題主要考查了根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再計(jì)算其體積，屬于容易題，在解題過(guò)程中，根據(jù)三視圖可以得到該幾何體是一個(gè)正方體與四棱錐的組合，將組合體的三視圖，正方體與錐體的體積計(jì)算結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力，

14、會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，表達(dá)了知識(shí)點(diǎn)的交匯.13.【2021高考福建，理7】假設(shè) 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，那么“ 是“ 的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】假設(shè)，因?yàn)榇怪庇谄矫妫敲椿?；假設(shè)，又垂直于平面，那么，所以“ 是“ 的必要不充分條件，應(yīng)選B【考點(diǎn)定位】空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系【評(píng)注】此題以充分條件和必要條件為載體考查空間直線、平面的位置關(guān)系，要理解線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化以及線線平行和線面平行的轉(zhuǎn)化還有平行和垂直之間的內(nèi)部聯(lián)系，長(zhǎng)方體是直觀認(rèn)識(shí)和描述空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系很好的載體，所以我們可以

15、將這些問(wèn)題復(fù)原到長(zhǎng)方體中研究14.【2021高考新課標(biāo)2，理6】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一局部后，剩余局部的三視圖如右圖，那么截去局部體積與剩余局部體積的比值為( )A B C D【答案】D【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如下圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，那么，故剩余幾何體體積為，所以截去局部體積與剩余局部體積的比值為，應(yīng)選D【考點(diǎn)定位】三視圖【評(píng)注】此題以正方體為背景考查三視圖、幾何體體積的運(yùn)算，要求有一定的空間想象能力，關(guān)鍵是能從三視圖確定截面，進(jìn)而求體積比，屬于中檔題【2021高考上海，理6】假設(shè)圓錐的側(cè)面積與過(guò)軸的截面面積之比為，那么其母線與軸的夾角的大小為 【答案】【解析】由題意得

16、：母線與軸的夾角為【考點(diǎn)定位】圓錐軸截面【評(píng)注】掌握對(duì)應(yīng)幾何體的側(cè)面積，軸截面面積計(jì)算方法.如 圓柱的側(cè)面積 ，圓柱的外表積 ，圓錐的側(cè)面積 ，圓錐的外表積 ，球體的外表積 ，圓錐軸截面為等腰三角形.【2021高考上海，理4】假設(shè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其體積為，那么 【答案】【解析】【考點(diǎn)定位】正三棱柱的體積【評(píng)注】,區(qū)別錐的體積；熟記正三角形面積為，正六邊形的面積為.15.【2021高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，那么的最大值為 .【答案】【解析】，那么.

17、設(shè)，那么，由于異面直線所成角的范圍為，所以.，令，那么，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.【考點(diǎn)定位】1、空間兩直線所成的角；2、不等式.【評(píng)注】空間的角與距離的問(wèn)題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解.解此題要注意，空間兩直線所成的角是不超過(guò)90度的.幾何問(wèn)題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在P處時(shí)，EM與AF所成角為直角，此時(shí)余弦值為0最小，當(dāng)M點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，EM與AF所成角逐漸變小，點(diǎn)M到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，角最小，從而余弦值最大.16.【2021高考天津，理10】一個(gè)幾何體的三視圖如下圖單位：，那么該幾何體的體積為 . 【答案】【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個(gè)底面半徑為，高為

18、的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積.【考點(diǎn)定位】三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式.【評(píng)注】主要考查三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式及空間想象能力、運(yùn)算能力.識(shí)圖是數(shù)學(xué)的根本功，空間想象能力是數(shù)學(xué)與實(shí)際生活必備的能力，此題將這些能力結(jié)合在一起，表達(dá)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)也考查了學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握與應(yīng)用、計(jì)算能力.17.【2021高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，那么異面直線，所成的角的余弦值是 【答案】.【解析】試題分析：如以下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，那么可知即為異面直線，所成角或其補(bǔ)角易得，即異面直線，所成角的余弦值為.【考點(diǎn)定位】異面直線的夾角.【評(píng)注】此題主要考查

19、了異面直線夾角的求解，屬于中檔題，分析條件中出現(xiàn)的中點(diǎn)，可以考慮利用三角形的中位線性質(zhì)利用平移產(chǎn)生異面直線的夾角，再利用余弦定理的變式即可求解，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)了解兩條異面直線夾角的范圍，常見(jiàn)的求異面直線夾角的方法等知識(shí)點(diǎn).18.【2021江蘇高考，9】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)。假設(shè)將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，那么新的底面半徑為 【答案】【解析】由體積相等得：【考點(diǎn)定位】圓柱及圓錐體積【名師點(diǎn)晴】求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換

20、空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體19.【2021高考新課標(biāo)2，理19】此題總分值12分如圖，長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)，分別在，上，過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形DD1C1A1EFABCB1在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形不必說(shuō)出畫(huà)法和理由；求直線與平面所成角的正弦值【答案】詳見(jiàn)解析；【解析】交線圍成的正方形如圖：作，垂足為，那么，因?yàn)闉檎叫?，所以于是，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么，設(shè)是平面的法向量，那么即所以可取又，故所以直線與平面所成

21、角的正弦值為【考點(diǎn)定位】1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角【評(píng)注】根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)畫(huà)平面與長(zhǎng)方體的面的交線；由交線的位置可確定公共點(diǎn)的位置，坐標(biāo)法是求解空間角問(wèn)題時(shí)常用的方法，但因其計(jì)算量大的特點(diǎn)很容易出錯(cuò)，故坐標(biāo)系的選擇是很重要的，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，先求出面的法向量，利用求直線與平面所成角的正弦值20.【2021江蘇高考，16】此題總分值14分如圖，在直三棱柱中，設(shè)的中點(diǎn)為，.求證：1； 2.ABCDEA1B1C1【答案】1詳見(jiàn)解析2詳見(jiàn)解析【解析】試題分析1由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行判定定理得2因?yàn)橹?/p>

22、三棱柱中，所以側(cè)面為正方形，因此，又，可由直三棱柱推導(dǎo)，因此由線面垂直判定定理得,從而，再由線面垂直判定定理得,進(jìn)而可得試題解析：1由題意知，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，因此又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槔庵侵比庵?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，平面，平面，所以平面又因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，所以矩形是正方形，因此因?yàn)?，平面，所以平面又因?yàn)槠矫妫浴究键c(diǎn)定位】線面平行判定定理，線面垂直判定定理【名師點(diǎn)晴】不要無(wú)視線面平行的判定定理中線在面外條件證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與直線平行的直線, 常利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明

23、兩直線平行. 證明線面垂直時(shí)，不要無(wú)視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件證明直線與平面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的根底21.【2021高考安徽，理19】如下圖，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交于F. 證明：； 求二面角余弦值.【答案】；.【解析】試題分析：證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知，且，從而為平行四邊形，那么，根據(jù)線面平行的判定定理知面，再由線面平行的性質(zhì)定理知.因?yàn)樗倪呅危鶠檎叫?，所以，且，可以建以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面的法向量.由得應(yīng)

24、滿足的方程組，為其一組解，所以可取.同理的法向量.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.試題解析：證明：由正方形的性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，從而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以. 因?yàn)樗倪呅危鶠檎叫?，所以，且，以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸單位正向量建立，如下圖的空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo).而點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. 設(shè)面的法向量.而該面上向量，由得應(yīng)滿足的方程組，為其一組解，所以可取.設(shè)面的法向量，而該面上向量，由此同理可得.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.【考點(diǎn)定位】1.線面平行的判定定理與性質(zhì)定理；2.二面角的求解.【評(píng)注】解答空間幾何體中的平行、垂直關(guān)系時(shí)，一般要根

25、據(jù)條件把空間中的線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；求二面角，那么通過(guò)求兩個(gè)半平面的法向量的夾角間接求解.此時(shí)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及正確求出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵所在.22.【2021江蘇高考，22】本小題總分值10分如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形為直角梯 形，, 1求平面與平面所成二面角的余弦值； 2點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng)PABCDQ【答案】12【解析】試題分析：1求二面角，關(guān)鍵求出兩個(gè)平面的法向量，此題中平面法向量，故關(guān)鍵求平面的法向量，利用向量垂直關(guān)系可列出平面的法向量?jī)蓚€(gè)

26、獨(dú)立條件，再根據(jù)向量數(shù)量積求二面角余弦值2先建立直線CQ與DP所成角的函數(shù)關(guān)系式：設(shè),那么,再利用導(dǎo)數(shù)求其最值，確定點(diǎn)Q坐標(biāo)，最后利用向量模求線段BQ的長(zhǎng)試題解析：以為正交基底建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么各點(diǎn)的坐標(biāo)為，1因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，那么，即令，解得，所以是平面的一個(gè)法向量從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為2因?yàn)?，設(shè)，又，那么，又，從而設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值又因?yàn)?，所以【考點(diǎn)定位】空間向量、二面角、異面直線所成角【名師點(diǎn)晴】1求兩異面直線a，b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，

27、那么cos |cosa，b|.2求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角那么sin |cosn，a|.3求二面角 ­l ­的大小，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角，那么n1，n2或n1，n223.【2021高考福建，理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).()求證：平面 ； ()求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值【答案】()詳見(jiàn)解析；() 【解析】解法一：如圖，取的中點(diǎn)，連接，又G是BE的中點(diǎn)，又F是CD中點(diǎn)，由四邊形ABCD

28、是矩形得，所以從而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以()如圖，在平面BEC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作,因?yàn)橛忠驗(yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，那么A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)因?yàn)锳B平面BEC，所以為平面BEC的法向量，設(shè)由取得.從而所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為解法二：()如圖，取中點(diǎn)，連接，又是的中點(diǎn)，可知，又面，面，所以平面在矩形ABCD中，由，分別是，的中點(diǎn)得又面，面，所以面又因?yàn)椋?，面，所以面平面，因?yàn)槊妫云矫嫱夥ㄒ弧究键c(diǎn)定位】1、直線和平面平行的判斷

29、；2、面面平行的判斷和性質(zhì)；3、二面角【評(píng)注】此題考查直線和平面平行的證明和二面角求法，直線和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性質(zhì)來(lái)證，注意線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化；利用坐標(biāo)法求二面角，主要是空間直角坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求出半平面法向量夾角后，要觀察二面角是銳角還是鈍角，正確寫(xiě)出二面角的余弦值24.【2021高考浙江，理17】如圖，在三棱柱-中，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).1證明：D平面；2求二面角-BD-的平面角的余弦值.【答案】1詳見(jiàn)解析；2.試題分析：1根據(jù)條件首先證得平面，再證明，即可得證；2作，且，可證明為二面角的平面角，再由余弦定

30、理即可求得，從而求解.試題解析：1設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，故平面，由，分別，的中點(diǎn)，得且，從而，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面；2作，且，連結(jié)，由，得，由，得，由，得，因此為二面角的平面角，由，得，由余弦定理得，.【評(píng)注】此題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的求解，屬于中檔題，在解題時(shí)，應(yīng)觀察各個(gè)直線與平面之間的位置關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定即可求解，在求二面角時(shí)，可以利用圖形中的位置關(guān)系，求得二面角的平面角，從而求解，在求解過(guò)程當(dāng)中，通常會(huì)結(jié)合一些初中階段學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)，例如三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.25.【202

31、1高考山東，理17】如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn).求證：平面；假設(shè)平面， ， ,求平面與平面 所成的角銳角的大小.【答案】I詳見(jiàn)解析；II 【解析】試題分析：I思路一：連接，設(shè)，連接，先證明，從而由直線與平面平行的判定定理得平面；思路二：先證明平面 平面 ，再由平面與平面平行的定義得到平面.II思路一：連接，設(shè)，連接，證明 兩兩垂直, 以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作 于點(diǎn) ，作 于點(diǎn) ，連接，證明 即為所求的角，然后在三角形中求解.試題解析： (I)證法一：連接，設(shè)，連接，在三棱臺(tái)中，為的中點(diǎn)可得 所以四邊形為平行四邊形那么為的中點(diǎn)又為的中

32、點(diǎn)所以 又平面 平面所以平面證法二：在三棱臺(tái)中，由為的中點(diǎn)可得 所以四邊形為平行四邊形可得 在 中， 為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，所以 又 ，所以平面 平面 因?yàn)?平面 所以 平面 II解法一：設(shè) ，那么 在三棱臺(tái)中，為的中點(diǎn)由 ，可得四邊形 為平行四邊形，因此 又平面 所以平面 在中，由 ，是中點(diǎn)，所以 因此 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系 所以 可得 故 設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量，那么由 可得 可得平面 的一個(gè)法向量因?yàn)?是平面 的一個(gè)法向量，所以 所以平面與平面所成的解(銳角)的大小為 解法二：作 于點(diǎn) ，作 于點(diǎn) ，連接 由 平面 ，得 又 所以平面 因此所以 即為所求的

33、角在 中, 由 可得 從而 由平面平面 得 因此 所以 所以平面與平面所成角銳角的大小為 .【考點(diǎn)定位】1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角的求法；3、空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.【評(píng)注】此題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.26.【2021高考天津，理17】本小題總分值13分如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,且點(diǎn)M和N分別為的中點(diǎn).(I)求證：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)設(shè)為棱上的點(diǎn)，假設(shè)直線和平面

34、所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)【答案】(I)見(jiàn)解析； (II) ； (III) .【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，又因?yàn)榉謩e為和的中點(diǎn)，得.(I)證明：依題意，可得為平面的一個(gè)法向量， 由此可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面(II)，設(shè)為平面的法向量，那么，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，那么，又，得，不妨設(shè)，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值為.(III)依題意，可設(shè)，其中，那么，從而，又為平面的一個(gè)法向量，由得，整理得，又因?yàn)?，解得?所以線段的長(zhǎng)為.【考點(diǎn)定位】直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.【評(píng)注】此題主要考查直線

35、和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化，表達(dá)向量工具的應(yīng)用，即把幾何的證明與計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，是向量的最大優(yōu)勢(shì)，把空間一些難以想象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成計(jì)算問(wèn)題，有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問(wèn)題.27.【2021高考重慶，理19】如題19圖，三棱錐中，平面分別為線段上的點(diǎn)，且 1證明：平面 2求二面角的余弦值?！敬鸢浮?證明見(jiàn)解析；2.【解析】試題分析：1要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由平面，可知，再分析由得，這樣與垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；2求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個(gè)平面角的

36、大小，此題中，由于，平面，因此兩兩垂直，可以他們?yōu)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)，由此可得結(jié)論試題解析：(1)證明：由PC平面ABC，DE平面，故PCDE由CE，CD=DE得為等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE平面PCD (2)解：由知，CDE為等腰直角三角形，DCE，如圖，過(guò)點(diǎn)作DF垂直CE于，易知DFFCEF，又EB，故FB 由ACB得DFAC，故ACDF以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，那么(0,0,0,)，(0,0,3)，(,0,0),

37、(0,2,0)，(1,1,0)，設(shè)平面的法向量，由，得.由1可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取為,即.從而法向量，的夾角的余弦值為，故所求二面角A-PD-C的余弦值為.【考點(diǎn)定位】考查線面垂直，二面角考查空間想象能力和推理能力【名師點(diǎn)晴】立體幾何解答題的一般模式是首先證明線面位置關(guān)系(一般考慮使用綜合幾何方法進(jìn)行證明)，然后是與空間角有關(guān)的問(wèn)題，綜合幾何方法和空間向量方法都可以，但使用綜合幾何方法要作出二面角的平面角，作圖中要伴隨著相關(guān)的證明，對(duì)空間想象能力與邏輯推理能力有較高的要求，而使用空間向量方法就是求直線的方向向量、平面的法向量，按照空間角的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，也就是把幾何問(wèn)題

38、完全代數(shù)化了，這種方法對(duì)運(yùn)算能力有較高的要求兩種方法各有利弊，在解題中可根據(jù)情況靈活選用28.【2021高考四川，理18】一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如下圖，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為1請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處不需說(shuō)明理由2證明：直線平面3求二面角的余弦值.【答案】1點(diǎn)F、G、H的位置如下圖.2詳見(jiàn)解析.3【解析】1點(diǎn)F、G、H的位置如下圖.2連結(jié)BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn).因?yàn)镸、N分別是BC、GH的中點(diǎn)，所以，且，且，所以，所以是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面.3連結(jié)AC，過(guò)M作于P. 在正方形中，所以.過(guò)P作于K，連結(jié)KM，所以平面，從而.所以是二

39、面角的平面角.設(shè)，那么，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值為.另外，也可利用空間坐標(biāo)系求解【考點(diǎn)定位】此題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖、空間線面平行的判定與性質(zhì)、空間面面夾角的計(jì)算等根底知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.【評(píng)注】立體幾何解答題的考查內(nèi)容，不外乎線面、面面位置關(guān)系及空間夾角與距離的計(jì)算. 1注意ABCD是底面，將平面展開(kāi)圖復(fù)原可得點(diǎn)F、G、H的位置. 2根據(jù)直線與平面平行的判定定理，應(yīng)考慮證明MN平行于平面BDH內(nèi)的一條直線.連結(jié)O、M，易得是平行四邊形，從而，進(jìn)而證得平面.3要作出二面角的平面角，首先要過(guò)M作平面AEGC的垂線，然后再過(guò)垂足作棱EG的垂線，

40、再將垂足與點(diǎn)M連結(jié)，即可得二面角的平面角. 29.【2021高考湖北，理19】?九章算術(shù)?中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接 證明：試判斷四面體是否為鱉臑，假設(shè)是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角只需寫(xiě)出結(jié)論；假設(shè)不是，說(shuō)明理由；假設(shè)面與面所成二面角的大小為，求的值【答案】詳見(jiàn)解析；.【解析】解法1因?yàn)榈酌?，所以，由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以. 而，所以. 又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以. 而，所以平面. 而，所以.又，所以平面. 由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)

41、鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為. 如圖1，在面內(nèi)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，那么是平面與平面 的交線. 由知，所以. 又因?yàn)榈酌?，所? 而，所以. 故是面與面所成二面角的平面角， 設(shè)，有，在RtPDB中, 由, 得, 那么 , 解得. 所以 故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，. 解法2如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，那么，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是，即. 又，而，所以. 因, , 那么, 所以.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為. 由，所以是平面的一個(gè)法向量；由知，所以是平面的一個(gè)法向量. 假設(shè)面與面所成二面角的大小為，那么，

42、解得. 所以 故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，. 【考點(diǎn)定位】四棱錐的性質(zhì)，線、面垂直的性質(zhì)與判定，二面角.【評(píng)注】立體幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡(jiǎn)潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時(shí)，兩個(gè)向量夾角與二面角相等還是互補(bǔ)是這種解法的難點(diǎn)，也是學(xué)生的易錯(cuò)易誤點(diǎn)解題時(shí)正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外那么向量夾角與二面角互補(bǔ)，一個(gè)指向內(nèi)另一個(gè)指向外那么相等30.【2021高考陜西，理18】本小題總分值12分如圖，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)將沿折起到的位置，如圖 I證明：平面；II假設(shè)平面平面，求平面與平面夾角的余弦值【答案】

43、I證明見(jiàn)解析；II【解析】試題分析：I先證，再可證平面，進(jìn)而可證平面；II先建立空間直角坐標(biāo)系，再算出平面和平面的法向量，進(jìn)而可得平面與平面夾角的余弦值試題解析：I在圖1中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以即在圖2中，從而平面又，所以平面.(II)由，平面平面，又由I知，所以為二面角的平面角，所以.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以?，.設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，那么，得，取，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為.考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.【名師點(diǎn)晴】此題主要考查的是線面垂直、二面角、空間直角坐標(biāo)系和空間向量

44、在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否那么很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一和菱形、正方形的對(duì)角線31.【2021高考新課標(biāo)1，理18】如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.證明：平面AEC平面AFC；求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【答案】見(jiàn)解析【解析】試題分析：連接BD，設(shè)BDAC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證EGAC，通過(guò)計(jì)算可證

45、EGFG，根據(jù)線面垂直判定定理可知EG平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC平面AEC；以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值.試題解析：連接BD，設(shè)BDAC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由ABC=120°，可得AG=GC=.由BE平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又AEEC，EG=，EGAC，在RtEBG中，可得BE=，故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG，ACFG=G，E

46、G平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由可得A0，0，E(1,0, )，F(xiàn)1,0，C0，0，=1，=-1，-，.10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 12分【考點(diǎn)定位】空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力【評(píng)注】對(duì)空間面面垂直問(wèn)題的證明有兩種思路，思路1：幾何法，先由線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；思路2：利用向量法，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，證明其法向量垂直，從而證明面面垂直；對(duì)異面直線所成角問(wèn)題，也有兩種思路，思路1：幾

47、何法，步驟為一找二作三證四解，一找就是先在圖形中找有沒(méi)有異面直線所成角，假設(shè)沒(méi)有，那么通常做平行線或中位線作出異面直線所成角，再證明該角是異面直線所成角，利用解三角形解出該角.32.【2021高考北京，理17】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點(diǎn)() 求證：；() 求二面角的余弦值；() 假設(shè)平面，求的值【答案】(1)證明見(jiàn)解析，2，3【解析】試題分析：證明線線垂直可尋求線面垂直，利用題目提供的面面垂直平面平面，借助性質(zhì)定理證明平面EFCB，進(jìn)而得出線線垂直，第二步建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，設(shè)平面AEB的法向量，利用線

48、線垂直，數(shù)量積為零，列方程求出法向量，再根據(jù)二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于，要想平面，只需，利用向量的坐標(biāo)，借助數(shù)量積為零，求出的值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題予以取舍.試題解析：()由于平面平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，那么，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以平面EFCB，又平面，那么.()取CB的中點(diǎn)D，連接OD,以O(shè)為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面與軸垂直，那么設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，那么，二面角的余弦值，由二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.有1知平面EFCB，那么，假設(shè)平面，只需，又，解得或，由于，那么.考點(diǎn)定位：此題考點(diǎn)為線線垂直的證明和求二面角，要求學(xué)生掌握空間線線、線面的平行與垂直的判定與性質(zhì)，利用法向量求二面角以及利用數(shù)量積為零解決垂直問(wèn)題.【評(píng)注】此題考查線線、線面垂直及求二面角的相關(guān)知識(shí)及運(yùn)算，此題屬于中檔題，熟練利用有關(guān)垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行面面垂直、線面垂直、線線垂直之間的轉(zhuǎn)化與證明，另外利用空間向量解題時(shí)，要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，利用法向量求二面角，利用數(shù)量積為零，解決線線、線面垂直問(wèn)題.33.【2021高考廣東，理18】如圖2，三角形所在的平面與長(zhǎng)方形所在的平面垂直，.點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段、上，且，1