高等代數(shù)(第三版)2-習(xí)題課

1、第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課把把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元個(gè)元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，表示，且且 nnP!nPn 、全排列、全排列第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列，逆序數(shù)為，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) ，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序逆序 nstiiiii21stii 一個(gè)排列中所有逆序的總

2、數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆逆序數(shù)序數(shù)、逆序數(shù)、逆序數(shù)第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法方法2 2方法方法1 1分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在 前面比它大的前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出數(shù)碼之和，即分別算出 這這 個(gè)元素個(gè)元素的逆序數(shù)，這的逆序數(shù)，這 個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)排列

3、的逆序數(shù)n,n,121 n,n,121 nn、計(jì)算排列逆序數(shù)的方法、計(jì)算排列逆序數(shù)的方法第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，素不動(dòng)，稱為一次對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換叫做相鄰對(duì)換定理定理一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性變奇偶性推論推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)、對(duì)換、對(duì)換第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)

4、題課121 211121212221212(1)1nnnnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaa 1 2121,2,;1,2,.nnj jjnj jjn其中為自然數(shù)的一個(gè)排列 為這個(gè)排列的逆序數(shù)表示對(duì)的所有排列取和、n階行列式的定義階行列式的定義第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課121 2121 2,.( 1)nniii niiinnDDi iia aa2階階 行行 列列 式式亦亦 可可 定定 義義 為為其其 中中為為 列列 標(biāo)標(biāo) 排排 列列的的 逆逆 序序 數(shù)數(shù)( ( ) ) 12121 21 2,.( )( 1)nnnjjjiiii iinnDDi iiaaa12nj j

5、j3階階 行行 列列 式式亦亦 可可 定定 義義 為為其其 中中為為 行行 標(biāo)標(biāo) 排排 列列的的 逆逆 序序 數(shù)數(shù) 與與列列 標(biāo)標(biāo) 排排 列列的的 逆逆 序序 數(shù)數(shù) 之之 和和第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課T()k,k.D=D 1 1) ) 行行列列式式與與它它的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式相相等等，即即2 2) ) 行行列列式式的的某某一一行行 列列 中中所所有有的的元元素素都都乘乘以以同同一一數(shù)數(shù) 等等于于用用數(shù)數(shù)乘乘此此行行列列式式3 3) ) 若若行行列列式式的的某某一一( ( 行行) )列列的的元元素素都都是是兩兩數(shù)數(shù)之之和和，此此行行列列式式等等于于兩兩個(gè)個(gè)行行列列式式之之和和、

6、n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì)第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課. () ,. () , () ,.(),.4 4) ) 如如果果行行列列式式有有兩兩行行( (列列) )完完全全相相同同，那那么么行行列列式式等等于于零零5 5) ) 行行列列式式中中如如果果有有兩兩行行 列列 元元素素成成比比例例 則則此此行行列列式式為為零零6 6) ) 把把行行列列式式的的某某一一行行 列列 的的各各元元素素乘乘以以同同一一數(shù)數(shù) 然然后后加加到到另另一一行行 列列 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去 行行列列式式的的值值不不變變7 7) ) 互互換換行行列列式式的的兩兩行行 列列 行行列列式式變變號(hào)號(hào)第二章第

7、二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課）余子式與代數(shù)余子式）余子式與代數(shù)余子式.,)1(1 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式叫做元素叫做元素；記；記的余子式，記作的余子式，記作階行列式叫做元素階行列式叫做元素列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的行和第行和第所在的第所在的第階行列式中，把元素階行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij 、行列式按行（列）展開(kāi)、行列式按行（列）展開(kāi)第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)1100,;,.,;,.當(dāng)當(dāng) 或當(dāng)當(dāng)nkjkiknjkikkDijijDijija Aa A第二章第二章 行列式習(xí)

8、題課行列式習(xí)題課., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數(shù)項(xiàng)換成常數(shù)項(xiàng)列列中第中第）是把系數(shù)行列式）是把系數(shù)行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果線性方程組如果線性方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 、Cramer法則法則第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課克拉默法則的理論價(jià)值克拉默法則的理論價(jià)值., 0., 22112222212111212111唯唯一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系數(shù)

9、數(shù)行行列列式式如如果果線線性性方方程程組組 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必必為為零零解解，則則它它的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式解解或或有有兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的如如果果上上述述線線性性方方程程組組無(wú)無(wú)定理定理定理定理第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它沒(méi)有非零解那么它沒(méi)有非零解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系數(shù)行列式必為零它的系數(shù)行列式必為零組有非零解，則組有非零解，則如果上述齊次線性方程如果上

10、述齊次線性方程定理定理定理定理第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課一、計(jì)算排列的逆序數(shù)一、計(jì)算排列的逆序數(shù)二、計(jì)算（證明）行列式二、計(jì)算（證明）行列式三、克拉默法則三、克拉默法則典型例題典型例題第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之分別算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù) .,并并討討論論奇奇偶偶性性的的逆逆序序數(shù)數(shù)求求排排列列kkkkkk 解解例例; 0,2故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為排在首位排在首位k; 1),2(11故故逆逆序序數(shù)數(shù)為為大大的的數(shù)數(shù)有有一一個(gè)個(gè)的的前

11、前面面比比k; 1),2()12()12( 逆序數(shù)為逆序數(shù)為故故大的數(shù)有一個(gè)大的數(shù)有一個(gè)的前面比的前面比kkk 一、計(jì)算排列的逆序數(shù)一、計(jì)算排列的逆序數(shù)第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課; 2),12 ,2(22 數(shù)為數(shù)為故逆序故逆序大的數(shù)有兩個(gè)大的數(shù)有兩個(gè)的前面比的前面比 kk; 2),12 ,2(2222 故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為大的數(shù)有兩個(gè)大的數(shù)有兩個(gè)的前面比的前面比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個(gè)個(gè)大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個(gè)個(gè)大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比

12、;),1, 12 ,2( kkkkkkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個(gè)個(gè)大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課 kkkt 1122110 kkk 211122k 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，k當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列k于是排列的逆序數(shù)為于是排列的逆序數(shù)為第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課、用定義計(jì)算（證明）、用定義計(jì)算（證明）例例1用行列式定義計(jì)算用行列式定義計(jì)算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 二、計(jì)算（證明）行列式二、計(jì)算（

13、證明）行列式第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課的非零元素分別得到的非零元素分別得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分別為行的元素分別為中第中第設(shè)設(shè)5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元排列也不能組成，元排列也不能組成，一個(gè)一個(gè)在上述可能取的代碼中在上述可能取的代碼中因?yàn)橐驗(yàn)榈诙碌诙?行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課評(píng)注評(píng)

14、注本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)本例是從一般項(xiàng)入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般意每一項(xiàng)的符號(hào)，這是用定義計(jì)算行列式的一般方法方法. 2于零于零還多，則此行列式必等還多，則此行列式必等素比素比階行列式中等于零的元階行列式中等于零的元如果一個(gè)如果一個(gè)nnn 注意注意第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課例例2設(shè)設(shè),2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn ,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn .2DD 證明：證明：

15、第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課證明證明由行列式的定義有由行列式的定義有.,)1( 2121121的逆序數(shù)的逆序數(shù)是排列是排列其中其中ppptaaaDnpnpptn .,)1( )()()1( 21)()21(212211221212211的逆序數(shù)的逆序數(shù)是排列是排列其中其中ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課,212npppn 而而.)1(121221DaaaDpppnnt 所以所以評(píng)注評(píng)注本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩本題證明兩個(gè)行列式相等，即證明兩點(diǎn)，一是兩個(gè)行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一點(diǎn)，一是兩個(gè)

16、行列式有完全相同的項(xiàng)，二是每一項(xiàng)所帶的符號(hào)相同這也是用定義證明兩個(gè)行列項(xiàng)所帶的符號(hào)相同這也是用定義證明兩個(gè)行列式相等的常用方法式相等的常用方法第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課、利用范德蒙行列式計(jì)算、利用范德蒙行列式計(jì)算例例3計(jì)算計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。.333222111222nnnDnnnn 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課，于是得到，于是得到增至增至冪次數(shù)便從冪次數(shù)便從

17、則方則方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，遞升至遞升至而是由而是由變到變到序排列，但不是從序排列，但不是從次數(shù)自左至右按遞升次次數(shù)自左至右按遞升次方冪方冪數(shù)的不同方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個(gè)中各行元素分別是一個(gè)10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin第二

18、章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課評(píng)注評(píng)注本題所給行列式各行（列）都是某元本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課、用化三角形行列式計(jì)算、用化三角形行列式計(jì)算例例4計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 第二章第二章 行列式習(xí)題

19、課行列式習(xí)題課解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaax

20、axDnniin 23122121111010010001)(第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課評(píng)注評(píng)注本題利用行列式的性質(zhì)，采用本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒(méi)有，則可適當(dāng)選取便于化零的行（列）；若沒(méi)有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些

21、特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的化為三角形行列式之目的第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcbaD 114324、用降階法計(jì)算、用降階法計(jì)算例例5計(jì)算計(jì)算.4abcdbadccdabdcbaD 解解第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都減去第列都減去第、再將第再將第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)

22、題課行展開(kāi)，得行展開(kāi)，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再?gòu)膹牡诘谛行屑蛹拥降降诘诎寻焉仙厦婷嬗矣叶硕诵行辛辛惺绞降诘赿cba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課列，得列，得列減去第列減去第再將第再將第12行展開(kāi)，得行展開(kāi)，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課

23、評(píng)注評(píng)注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開(kāi)，每展開(kāi)一次，行列式的階數(shù)按此行（列）展開(kāi)，每展開(kāi)一次，行列式的階數(shù)可降低可降低 1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來(lái)為止（一般展開(kāi)成二階行列式）這種計(jì)算出來(lái)為止（一般展開(kāi)成二階行列式）這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課112211 nnnnnabababbaD 解解 按第一列展開(kāi)按第一列展開(kāi)例例6計(jì)算計(jì)算第

24、二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課22122111111( 1 )nnnnnnnna bba bD ababaab11 21 2( 1)nnnaaabbb 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課例例7 計(jì)算行列式計(jì)算行列式12111222nnaaDnnn a5、加邊法計(jì)算、加邊法計(jì)算第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課解解 酌情鑲嵌一行一列加邊升階酌情鑲嵌一行一列加邊升階121111011102220nnaDannna11211111111100200000000niinniaaaanaa 11(1)nnjijinaa第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課6、用遞推法計(jì)算、用遞推法計(jì)算例例

25、8計(jì)算計(jì)算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成兩兩個(gè)個(gè)行行列列式式之之和和列列把把依依第第Dnn第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課aaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課.1121DxaxxxDnnnn 從而從而得得列展開(kāi)列展開(kāi)第第右端的第二個(gè)行列式按右端的第二個(gè)行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個(gè)行列式右端的第一個(gè)行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)

26、題課由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此繼續(xù)下去，可得如此繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課)(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時(shí)，還可改寫成時(shí)，還可改寫成當(dāng)當(dāng)021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課評(píng)注評(píng)注.1 1 .1,1 1的遞推

27、關(guān)系的遞推關(guān)系列式更低階行列式之間列式更低階行列式之間階行階行，建立比，建立比階更低階的行列式表示階更低階的行列式表示比比用同樣形式的用同樣形式的階行列式階行列式時(shí)，還可以把給定的時(shí)，還可以把給定的有有之間的遞推關(guān)系之間的遞推關(guān)系階行列式階行列式與與建立了建立了階行列式表示出來(lái)階行列式表示出來(lái)用同樣形式的用同樣形式的行列式行列式階階質(zhì)把所給的質(zhì)把所給的本題是利用行列式的性本題是利用行列式的性 nnDnDnDnDnnnnn第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課7、用數(shù)學(xué)歸納法、用數(shù)學(xué)歸納法例例9證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 第二章

28、第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課證證對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 得得展展開(kāi)開(kāi)按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對(duì)對(duì)的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課1122, cos() ,cos() , nnnnDD 由由歸歸納納假假設(shè)設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .

29、結(jié)結(jié)論論成成立立所所以以對(duì)對(duì)一一切切自自然然數(shù)數(shù) n第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課評(píng)注評(píng)注.,)1(1,)(, 21同型的行列式同型的行列式是與是與不不否則所得的低階行列式否則所得的低階行列式展開(kāi)展開(kāi)列列或第或第行行按第按第不能不能展開(kāi)展開(kāi)列列或第或第行行本例必須按第本例必須按第表示表示展開(kāi)成能用其同型的展開(kāi)成能用其同型的為了將為了將DnnDDDnnnn .,.,其猜想結(jié)果成立其猜想結(jié)果成立然后用數(shù)學(xué)歸納法證明然后用數(shù)學(xué)歸納法證明也可先猜想其結(jié)果也可先猜想其結(jié)果如果未告訴結(jié)果如果未告訴結(jié)果納法來(lái)證明納法來(lái)證明可考慮用數(shù)學(xué)歸可考慮用數(shù)學(xué)歸結(jié)論時(shí)結(jié)論時(shí)證明是與自然數(shù)有關(guān)的證明是與自然數(shù)有關(guān)

30、的而要我們而要我們當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果一般來(lái)講一般來(lái)講第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課設(shè)n為正整數(shù)，12,na aa為n個(gè)實(shí)數(shù)，12( ),( ),( )nf x f xf x為n個(gè)次數(shù)不大于n-2的的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，求證1111( )( )0( )( )nnnnf af af af a8、 作輔助函數(shù)或輔助行列式作輔助函數(shù)或輔助行列式例例 10第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課證明證明當(dāng)12,naaa12,na aa中至少有兩個(gè)相等時(shí)，結(jié)論顯然成立. 下設(shè)互不相等作輔助行列式112122222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnn

31、f xf af af xf af aF xf xf af a下用反證法證明( )0F x第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課假設(shè)( )0,F x 由題設(shè)( )F x的次數(shù)不超過(guò)n-2，但 有n-1個(gè)不同的根，出現(xiàn)矛盾，所以( )F x( ) 0Fx 1111()()0()()nnnnf af afafa特別地，第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課221 12 3122 32 3152 319xDx解解 將將1,2x 代入代入，可知可知( 1)( 2)0DD從而從而(1)(1)(2)(2)Da xxxx令令0 x得得3,a 所以所以3(1)(1)(2)(2)Dxxxx9、 分離線性因子分離線

32、性因子例例 11第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變?cè)跇?gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法換后，再考察它是否能用常用的幾種方法小結(jié)小結(jié)第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課 作業(yè)（作業(yè)（1）P99：18 作業(yè)（作業(yè)（2） P103：4第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課當(dāng)線

33、性方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、當(dāng)線性方程組方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時(shí)，可用克萊姆法則為且系數(shù)行列式不等于零時(shí)，可用克萊姆法則為了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對(duì)有的方程乘以適了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對(duì)有的方程乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)的線性方程組后再求解的線性方程組后再求解( ),(1)0,(2)3,( 3)28.f xfff1 求求一一個(gè)個(gè)二二次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式使使例例三、克拉默法則三、克拉默法則第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課解解設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為,)(2cbxxaxf 由題意得

34、由題意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的線性方程組的線性方程組數(shù)數(shù)這是一個(gè)關(guān)于三個(gè)未知這是一個(gè)關(guān)于三個(gè)未知cba第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課.20,60,40, 020321 DDDD由克萊姆法則，得由克萊姆法則，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多項(xiàng)式為于是，所求的多項(xiàng)式為. 132)(2 xxxf第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點(diǎn)點(diǎn)設(shè)所給三條直線交于一設(shè)所給三條直線交于一必要性

35、必要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM0,0,00.axbycbxcyacxaybabc 2 證證明明平平面面上上三三條條不不同同的的直直線線相相交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)的的充充分分必必要要條條件件是是例例 第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因?yàn)槿龡l直線互不相同因?yàn)槿龡l直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課. 00,唯唯一一解解下下證證此此方方程程組組

36、（）有有（）到到第第三三個(gè)個(gè)方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個(gè)個(gè)方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從而有，從而有，于是，于是得得。由。由，則，則如果如果第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設(shè)設(shè)矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設(shè)設(shè) cbbaccbabacba 作業(yè)：P99: 20第二章第二章 行列式習(xí)題課行列式習(xí)題課一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxx