2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)文科數(shù)學(xué)試題及解析

1、精品文檔2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）一、選擇題共 8小題，每小題5分，共 40分 .1 、（2019 ? 北京）已知集合 A=x|-1x1，則 AUB= （）A. （-1 ，1）B. （1，2）C. （-1 ，+ ）D. （1 ，+ ）【答案】 C【解析】【解答】 因?yàn)?Ax1 x 2, B x x1 ,所以 AUBx x 1 ,故答案為： C.【分析】本題考查了集合的并運(yùn)算，根據(jù)集合A 和 B 直接求出交集即可 .【題型】單選題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）2 、（2019 ? 北京）已知復(fù)數(shù)z=2

2、+i，則 zz= （）A. 3B. 5C. 3D. 5【答案】 D【解析】【解答】 根據(jù) z2i ，得 z 2i ，所以 z z(2 i ) (2 i)415，故答案為： D.【分析】 根據(jù) z 得到其共軛，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【題型】單選題【分值】 5【考查類型】中考真題.精品文檔【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）3 、（2019 ? 北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間（ 0， + ）上單調(diào)遞增的是（）1A.yx 2B. y=2-xC. ylog 1 xD. y12x【答案】 A【解析】【解答】 A： y11x2 為冪函數(shù)，0 ，所以該函數(shù)在 0

3、,上單2調(diào)遞增；1xB:指數(shù)函數(shù) y2 x，其底數(shù)大于 0 小于 1，故在 0,上單調(diào)遞2減；：對(duì)數(shù)函數(shù) ylog 1x ，其底數(shù)大于 0 小于 1，故在 0,上單調(diào)遞減；C21，其 k=10，故在上單調(diào)遞減；：反比例函數(shù) yD0,x故答案為： A.【分析】 根據(jù)冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可 .【題型】單選題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）4 、（2019 ? 北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s 值為（）.精品文檔A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 B【解析】【解答】

4、k=1，s=1， s= 21122 ，k3,故執(zhí)行循環(huán)體k=1+1=2，322222 ；s232此時(shí) k=20 ）的離心率是5 ，則 a= （）a2A. 6B. 4C. 2D.12【答案】 Dca 2 1，【解析】【解答】 雙曲線的離心率 e5aa故 5a2a21, 解得 a21 , a1 ，42故答案為： D.【分析】 根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示離心率，解方程，即可求出a 的值.【題型】單選題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）6 、（2019 ? 北京）設(shè)函數(shù)f （ x） =cosx+bsinx（ b 為常數(shù)）

5、，則“ b=0 ”是“ f （ x）為偶函數(shù)”的（）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】 C.精品文檔【解析】【解答】若 b=0，則 f ( x)cos x 為偶函數(shù)，若 f (x)cos xbsin x 為偶函數(shù)，則 f ( x)cosx b sin x cos x b sin x f ( x) cosx b sin x ，所以 2b sin x0, B=0,綜上， b=0 是 f（x）為偶函數(shù)的充要條件 .故答案為： C.【分析】 根據(jù)偶函數(shù)的定義， 結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性， 即可確定充分、必要性 .【題型】單選題【分值】

6、 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）7 、（ 2019 ? 北京）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足 m 1 -m 2 =5 lg E1，其中星等為m k 的星的亮度為 Ek（k=1 ， 2） .己知太陽的星等2 E2是-26.7 ，天狼星的星等是 -1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A. 10 10.1B. 10.1C. lg10.1D. 10 -10.1【答案】 A【解析】【解答】 解：設(shè)太陽的亮度為E1 ,天狼星的亮度為E2 ，根據(jù)題意1.45( 26.7)5E1,lgE

7、22故 l g E125.25210.1，E25.精品文檔所以E1 1010.1 ；E2故答案為： A.【分析】 根據(jù)已知，結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化即可求出相應(yīng)的比值.【題型】單選題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）8 、（2019 ? 北京）如圖， A ， B 是半徑為2 的圓周上的定點(diǎn)，P 為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，APB 是銳角，大小為 .圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（）A. 4 +4cos B. 4 +4sin C. 2 +2cosD. 2 +2sin 【答案】 B設(shè)圓心為 O，根據(jù) APB, 可知 AB所對(duì)圓心角

8、 AOB 2 ,【解析】【解答】故扇形 AOB 的面積為2224 ，由題意，要使陰影部分面積最大，2則 P 到 AB 的距離最大，此時(shí) PO與 AB垂直，故陰影部分面積最大值 S 4 SV AOB SV PAB ,.精品文檔2sin22coscos，而 SVAOB24sin2sin222cos4sin cos，SV PAB24sin故陰影部分面積最大值 S 4SV AOBSV PAB44sin ,故答案為： B.【分析】 根據(jù)圓周角得到圓心角，由題意，要使陰影部分面積最大，則P 到 AB 的距離最大，此時(shí)PO與 AB 垂直，結(jié)合三角函數(shù)的定義，表示相應(yīng)三角形的面積，即可求出陰影部分面積的最大值

9、.【題型】單選題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）二、填空題共6 小題，每小題5 分，共 30 分，rrrr9 、（2019 ? 北京）已知向量a = （ -4.3）， b = （ 6 ， m ），且 ab ，則 m=.【答案】 8【解析】【解答】 根據(jù)兩向量垂直，則數(shù)量積為0，得463m0,解得 m=8.故答案為 8.【分析】 根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解 .【題型】填空題【分值】 5【考查類型】中考真題.精品文檔【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)

10、真題試卷（北京卷）x210 、（ 2019 ? 北京）若 x， y 滿足y14x3y10.則 y-x 的最小值為，最大值為.【答案】 -3|1【解析】【解答】 作出可行域及目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的直線，平移該直線，可知在經(jīng)過（ 2,-1）時(shí)取最小值 -3，過（ 2，3）時(shí)取最大值 1.故答案為 -3；1.【分析】 作出可行域和目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的直線，平移該直線，即可求出相應(yīng)的最大值和最小值 .【題型】填空題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）11 、（ 2019 ? 北京）設(shè)拋物線y2 =4x 的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為 l.則以 F

11、為圓心， 且與 l 相切的圓的方程為.【答案】x1 2y24【解析】【解答】 由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1,0），準(zhǔn)線方程： x=-1，焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l 的距離為 2，故圓心為（ 1,0），半徑為 2，.精品文檔所以圓的方程為x1 2y24 ；故答案為x1 2y24 .【分析】 根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，即可得到圓心和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【題型】填空題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）12 、（ 2019 ? 北京）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上

12、小正方形的邊長(zhǎng)為1 ，那么該幾何體的體積為.【答案】 40.精品文檔【解析】【解答】 根據(jù)三視圖，可知正方體體積 V1 4364 ，242，去掉的四棱柱體積 V224 24故該幾何體的體積V=64-24=40.故答案為 40.【分析】 根據(jù)三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出相應(yīng)的體積即可.【題型】填空題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）13 、（ 2019 ? 北京）已知 l， m 是平面外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：l m ； m ；l .以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題

13、：.【答案】 若 ，則 【解析】【解答】 若 l，則 l 垂直于內(nèi)任意一條直線，若 m P，則 lm ；故答案為若 ，則 .【分析】【題型】填空題【分值】 5【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）.精品文檔14 、（2019 ? 北京）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60 元 / 盒、 65 元 / 盒、 80 元 / 盒、 90 元 / 盒 .為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120 元，顧客就少付x 元 .每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付

14、款的80%.當(dāng) x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1 盒，需要支付元；在促銷活動(dòng)中， 為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則 x 的最大值為.【答案】 130|15【解析】【解答】 草莓和西瓜各一盒，總價(jià)60+80=140元，140120，故顧客可少付10 元，此時(shí)需要支付140-10=130 元；要保證每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則最低消費(fèi)滿足條件即可，根據(jù)題意，買草莓兩盒，消費(fèi)最低，此時(shí)消費(fèi)120 元，故實(shí)際付款（ 120-x）元，此時(shí)李明得到120x80%，故 120 x 80% 120 0.7 ，解得 x 15；故最大值為 15.故答案為 130；1

15、5.【分析】 根據(jù)已知，直接計(jì)算即可；根據(jù)題意，要保證每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則最低消費(fèi)滿足條件即可，因此選最低消費(fèi)求解，即可求出相應(yīng)的最大值 .【題型】填空題【分值】 5.精品文檔【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）三、解答題共6 小題，共80 分.115 、（ 2019 ? 北京）在ABC 中， a=3 ，b-c=2 ， cosB=-.2（ I ）求 b ，c 的值：（ II ）求 sin （ B+C ）的值 .【答案】解：（I）根據(jù)余弦定理 b2a2c22ac cos B ，故 2 c9 c22 3c

16、1，22解得 c=5，B=7；（II ）根據(jù) cos B1 ，得 sin B3，22根據(jù)正弦定理，bc，sin B sin C得 75 ，解得 sin C53 ，所以 cosC11 ，3sin C14142所以 sin B c sin B cosCcosB sin C31115 33 3 .21421414【解析】【分析】（I）根據(jù)余弦定理，解方程即可求出c 和 b；（II ）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，求出sinB，結(jié)合正弦定理，求出 sinC和 cosC，即可依據(jù)兩角和的正弦公式，求出sin（B+C）.【題型】解答題【分值】 13【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三.精品文檔【試題地區(qū)】北

17、京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）16 、（ 2019 ? 北京）設(shè) a n 是等差數(shù)列，a1 =-10 ，且 a 2+10 ， a3 +8 ，a 4+6 成等比數(shù)列 .（I ）求 a n 的通項(xiàng)公式；（ ）記 a n的前 n 項(xiàng)和為 Sn，求 Sn 的最小值 .【答案】 解：（I）根據(jù)三者成等比數(shù)列，可知 a32a2 10 a46 ，8故 102d210 d10103d6，8解得 d=2，故 an10 2 n 12n 12 ；（）由（ I）知 Sn102n12nn211n ，2該二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為n=5.5，故 n=5 或 6 時(shí)， Sn 取最小值 -30.【解析

18、】【分析】（I）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出d，即可求出 an ；（ ）由（ 1），求出 Sn ，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出相應(yīng)的最小值 .【題型】解答題【分值】 13【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）17 、（ 2019 ? 北京）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A ，B 兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校.精品文檔所有的 1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A ，B 兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用A 和僅使用

19、 B 的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額不大于 2000 元大于 2000 元支付方式僅使用 A27人3 人僅使用 B24人1 人（I ）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A， B 兩種支付方式都使用的人數(shù)；（II ）從樣本僅使用B 的學(xué)生中隨機(jī)抽取1 人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000 元的概率；（III ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B 的學(xué)生中，隨機(jī)抽查 1 人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000 元，結(jié)合（ II ）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B 的學(xué)生中本月支付金額大于2000 元的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】 解：（I）據(jù)估計(jì)， 100 人中上個(gè)月A、B 兩種

20、支付方式都使用的人數(shù)為 100-5-27-3-24-1=40 人，故該校學(xué)生中上個(gè)月A、B 兩種支付方式都使用的人數(shù)為400 人；（II ）該校學(xué)生上個(gè)月僅使用B 支付的共25 人，其中支付金額大于2000 的有一人，故概率為1 ；25（ III ）不能確定人數(shù)有變化，因?yàn)樵诔槿颖緯r(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到法機(jī)會(huì)是均等的，也許抽取的樣本恰為上個(gè)月支付抄過 2000 的個(gè)體，因此不能從抽取的一個(gè)個(gè)體來確定本月的情況有變化 .【解析】【分析】（I）根據(jù)題意，結(jié)合支付方式的分類直接計(jì)算，再根據(jù)樣本估計(jì)總體即可；.精品文檔（II ）根據(jù)古典概型，求出基本事件總數(shù)和符合題意的基本事件數(shù)，即可求出相應(yīng)的概率；（

21、III ）從統(tǒng)計(jì)的角度，對(duì)事件發(fā)生的不確定性進(jìn)行分析即可.【題型】解答題【分值】 13【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）18 、（ 2019 ? 北京）如圖，在四棱錐P-ABCD中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 為菱形， E為CD 的中點(diǎn).（）求證： BD 平面 PAC ；（）若 ABC=60 ，求證：平面 PAB 平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在點(diǎn) F，使得 CF平面 PAE？說明理由 .【答案】（ ）證明：因?yàn)?ABCD為菱形，所以 BDAC ，又因?yàn)?PA 平面 ABCD ，所以 BD PA ，而 PA

22、I ACA ，故 BD 平面PAC；.FG PPA ,精品文檔（）因?yàn)锳BC60 ,所以ADC60 ，故 VADC 為等邊三角形，而 E為 CD 的中點(diǎn)，故 AECD ,所以 AEAB ,又因?yàn)?PA平面 ABCD ，所以 ABPA ,因?yàn)?PAI AEA ，所以 AB平面PAE ,又因?yàn)?AB平面 PAB ，所以 平面 PAB平面 PAE ；（）存在這樣的F，當(dāng) F 為 PB的中點(diǎn)時(shí)， CF P平面 PAE ；取 AB 的中點(diǎn) G，連接 CF、CG和 FG，因?yàn)?G 為 AB中點(diǎn)，所以 AE與 GC平行且相等，故四邊形 AGCE為平行四邊形，所以AE PGC ,故 GC P平面 PAE在三角

23、形 BAP中， F、G 分別為 BP、BA 的中點(diǎn)，所以故 FG P平面 PAE ,因?yàn)?GC和 FG均在平面CFG內(nèi)，且 GC I FGG ,所以 平面 CGF P平面 PAE ，故 CF P平面 PAE .【解析】【分析】（ ）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可；（）根據(jù)面面垂直的判定定理，證明直線與平面垂直，即可得到面面垂直；（）根據(jù)面面平行的判定定理，證明面面平行，即可說明兩平面沒有公共點(diǎn)，因此，一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線與另一平面均無公共點(diǎn)，即可說明線面平行 .【題型】解答題【分值】 14【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三.精品文檔【試題地區(qū)】北京【試題來源】

24、 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）19 、（ 2019 ? 北京）已知橢圓C： x2y2 1 的右焦點(diǎn)為（1.0 ），且經(jīng)過點(diǎn) A（0，1）.a2b2（I ）求橢圓 C 的方程；（II ）設(shè) O 為原點(diǎn)，直線 l：y=kx+t（t 1）與橢圓 C 交于兩個(gè)不同點(diǎn) P，Q ，直線 AP 與x 軸交于點(diǎn) M ，直線 AQ 與 x 軸交于點(diǎn) N ， |OM| |ON|=2，求證：直線 l 經(jīng)過定點(diǎn) .【答案】 解：（I）根據(jù)焦點(diǎn)為（ 1,0），可知 c=1，根據(jù)橢圓經(jīng)過（ 0,1）可知 b=1，故 a2b2c22 ，所以橢圓的方程為 x2y 21；2（ II ）設(shè) P x1, y1 , Q x

25、2 , y2 ，則直線y1 1x1 ，直線 AQ : yy21AP : yx2x 1，x1解得 Mx1 ,0 , N1x2,0 ,1 y1y2故 OMx1x2x1 x2，ON1 y1 y2y1 y21 y1 1 y2將直線 y=kx+t 與橢圓方程聯(lián)立，得 12k2 x24ktx2t 220 ，故 x1x24kt2 , x1x22t 22，所以 y1 y28k2t2t8k 2 t2k 2t212k12k212k2 , y1 y212k2，故 OMON2 t12 ，t1解得 t=0，故直線方程為y=kx，一定經(jīng)過原點(diǎn)（ 0,0）.【解析】【分析】（I）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和A 點(diǎn)坐標(biāo)，求出a 和 b，即

26、可得到.精品文檔橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ II ）設(shè)出 P 和 Q 的坐標(biāo)，表示出 M 和 N 的坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，表示 OM 與 ON，根據(jù) OM ON 2 ，解得t=0，即可確定直線恒過定點(diǎn)（0,0）.【題型】解答題【分值】 14【考查類型】中考真題【試題級(jí)別】高三【試題地區(qū)】北京【試題來源】 2019 年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）20 、（ 2019 ? 北京）已知函數(shù)f（ x） = 1 x3-x 2 +x.4（ I ）求曲線 y=f （ x）的斜率為 1 的切線方程；（ II ）當(dāng) x -2 ， 4 時(shí)，求證： x-6 f（ x）x；（）設(shè) F（x）=|f （ x）-（ x+a ）|（ a R），記 F（ x）在區(qū)間 -2，4 上的最大值為M （a）.當(dāng) M （a ）最小時(shí)，求a 的值 .【答案】 解（ I） f x3 x22x1，令 f x1 ，則 x1 0, x2 8 ，43因?yàn)?f 00, f88，327故斜率為 1 的直線為 y=x 或 y8x8