相交線和平行線典型例題及拔高訓(xùn)練(附答案)

1、4.2 相交線和平行線典型例題及強(qiáng)化訓(xùn)練課標(biāo)要求 了解對(duì)頂角，知道對(duì)項(xiàng)角相等。 了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會(huì)點(diǎn)到直線距離的意義。 知道過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直干已知直線，會(huì)用三角尺或量角器過(guò)一點(diǎn)畫一條直線的垂線。 知道兩直線平行同位角相等，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì) 知道過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線，會(huì)用角尺和直尺過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫這條 直線的平行線。 體會(huì)兩條平行線之間距離的意義，會(huì)度量?jī)蓷l平行線之間的距離。 典型例題1. 判定與性質(zhì)例1判斷題：1）不相交的兩條直線叫做平行線。（）2）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。（）3）兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。（

2、）4）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等。（）答案：（1）錯(cuò)，應(yīng)為“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”。（2）錯(cuò)，應(yīng)為“過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”。（3）錯(cuò)，應(yīng)為“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”。（4）錯(cuò)，應(yīng)為“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”。例2已知：如圖， AB/ CD,求證：/ B+Z D=Z BED 分析：可以考慮把/ BED變成兩個(gè)角的和。如圖5，過(guò)E點(diǎn)引 一條直線EF/ AB,則有Z B=Z 1,再設(shè)法證明Z D=Z 2，需證EF/ CD這可通過(guò)已知 AB/ CD和 EF/ AB得至鷹證明：過(guò)點(diǎn)E作EF/ AB,則Z B=Z 1 （兩直線平行，內(nèi)

3、錯(cuò)角 相等）。/ AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）。 Z D=Z 2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又 TZ BEDZ 1 + Z 2, Z BEDZ B+Z D （等量代換）。變式 1 已知：如圖 6, AB/ CD 求證：Z BED=360 - （Z B+Z D）。分析：此題與例1的區(qū)別在于E點(diǎn)的位置及結(jié)論。我們通常所說(shuō)的Z BED都是指E11小于平角的角，如果把ZBED看成是大于平角的角，可以認(rèn)為此題的結(jié)論與例結(jié)論是一致的。因此，我們模仿例1作輔助線，不難解決此題。證明：過(guò)點(diǎn)E作EF/ AB,則Z B+Z仁180（兩直線

4、平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。 / AB/ CD（已知），又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）。 Z D+Z 2=180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。 Z B+Z 1 + Z D+Z 2=180 +180（等式的性質(zhì)）。又 TZ BEDZ 1 + Z 2, Z B+Z D+Z BED=360 （等量代換）。 Z BED=360 - （Z B+Z D）（等式的性質(zhì)）。變式2已知：如圖7, AB/ CD求證：Z BED=/ D-Z B。分析：此題與例1的區(qū)別在于E點(diǎn)的位置不同，從而結(jié)論也不同。模仿例與變式1作輔助線的方法，可以解決此題。證明：過(guò)點(diǎn)E作EF/ AB

5、,則/ FEB=/ B （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。/ AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）。 / FED=/ D （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。/ BED/ FED-/ FEB / BED/ D- / B （等量代換）。變式3已知：如圖8, AB/ CD求證：/ BED=/ B-/ D。分析：此題與變式2類似，只是/ B/ D的大小發(fā)生了變化。證明：過(guò)點(diǎn)E作EF/ AB,則/ 1 + / B=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） / AB/ CD（已知）， 又 EF/ AB （已作）， EF/ CD（平行于同一直線的兩條直線互相平

6、行）。 FED+/ D=180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。1+/ 2+/ D=180o1+/ 2+/ D- （/ 1 + / B） =180 -180 （等式的性質(zhì)）。2=/ B- / D （等式的性質(zhì)）。BED/ B- / CO即/例3 已知：如圖 9, AB/ CD / ABF=/ DCE 求證：/ BFE=/ FEC 證法一：過(guò)F點(diǎn)作FG/ AB，則/ ABF=/ 1 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。過(guò)E點(diǎn)作EH/CD，則/ DCE/ 4 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。 FG/ AB（已作），AB/ CD（已知）， FG/ CD （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。又 EH/ CD （已

7、知）， FG/ EH （平行于同一直線的兩條直線互相平行）。即/證法二：如圖2=/ 3 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。1+/ 2=/ 3+ / 4 （等式的性質(zhì)）BFE=/ FECo10,延長(zhǎng)BF、DC相交于G點(diǎn)。/ AB/ CD（已知）， /仁/ABF （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / 1 = / DCE（等量代換）。 BG/ EC （同位角相等，兩直線平行）。 / BFE=/ FEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。如果延長(zhǎng)CE、AB相交于H點(diǎn)（如圖11）,也可用同樣的方法證明 程略）。證法三：（如圖12）連結(jié)BC / AB/ CD（已知）， / ABC/ BCD

8、（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又/ ABF=/ DCE（已知）， / ABC-/ ABF = / BCD-/ DCE（等式的性質(zhì)）。 即/ FBC=/ BCE BF/ EC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。/ BFE=/ FEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。強(qiáng)化訓(xùn)練一. 填空1. 完成下列推理過(guò)程 / 3= Z 4 (已知)，_ /( ) / 5= / DAB(已知)， /( )/ CDA + =180(已知)， AD/ BC ()2. 如圖，已知DE/ BC,BD是/ ABC勺平分線，/ EDC= 109,/ ABC= 50 則/ A度，/ BDC=度。3. 女口圖，AB/ CD,BE,CE分另U平

9、分/ ABC / BCD,則/ AEBZ CED=。4. 將點(diǎn)P(-3 , y)向下平移3個(gè)單位，向左平移 2個(gè)單位后得到點(diǎn) Q(x, -1)，則 xy= 。5、已知：如圖，直線 AB和CD相交于O, OE平分Z BOC且Z AOC=68，則Z BOE=二. 選擇題在海上，燈塔位于一艘船的北偏東40度方向，那么這艘船位于這個(gè)燈塔C兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;D 、兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。的()A南偏西50度方向；C北偏東50度方向;2.如圖,AB / EF/ DC, A 6 個(gè) B .5B南偏西40度方向；D北偏東40度方向EG/ BD,則圖中與Z 1相等的角共有()個(gè)C .43、4、同一平面內(nèi)

10、的四條直線若滿足 )a /如圖D.2 個(gè)a丄b,b丄c,c丄d,則下列式子成立的是d B,Z 1和Z 2互補(bǔ)，Z 3=130 ,那么Z 4的度數(shù)是(B. 60C.70D.80AB/ CD 且Z ABC=20 , Z CFE=30 ,A. 50 5.已知：則Z BCF勺度數(shù)是()圖2-4C兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;D 、兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。A. 160 B.150C.706(2003南 通 市)判斷題已知，如圖，下列條件中不能判斷直線l 1 / I2的是(A)Z 1 = Z 3( B)Z 2=Z 3(C)Z 4=Z 5( D)Z 2+Z 4= 180 7. (北京市海淀區(qū)2003年).如圖，

11、直線c與直線a、b相交，且a/b，則下列 結(jié)論：(1) Z1 Z2 ; (2) 1 =; (3) 3 =/2 中正確的個(gè)數(shù)為( )A. 0B. 1C. 2D. 38. (2004年浙江省富陽(yáng)市)下列命題正確的是()A、兩直線與第三條直線相交，同位角相等；B兩線與第三線相交，內(nèi)錯(cuò)角相C兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;D 、兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。9. （2003年安徽?。┤鐖D，AB/ CD AC丄BC,圖中與/ CAE互余的角有”（A.1個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)/ 2的度數(shù)。第2題第5題第6題10.（日照市2004年）如圖，已知直線 AB/ CD當(dāng)點(diǎn)E直線AB與CD之間時(shí)，有Z BED=

12、Z ABEZ CD成 而當(dāng)點(diǎn)E在直線AB與 CD之外時(shí)，下列關(guān)系式成立的是（）AZ BED=zI ABEzI CDE或Z BED=ZABEZ:CDE;BZ BED=zI ABE-zI CDECZ BED=zI CDI ABE或Z BED=ZABEZ:CDE;DZ BED=zI CDI ABE三. 解下列各題：1. 如圖，已知 OALOC OBLOD Z 3=26，求Z 1、2、已知 AD/ BC, Z A= Z C,求證：AB/ CD3. 如圖,AB / CD,求/ BAEZ AEFZ EFOZ FCD勺度數(shù).求證：DEL AC.已知，如圖 ACL BC,HFL AB,CDL AB, Z ED

13、(與Z CH互補(bǔ),4. 如圖，已知 AB/ ED, Z ABC=135 , Z BCD=80，求Z CDE勺度數(shù)。5. 已知：如圖， ADL BC于 D, EGL BC于G, AE =AF.求證：AD平分Z BAC四、如圖A、B是兩塊麥地，P是一個(gè)水庫(kù)，A、B之間有一條水渠，現(xiàn)在要將水庫(kù)中的水引到A B兩地澆灌小麥，你認(rèn)為怎樣修水渠省時(shí)省料經(jīng)濟(jì)合算？請(qǐng)說(shuō)出你的設(shè)計(jì)方案，并說(shuō)明理由。相交線與平行線2. 1 略；121 , 84; 3. 90 ; 4.-10 ; 5。56 題號(hào)12345678910答案BBAADBDCBC三.1.解：T OAL OC 0血 OD/ 1+/ 2 =90。，/ 3+/2 =90/ 仁/ 3=26 / 2=642證明：T AD/ BC / A+/ B=180/ / A= / C, / C+/ B=180 AB/ CD.1. 解：連結(jié)AC./ AB/ DC / CAB/ ACD=180/ CAE/ ACF+Z E+/ F =360 / CAB/ ACD=180 / BAEZ AEF+Z EFC+Z FCD=5404. 證明：T HF丄AB, AB丄CD CD/ HF, / CHFZ HCD=180/ ED（與/