方向?qū)?shù)與梯度

1、早節(jié)題目P6o2、4、7、10第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)的概念及計(jì)算 梯度的概念與幾何意義方向?qū)?shù)的計(jì)算梯度概念的理解梯度概念的理解梯度的幾何意義難占八、分析習(xí) 題 布 置教學(xué)內(nèi)容一、問題的提出實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1) , (5,1) , (1,3) , (5,3) ?在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個火焰，它使金屬板受熱.假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比.在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向(即梯度方向)爬行.二、方向?qū)?shù)的定義討論函數(shù)z = f(x, y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化

2、率問題.設(shè)函數(shù)Z=f (x ,y) 在點(diǎn)P (x ,y)的某一領(lǐng)域U (P)內(nèi)有定義，自點(diǎn)P引射線L,設(shè)x軸正向到L射線的轉(zhuǎn)角為-,并設(shè)p (x+.i x, y八y)為L上的另一點(diǎn)且 P U (p)oI PP 二 i ( : x)2 ( y)2,且? : z = f (x =x, y =y) - f (x, y),考慮z ,當(dāng)P ?沿著I趨于P時,lim f (x =x, (x, y)是否存在？尸 宀o ；-定義 函數(shù)的增量f (x : x,八y) - f (x, y)與PP倆點(diǎn)間的距離=,0 x)2 C : y)2之比值，當(dāng)P ?沿著I趨于P時，如果此比的極5f y)記為限存 在，那么稱這極

3、限為函數(shù)在點(diǎn)P沿方向I的方向?qū)?shù).依定義，函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P沿著x軸正向 q=1,0、 y軸正向=0,1的方向?qū)?shù)分別為fx, fy ；定理 如果函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意 方向L的方向?qū)?shù)都存在，且有f -f cossin，其中為x軸到方向L :xy的轉(zhuǎn)角.證明由于函數(shù)可微，那么增量可表示為f (x lx, y iy) _ f (x, y)二 _ x :二 y o(二)Sx cy兩邊同除以匚得到f (x : =x, y : =y) - f (x, y) ； :f x ； :f ? :y o() P Pcy P P設(shè)竺為cos?，色匕為s

4、in申P(guān)P故有方向?qū)?shù)f = lim f(x x y 弓)-f(x,y ) a 一 ?P=f cos 審 + f sin 半.例1求函數(shù)z =xe2y.x； :y解這里方向I即為在點(diǎn)P(1,0)處沿從點(diǎn)P(1,0)到點(diǎn)Q(2,-1)的方向的方向?qū)?shù).=1 _=e2y1cz=2xe2y(1,0)(1,0)PQ二1,-1,故x軸到方向I的轉(zhuǎn)角：=-dz(1,0) =2,:z兀=2所求方向?qū)?shù)cos( ) 2si n()例2求函數(shù)2 2f (x, y)二x -xy y在點(diǎn)(1，1)沿與x軸方向夾角為:-的方向射線I的方向?qū)?shù)？并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有(1)最大值；(2 )最小值；(3)等于零？

5、解 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知f丁 =fx(1,1)cosa + fy(1,1)sinG =(2x yNd cos o +(2Ax)| d,D sin。，目(叩)''廠算=cos = sin : = 2 sin( : ?),45応14當(dāng)時，方向?qū)?shù)到達(dá)最小值-? 2；,、，3兀7n當(dāng)和：?二時，方向?qū)?shù)等于044推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對于三元函數(shù)u = f(x, y,z),它在空間一點(diǎn) P(x, y, z)沿著方向L的方向?qū)?shù)可定義為：f =lim f(x Xy .yz . : z)-f(x,y，z), cl W P(其中 Q = X : x)2 C =y)2 ( - -z

6、)2)設(shè)方向L的方向角為：？，：，L的方向?qū)?shù)都存在,=x 二cos :, Ly =cos :, _z -cos ,同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向且有f f cosa + f cos P + f cos?.；x:y； z2 2 2例3設(shè)n是曲面2x 3y z=6在點(diǎn)P(1,1,1)處的指向外側(cè)的法向量，求. 1 2 2 "-函數(shù) u =-(6x2 ? 8y2)2在此處沿方向n的方向?qū)?shù).z解令 F(x,y,z) =2x 2 3y2 z2 -6,Fx“|p=4x| p=4, F ； |p =6y|p=6, Fzjp=2z|p=2, 故 n *, Fy , Fj -&

7、#39;4,6,2 :；COS。=八=,cos p3 , cos = 1 .V14，14cu6x6 cuexp z*'6x2 +8y2-廠_；n = Y42 +62 +22 =2 J14,方向余弦為時14迥6x2 8y2-14.148r8z 6x2 8y2故:u .(叫。泊 + 竺。sB+竺 COSY)11；:n p excycz三、梯度的概念問題：函數(shù)在點(diǎn)P沿哪一方向增加的速度 最快？定義 設(shè)函數(shù)z二f(x, y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么對于每一點(diǎn)P(x,y) ? D，都可定出一個向量，這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)ex byP(x, y)的梯度， 記為 gradf

8、 (x, y)二'i " j . ex cy設(shè)e = cos i sin j是方向I上的單位向量,由方向?qū)?shù)公式知干訐訐二一 cos? + sin? =:x: y干訐 cos ?,s in:x y=gradf (x, y) e =|gradf (x, y) |cos 日,其中日=(gradf (x, y) ,e)當(dāng) cos(gradf (x, y),6) =1 時，一有最大值.cl結(jié)論：函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向 為方向?qū)?shù)的最大值？梯度的模為汪致，而它的模丨 * 2 zfcf V fcf )I gradf (x, y) F J + I

9、ex 丿 cy )當(dāng)不為零時，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為tan :-丄 y ?:f:xgradfgradf在幾何上z = f (x, y)表示一個曲面z = f (x v)曲面被平面z=c所截得Iz = c所得曲線在xoy ifilh投影如圖yf f(X, y)=q gradf ( xt y )0等高線的畫法420-2-4o-4-2024例如，函數(shù)z=sinxy圖形及其等高線圖形I I-1.S-1-0.S.0-511.5梯度與等高線的關(guān)系：函數(shù)Z=f (x, y) 在點(diǎn)p(x ,y)的梯度的方向與點(diǎn)p的等高線f (x, y)=c 在這點(diǎn)法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等值線

10、，而梯度的模等于等于函數(shù)在這個法線方向上的方向?qū)?shù)。梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)三元函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么對于每一點(diǎn)P(x, y,z) ? G，都可定義一個向量(梯度)吋-吋-gf -gradf (x, y, z)=i 十一 j + k.dx dy cz類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值？類似地，設(shè)曲面f(x, y,z)=c為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)P(x, y, z)的梯度的方向與過點(diǎn)P的等量面f(x, y,z)=c在這點(diǎn)的法線的一個方向相冋，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較

11、高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).例4 求函數(shù)u=x +2y +3z +3x2y在點(diǎn)(1,1,2)處的梯度，并冋在 哪些點(diǎn)處梯度為零？解由梯度計(jì)算公式得CU CU -gradu (x, y, z) = i + j + k =(2x + 3)i +(4y-2)j +6zk, ex 知 cz故 gradu(1,1,2) =5+ 2 j+12k.3 1在Fo(, 一, ° )處梯度為0.2 2四、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念(注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別)2、梯度的概念(注意梯度是一個向量)3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系梯度的方向就是函數(shù) f (x, y)在這點(diǎn)增長 最快的方向.思考題 討論函數(shù)z = f (x,yH ; X y在(0,0)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在