二次函數(shù)與一元二次方程知識點(diǎn)及經(jīng)典例題

1、二次函數(shù)y=ax2bxc與ax2bxc =0（a0）的關(guān)系1、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根是二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，反之y=ax2bxc（a0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2bxc =0（a0）的根；52、 一元二次方程ax2bxc =0（a0）根情況的判別即二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）與x軸交點(diǎn)個數(shù)情況：判別式直接看方程平移例1：拋物線y=ax2bxc圖像如下， 則 ax2bxc =0的根有 （ ）個ax2bxc+30的根有（ ）個ax2bxc40的根有（ ）個 x例2：若關(guān)于x的不等式組 無解，則二次函數(shù)y=（a-2）x2-x與X x

2、 軸交點(diǎn)有（ ）個；例3：一元二次方程與X軸的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）個；例4：二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）的圖像如圖所示，根據(jù)圖像解答下列問題：（1） 寫出方程ax2bxc =0的兩個根；（2） 寫出不等式ax2bxc >0的解集；（3） 寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范值；（4） 若方程ax2bxc =k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取什范圍。 32213、 韋達(dá)定理在二次函數(shù)y=ax2bxc（a0）中的應(yīng)用（） 已知其中一個交點(diǎn)，求另一個交點(diǎn)：例5：若拋物線與X軸的一個交點(diǎn)是（2，0）則另一個交點(diǎn)是（ ）； 求兩交點(diǎn)A,B線段的長度例6：若拋物線與X軸的交點(diǎn)為A，B，且AB的長度

3、為10，求a 利用韋達(dá)定理求面積：例7：拋物線與X軸的一個交點(diǎn)是A(3，0），另一個交點(diǎn)是B，且與y軸交于點(diǎn)C， （1）求m的值；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D（x，y）（其中x>0，y>0），使，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。y例5：已知如圖，二次函數(shù)與x軸于A,B兩點(diǎn)，若OA:OB=3:1，求mxBAO例6：已知二次函數(shù)的圖像交x軸于A(，0)、B（，0）兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，且。（1） 求此二次函數(shù)的解析式； （）（2） 是否存在過點(diǎn)D(0，)的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N,與x軸交于E點(diǎn)，使得M、N關(guān)于點(diǎn)E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由。4、 拋

4、物線ax2bxc =0與x軸交點(diǎn)及對稱軸之間的關(guān)系；設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)為A(，0)和B（，0）則對稱軸為直線，拋物線任縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，即若有，則則對稱軸為直線。31例10：已知二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（ ）5. 若二次函數(shù)y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖象與坐標(biāo)軸共有兩個交點(diǎn)，則a可取( )6. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點(diǎn)M（-1，2）和點(diǎn)N（1，-2），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C則：b=-2； 該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸； 存在這樣一個a，使得M、A、C三點(diǎn)在同一條直線上； 若a=1，則OAOB=OC2以

5、上說法正確的有（） A B C D解析：解：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點(diǎn)M（-1，2）和點(diǎn)N（1，-2），2ab+c 2a+b+c解得b=-2 故該選項(xiàng)正確方法一：二次函數(shù)y=ax2+bx+c，a0該二次函數(shù)圖象開口向上點(diǎn)M（-1，2）和點(diǎn)N（1，-2），直線MN的解析式為y=-2x，根據(jù)拋物線的圖象的特點(diǎn)必然是當(dāng)-1x1時，二次函數(shù)圖象在y=-2x的下方，該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸；方法二：由可得b=-2，a+c=0，即c=-a0，所以二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸故該選項(xiàng)正確根據(jù)拋物線圖象的特點(diǎn)，M、A、C三點(diǎn)不可能在同一條直線上故該選項(xiàng)錯誤當(dāng)a=1時，c=-1，

6、該拋物線的解析式為y=x2-2x-1當(dāng)y=0時，0=x2-2x+c，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得 x1x2=c，即OAOB=|c|，當(dāng)x=0時，y=c，即OC=|c|=1=OC2，若a=1，則OAOB=OC2，故該選項(xiàng)正確 總上所述正確 故選C7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=kx+b（k0）與反比例函數(shù)y2m/x(m0)交于A（-2，n）及另一點(diǎn)B，與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D過A作AHx軸于H，若OC=2OH，且ACH的面積為9（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式及另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)y1y2時自變量x的取值范圍解析：（1）A（-2，n），OH=2，O

7、C=2OH=4，CH=2+4=6，SACH1/2CH|yA|1/2×6n9n=3，（2分）A（-2，3），C（4，0），一次函數(shù)圖象過點(diǎn)A（-2，3），C（4，0），y11/2x+2（4分）3m/-2，m=-6y26/x，B（6，-1）；（8分）（2）x-2或0x6（10分）8. 已知二次函數(shù)y=x2+ax+a-2(1)說明y=ax2+ax+a-2與x軸有兩個不同交點(diǎn)（2）求出交點(diǎn)距離（用a的 表達(dá)式）解析：(1)因?yàn)閍2-4(a-2)=(a-2)2+40，（即y=0時，方程x2+ax+a-20有兩個不同的實(shí)數(shù)根），故y=x2+ax+a-2與x軸有兩個不同交點(diǎn)。 （2）令交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1,0)、(x2,0),且：x2x1，故：交點(diǎn)距離x2-