橢圓性質(zhì)92條及其證明

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上橢圓1. 2.標(biāo)準(zhǔn)方程 3.4點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.5PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn). 6以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離. 7以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.8設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9橢圓（ab0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.11若在橢圓外 ，則過

2、Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15若PQ是橢圓（ab0）上對(duì)中心張直角的弦，則.16若橢圓（ab0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1) ;(2) .17給定橢圓：（ab0）, ：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點(diǎn)M.(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過點(diǎn).18設(shè)為橢圓（或圓）C: (a0,. b0)上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦,且弦PP1, PP2斜率存

3、在，記為k1, k 2, 則直線P1P2通過定點(diǎn)的充要條件是.19過橢圓 (a0, b0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為， .21若P為橢圓（ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則.22橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ，).23若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).24P為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A

4、為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.25橢圓（ab0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的充要條件是.26過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.27過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28P是橢圓（ab0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.29設(shè)A,B為橢圓上兩點(diǎn)，其直線AB與橢圓相交于,則.30在橢圓中，定長(zhǎng)為2m（oma）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時(shí), .31設(shè)S為橢圓（ab0）的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);

5、當(dāng)時(shí)，有,.32橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34設(shè)橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.35經(jīng)過橢圓（ab0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.37MN是經(jīng)過橢圓（ab0）焦點(diǎn)的任一弦，若AB是經(jīng)過橢圓中心O且平行于MN的弦，則.38MN是經(jīng)過橢圓（ab0）焦點(diǎn)的任一弦，若過橢圓中心O的半弦，則.39設(shè)橢圓（ab0）,M

6、(m,o) 或(o, m)為其對(duì)稱軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為對(duì)稱軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：(或)上.40設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.41過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.42設(shè)橢圓方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.43設(shè)A、B、C、D為橢圓上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角

7、分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.44已知橢圓（ab0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為橢圓的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S形成的軌跡方程是().45設(shè)ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).46過橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47設(shè)A（x1 ,y1）是橢圓（ab0）上任一點(diǎn)，過A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離, 分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的

8、距離，則.48已知橢圓（ ab0）和（ ），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則AB=|CD.49已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則.50設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .51設(shè)過橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過H點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52L是經(jīng)過橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.53L是橢圓（ ab0）的準(zhǔn)

9、線，A、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54L是橢圓（ ab0）的準(zhǔn)線，E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55已知橢圓（ ab0），直線L通過其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與橢圓左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來，則（當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時(shí)右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)A、F1、B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)）.56設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .57設(shè)A、B是橢圓（

10、ab0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58設(shè)A、B是橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)），外部的兩點(diǎn)，（1）若過A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，（若B P交橢圓于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過B點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足.59設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.60過橢圓（ ab0）的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD則.61到橢圓（ ab0

11、）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.62到橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63到橢圓（ ab0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64已知P是橢圓（ ab0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.65橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長(zhǎng)，為通過一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).66設(shè)橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為,是橢圓上的點(diǎn)過P作斜率為的直線，過分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與

12、x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點(diǎn).68OA、OB是橢圓（ a0,b0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).(2) 以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是.69是橢圓（ab0）上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(且).70如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F2在L同側(cè)

13、直線 和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.71AB是橢圓（ab0）的長(zhǎng)軸，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過的切線與過A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72設(shè)點(diǎn)為橢圓（ ab0）的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓過定點(diǎn)的任一弦，當(dāng)弦AB平行（或重合）于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí).當(dāng)弦AB垂直于長(zhǎng)軸所在直線時(shí), .73橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切.74橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn).75橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與a-c.76橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c.77

14、橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). (注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).)78橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.79橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).80橢圓焦三角形中,橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81橢圓焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83橢圓焦三

15、角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng).84橢圓焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn).85橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.87橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線.88橢圓焦三角形中,過非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過兩焦點(diǎn).89. 已知橢圓(包括圓在內(nèi))上有一點(diǎn),過點(diǎn)分別作直線及的平行線，與軸于，與軸交于.,為原

16、點(diǎn)，則：（1）；（2）.90. 過平面上的點(diǎn)作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91. 點(diǎn)為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，則：.92. 點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，已知，則的軌跡方程是.橢圓性質(zhì)92條證明1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。3.橢圓第二定義。4. 如圖，設(shè)，切線PT（即）的斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為。4圖 5圖由兩直線夾角公式得： 同理可證其它情況。故切線PT平分點(diǎn)P處的外角。5

17、.如圖，延長(zhǎng)F1P至A，使PA=PF2，則是等腰三角形，AF2中點(diǎn)即為射影H2。則，同理可得，所以射影H1，H2的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。6.設(shè)P，Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為，以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，以PQ為直徑的圓的半徑為r，則，故以PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離。7圖 8圖7.如圖，兩圓圓心距為，故兩圓內(nèi)切。8.如圖，由切線長(zhǎng)定理：，而，與重合，故旁切圓與x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其他位置情況。9.10. 在橢圓上，對(duì)求導(dǎo)得：切線方程為即11.設(shè)，由10得：，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且同時(shí)滿足方程，所以12.作差得：13.由12可得：14. .由12可得：15.設(shè)，則16.將

18、直線AB代入橢圓方程中得：，設(shè)則， 17.設(shè)橢圓內(nèi)直角弦AB的方程為：即。當(dāng)斜率k存在時(shí)，代入橢圓C1方程中得：設(shè)得，則即直線AB過定點(diǎn)，此點(diǎn)在C2上。當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線AB也過C2上的定點(diǎn)。由上可知C1和C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即證。18.必要性：設(shè)P1P2：。k存在時(shí)，代入橢圓方程中得：設(shè)得， k不存在時(shí)，P1P2：x=mx0則，必要性得證。充分性：設(shè)P1P2過定點(diǎn)，則P1P2：。代入橢圓方程得：設(shè)得，則注意到m1，解（1）（3）得，代入（2）式，成立。驗(yàn)證k不存在的情況，也得到此結(jié)論。故過定點(diǎn)，充分性得證。19. 設(shè)AB：即20.由余弦定理：21.由34：22.由第二

19、定義得：23.24.25.設(shè)橢圓上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，。由12得：又在橢圓內(nèi)，若，則26.由5即可得證。27.設(shè)P，則切線，A27圖 30圖28.29.設(shè)。聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理：同理。則APBQ=而的符號(hào)一定相反，故=0。所以AP=BQ30.設(shè)，為AB中點(diǎn)。則而設(shè)，則解得，代入m2得：令得：所以定長(zhǎng)為2m（0ma）的弦中點(diǎn)軌跡方程為。其中,當(dāng)時(shí), 。31. 設(shè)，為AB中點(diǎn)。則：二次函數(shù)y=e2x2-mx+a2與在內(nèi)的交點(diǎn)即為x0的值。由圖易知y=e2x2-mx+a2與的左交點(diǎn)為x0的值。當(dāng)m增大時(shí)，x0減小。要使x0最大，則要使m最小。，此時(shí)等號(hào)成立時(shí)31圖 35圖當(dāng)此式成立時(shí)當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)

20、時(shí)，當(dāng)，即AB垂直于x軸時(shí)x0最大?？紤]到對(duì)稱性對(duì)任意情況均成立。， 32.33. 當(dāng)時(shí)，即為32：34.由正弦定理得，所以。35. 設(shè)，則P點(diǎn)處的切線為，由此可得：36.（1）同15.（2）由15,36（3）：（3）設(shè)，37.設(shè)，橢圓 37圖 38圖則將AB的方程代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中得：，由參數(shù)t的幾何意義可知：38.作半弦OQOP，由37得：，由15：39.設(shè)，將的方程代入橢圓得：由韋達(dá)定理得：，直線A1P的方程為，直線A2Q的方程為，聯(lián)立A1P和A2Q得交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)：所以交點(diǎn)一定在直線上。同理可證M在y軸上的情況。引理（張角定理）：A,C,B三點(diǎn)按順序排列在一條直線上。直線外

21、一點(diǎn)P對(duì)AC的張角為，對(duì)CB的張角為。則：40圖 41圖40.如圖，A為左頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則。 對(duì)F-APM由張角定理：即FM平分，同理FN平分。即MFNF當(dāng)A為右頂點(diǎn)時(shí)，由39可知左頂點(diǎn)A與P、M；Q、N分別共線，于是回到上一種情況。41.如圖，設(shè)，則對(duì)F-QA2M和F-A1PM由張角定理：兩式相減并化簡(jiǎn)得：即FM平分，同理FN平分。即MFNF42.由12即可證得。43.設(shè)，AB：，CD：，將AB的方程代入橢圓得：由參數(shù)t的幾何意義可知：，同理44. 對(duì)于外角平分線的情況由5即可證得，下僅證為內(nèi)角平分線的情況。設(shè)P，則則，。分別聯(lián)立、和、得：，則， 對(duì)點(diǎn)：，代回式得：同理對(duì)點(diǎn)得。故點(diǎn)、點(diǎn)的軌跡方

22、程為45.由伸縮變換將橢圓（左圖）變?yōu)閳A（右圖），橢圓中的共軛直徑變?yōu)閳A中相互垂直的直徑。所證命題變?yōu)樽CCD與圓O相切的充要條件是D為EF中點(diǎn)。 充分性：若D為EF中點(diǎn) C在圓上，ABOE FCCE，OFOB CD=DE=DF DCF=OFB=OAC=OCAOCD=OCA+ECD=ECD+DCF=ECF=90°OCCD CD與圓相切。必要性：若CD與圓相切，則OCD=ACB=FOB=90°DCF=OCA=OAC=CFD DF=DC ECF=90°DEC=90°CFD=90°DCF=DCE CD=DE=DF 即D為EF中點(diǎn)。46.設(shè)，由橢圓極坐標(biāo)

23、方程：， 47.由10可知為切線 由22: 48.同29。49.50.同20。51.設(shè)，代入橢圓方程得：由韋達(dá)定理得：由A、P、M三點(diǎn)共線得，同理52,53,54為同一類題（最佳觀畫位置問題），現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線x=m上（m>k），則當(dāng)時(shí)，APB最大，其正弦值為。52.k=c,m=a sine,當(dāng)且僅當(dāng)PH=b時(shí)取等號(hào)。 53. k=a,m= sine,當(dāng)且僅當(dāng)PH=時(shí)取等號(hào)。54. k=c,m= sine2,當(dāng)且僅當(dāng)PH=時(shí)取等號(hào)。55.設(shè)AF2x=， 當(dāng)=0°時(shí)，；當(dāng)=90°時(shí)， 56.（1）設(shè)，代入橢圓方程得： AP=0AP=（2）設(shè)則（3

24、）由（2）：57.由58可證。58.（1）易知PQ的斜率為0和斜率不存在時(shí)，對(duì)任意x軸上的點(diǎn)A都成立。設(shè)，A（m，0）代入橢圓方程得：，則若，則（2）作P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，由（1）即證。59.同9。60.設(shè)橢圓，。則當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)或時(shí)，有最大值61,62,63為同一類問題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比，則P點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。下三個(gè)題的比值均為，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。61.m=c，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。62.m=a，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。63.m=，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64.設(shè)，由得消去參數(shù)得Q點(diǎn)的軌跡方程：65.同37。 66.（1）同35（2）由基本不等式，則梯形面積的最小值為。67.設(shè)AC交x軸于M，AD于D。由橢圓第二定義：AC過EF的中點(diǎn)。68.（1）由17可知當(dāng)橢圓方程為時(shí)，AB過定點(diǎn)。當(dāng)橢圓方程變?yōu)闀r(shí)，橢圓向右平移了個(gè)單位，定