兩點(diǎn)間的距離教案

1、兩點(diǎn)間距離教學(xué)目標(biāo)1 .使學(xué)生理解并掌握平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式.2 .使學(xué)生初步了解解析法證實(shí).3 .教學(xué)中滲透由特殊到一般,再由一般到特殊的思想.“數(shù)和“形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想.鑒賞公式蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)猜測兩點(diǎn)間的距離公式.難點(diǎn)理解公式證實(shí)分成兩種情況.教學(xué)過程B是X軸上兩點(diǎn),C、|CD|又怎樣求？師：上節(jié)我們學(xué)習(xí)了有向線段,現(xiàn)在有問題是：如果A、D是y軸上兩點(diǎn),它們坐標(biāo)分別是xa、xb、yc、丫口,那么|AB|生：|AB|=|xb-Xa|,|CD|=|y.師：現(xiàn)在再請(qǐng)同學(xué)們解如下兩題.求B(3,4)到原點(diǎn)的距離.設(shè)A(xi,yi);B(X2,y2),求|AB|.生：B到原點(diǎn)距離

2、是5.師：你是怎么得出來的?生：我是通過觀察圖形,發(fā)現(xiàn)一個(gè)RtBMO應(yīng)用勾股定理得到的.注:為猜測打根底.師：請(qǐng)同學(xué)們猜猜題的結(jié)果？生：甲：|AB|=Jg/力"斗機(jī)J.乙固尸陽-叼2+C?i-y2,丙呼尸向父爐乜力-加產(chǎn)丁：師：哪個(gè)公式對(duì)呢？或問甲、乙、丙怎么猜出來的.生甲：利用題求出A點(diǎn)到原點(diǎn)距離加上B點(diǎn)到原點(diǎn)距離.其他學(xué)生討論反向原點(diǎn)O在R、P2直線上嗎？引導(dǎo)討論到達(dá)認(rèn)同I碎=J因-叼2+力-力2,根據(jù)第題構(gòu)造RtA的想法,把題也構(gòu)師：我們來欣賞和考驗(yàn)它的正確性. 按距離要求它大于等于零,是這樣嗎？生：是. |AB|=|BA|.公式滿足嗎？生：滿足.師：用猜出公式檢驗(yàn)題.生,IB

3、q-3-02+4-0/-725=5.師：當(dāng)AB平行于x軸或平行于y軸,公式還適用嗎？生；當(dāng)AB平行和軸,那么門=%.所以|叫=/弧-近于二區(qū)-町|.同理當(dāng)AB平行于,由,那么卷i=叼.所以|AB|二水力-y3弓力一力是適用的.師：這就增強(qiáng)了我們猜測公式的信心.那么我們應(yīng)該對(duì)公式從理論上加以證明.應(yīng)該怎么辦？生：證實(shí)時(shí)要構(gòu)造RtA.師：總能構(gòu)造Rt嗎？生：當(dāng)AB平行于x軸或AB平行于y軸時(shí)不行.師：那么AB不平行于x軸或y軸任意兩點(diǎn)總能構(gòu)造Rt嗎？生：可以.師：好！要求我們證實(shí)時(shí)分兩種情況：兩點(diǎn)連線平行x軸或y軸時(shí)；兩點(diǎn)連線不平行于x軸或y軸.下面,我們來求平面上任意兩點(diǎn)間的距離.(教師在黑板上

4、畫圖,學(xué)生完成證實(shí)過程.)生：在直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)R(xi,v»P2(x2,y2)如圖：從Pi、B分別向x軸和y軸作垂線RM、PW和P2M、P2N2,垂足分別為M(xi,0)、N2(0,yi)、M1,0)、N(0,yz),其中直線RN和P2M相交于點(diǎn)Q在RtAPiQf?中,|PR|2=|PiQ|2+|QP2|2.由于|PiQ|=|MiM|=|x2-xi|,|QPz|=|NN|=|y2-yi|,所以|PR|2=|x2-xi|2+|y2-yi|2.由此得到兩點(diǎn)Pi(xi,yi)、F2(xz,yz)的距離公式:師：同學(xué)們道兩點(diǎn)的距離公式,請(qǐng)大家回憶一下我們?cè)鯓又赖?回憶過程我們先計(jì)算在x

5、軸和y軸兩點(diǎn)間的距離.又問了B3.4到原點(diǎn)的距離,發(fā)現(xiàn)了RtA.猜測了任意兩點(diǎn)距離公式.最后求平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式.這種由特殊到一般,由特殊猜測任意的思維方式是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)公式或定理到推導(dǎo)公式、證實(shí)定理經(jīng)常應(yīng)用的方法.同學(xué)們?cè)谧鰯?shù)學(xué)題可以采用！下面對(duì)兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)該進(jìn)一步理解和鑒賞它.距離這個(gè)量是非負(fù)數(shù),那么|PiPal=V的-盯"十八一為產(chǎn)是非負(fù)數(shù)嗎T答案是肯定的.再看看公式處一下結(jié)構(gòu)由馬十力-打產(chǎn)工&叼-町*力-y爐是恒等嗎?名吉陶對(duì)稱嗎？答案也是肯定的.從公式田衛(wèi)尸J的士尸+力-刈沒有涉及長度單位,那么對(duì)任何長度單位都適用嗎？答案也是肯定的,說明公式應(yīng)用的廣泛性.

6、當(dāng)R、P2點(diǎn)同時(shí)平移時(shí),不管PR落在什么位置,|PR|有變化嗎？答案也是肯定的,又說明了公式的任意性.對(duì)于這個(gè)公式的重要性：公式是解析幾何的根底知識(shí),根本公式.它對(duì)以后繼續(xù)學(xué)習(xí)研究解析幾何問題有著廣泛的用途,在以后學(xué)習(xí)任何曲線問題時(shí)都會(huì)用到它,在解決實(shí)際問題時(shí)也會(huì)經(jīng)常用到,在今后的學(xué)習(xí)中會(huì)體會(huì)到這一點(diǎn).現(xiàn)在我們?cè)倏匆粋€(gè)例子：在一個(gè)圓上,有A、BGD4個(gè)點(diǎn),你怎樣證實(shí)：|AO|=|BO|=|CO|=|DO|=R呢?引導(dǎo)學(xué)生利用三角解決.設(shè)A(x0,yo),/AOM=.所以笈=|OA|*cos0.y=|0A|*sin.所以|A0|=y/x2+y3=7lW2e-b|OA|2sin20=OAcos2?

7、4ain2=J|QA|2-|OA|=R.今天我們學(xué)習(xí)了平面上兩點(diǎn)間的距離.(教師在黑板上寫上課題：兩點(diǎn)間的距離.)練習(xí)：求以下坐標(biāo)下的兩點(diǎn)間的距離？石企72V3(1)?!(,P式)(3)有一線段的長度是13,它的一個(gè)端點(diǎn)是A(-4,8),另一個(gè)端點(diǎn)是B的縱坐標(biāo)3,求這個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)？并畫出這個(gè)點(diǎn).練習(xí)方式：(1)(2)學(xué)生下面做,教師叫一個(gè)或二個(gè)學(xué)生板書后,再糾正錯(cuò)誤.或叫學(xué)生口述,教師板演,標(biāo)準(zhǔn)書寫格式.而對(duì)于(3)應(yīng)讓學(xué)生先畫圖,再解.解：設(shè)B(x,3),根據(jù)|AB|=13,即：(x+4)2+(3-8)2=132,x2+8x-128=0,解之：x8或x2=-16.學(xué)生先找點(diǎn),有可能找不全,

8、丟掉點(diǎn),而用代數(shù)解比擬全面.也可以引至到A-4,8點(diǎn)距離等于13的點(diǎn)的軌跡或集合是以A點(diǎn)為圓心13為半徑的圓上與y=3的交點(diǎn),應(yīng)交出兩個(gè)點(diǎn).師：兩點(diǎn)間的距離公式能起到證實(shí)兩條線段相等作用嗎？我們看下面一題.例14ABC中,AD是BC邊上的中線,求證：|AB|2+|AC|2=2|AD|2+|DC|2.師：我們先作一個(gè)三角形ABCAD是BC邊上的中線.再想如何證實(shí)：|AB|2+|AC|2=2|AD|2+|DC|2.生：必須把ADO在直角坐標(biāo)系內(nèi),利用距離公式.師：如何放呢？下面可以畫畫坐標(biāo)系.生：在下面畫,教師下面巡視,最后歸納成以下幾種.師：ABCE坐標(biāo)系中大致有以上4種,都能到達(dá)證實(shí)結(jié)論.請(qǐng)同

9、學(xué)觀察哪種放法比擬簡捷呢？生：14的放法比擬好,其中種最好.師：好,哪種放法最不好？生：3種放法最不好.師：為什么？說說理由？討論生：3A、B、C坐標(biāo)均不一樣,字母太多,且D點(diǎn)坐標(biāo)不知如何求？未學(xué)中點(diǎn)坐標(biāo)公式.2種RC兩點(diǎn)縱坐標(biāo)一樣.1種B點(diǎn)與原點(diǎn)重合B0,0,D、C坐標(biāo)縱坐標(biāo)為零,比擬好,計(jì)算較簡便.4種方法是B、DC在x軸上,縱坐標(biāo)均為零,且B、C對(duì)稱,橫坐標(biāo)互為相反數(shù).師：好,我們就選4種方法證實(shí).再問一下A點(diǎn)放在y軸上不更好嗎？生：把A點(diǎn)放在y軸上,三角形是特殊的等腰三角形,失去一般性.證實(shí)：取線段所在的直線為x軸,點(diǎn)D為原點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為b,c,點(diǎn)C的坐標(biāo)為a,0

10、,那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為-a,0,可得：|AB|2=a+b2+c2,|AC|2=a-b2+c2,|AD|2=b2+c2,|OC|2=a2.所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).例2對(duì)任意實(shí)數(shù)xi,X2,yi,y2下面的不等式成立:h-町/十n一力舊式J町"十十J工4十師：這樣的代數(shù)不等式通常怎樣證？生：從現(xiàn)在學(xué)習(xí)代數(shù)不等式的知識(shí)來看有比擬法.師：是這樣,隨著學(xué)習(xí)的深入,代數(shù)不等式還有綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、判別式法、圖象法等.師：按距離公式,3個(gè)根式各像什么

11、?生：距離公式.師：涉及到哪幾個(gè)點(diǎn)？生：涉及(Xi,yi)、(X2,N斗、(0,0).師：畫圖看看,怎樣證？生：設(shè)0(0,0)、A(xi,yi)、B(X2,y2),且QAB構(gòu)成一個(gè)三角形.由于|.閥=序守,|QB|=J叼2*力工所以|AB|二Jr町十%-力洛又由于四|<|.紳j0B|(三翻兩邊之和大于第三邊),由于水口一國產(chǎn)十.2一力)JxJ十十十療*師：等式如何取得？生：當(dāng).AB共線且0在AB之間時(shí)：那么|AB|=|0A|+|0B|.師：當(dāng)QA、B3點(diǎn)共線,0在AB之外時(shí),又怎么樣？生：這時(shí)|AB|<|0A|+|0B|.師,總之,J-2-的心二(七-力尸4為"+H+這道

12、題實(shí)際上是距離公式的逆用.我們?cè)诮鈹?shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常強(qiáng)調(diào)“形到“數(shù)轉(zhuǎn)化,而這道題以形解數(shù).從例1來看是用代數(shù)方法解決幾何問題,起名叫做解析法,而例2是形解數(shù).這些都是“數(shù)和“形相互轉(zhuǎn)化.今后我們由它在方程中的應(yīng)用、在函數(shù)最值中應(yīng)用、在證實(shí)恒等式中應(yīng)用、在三角方面的應(yīng)用,可以看出兩點(diǎn)間的距離公式在解決數(shù)學(xué)問題中的廣泛性.它的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為J(七-應(yīng)產(chǎn)+(力-力/的形式,并且要對(duì)有關(guān)的數(shù)或形進(jìn)行幾何解釋,利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,借助于圖形的有關(guān)性質(zhì)得出問題的解或結(jié)論.練習(xí)：試證直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.(學(xué)生自己完成)小結(jié)：1.學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式.2 .解析法證實(shí)幾何問題,建立坐標(biāo)系的原那么又

13、是什么呢？在不失一般性的前提下：(1)設(shè)點(diǎn)盡可能出現(xiàn)對(duì)稱點(diǎn).(2)盡可能的把點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上,這樣,點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)出現(xiàn)有的坐標(biāo)為零,優(yōu)化計(jì)算.3 .學(xué)習(xí)中運(yùn)用特殊到一般,再由一般到特殊的思想.還有“數(shù)“形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.補(bǔ)充作業(yè)：1 .假設(shè)B>GD在數(shù)軸上的坐標(biāo)是a,2a,3a(a>0),那么求出數(shù)軸上適合|0A+|AE+|AC+|AD/=5/的點(diǎn)A的坐標(biāo).(答案三a)L-J2 .在x軸上求一點(diǎn)P,使P點(diǎn)至ijA(-4,3)和B(2,6)兩點(diǎn)的距離帕等.(管藕=1)3 .判斷三點(diǎn)A(3,1)、B(-2,9)、C(8,11)是否共線？(答案不共線)4 .三點(diǎn)A(3,2)、B(0,5)、C(

14、4,6),那么ABC的形狀是什么？(答案B)A.直角三角形.B.等邊三角形.C.等腰三角形.D.等腰直角三角形.5 .試證矩形的對(duì)角線相等.設(shè)計(jì)說明距離概念,在日常生活中時(shí)刻遇到,學(xué)生在初中平面幾何中已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離概念.到高一立體幾何中又學(xué)習(xí)了異面直線距離、點(diǎn)到平面的距離、兩個(gè)平面間的距離等.其根底是兩點(diǎn)間的距離,許多距離的計(jì)算都轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.在平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)問的距離是解析幾何重要的根本概念和公式.到復(fù)平面內(nèi)又出現(xiàn)兩點(diǎn)間距離,它為以后學(xué)習(xí)圓錐曲線,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離,動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離打下根底,為探求圓錐曲線方程打下根底.例如：圓的概念

15、是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.橢圓的概念是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的集合.雙曲線的概念以及拋物線的概念都涉及到距離的概念.另外,可以看出兩點(diǎn)間距離公式為解決代數(shù)、三角和幾何問題起到了重要作用,所以學(xué)習(xí)掌握運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式的重要性是顯而易見的.解析幾何是通過代數(shù)運(yùn)算來研究幾何圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的,因此,在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)應(yīng)充分利用“數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法.1 .關(guān)于本節(jié)課的宏觀想法從本節(jié)課的內(nèi)容,即平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用公式解題,來了解解析法證實(shí).初步會(huì)用解析法證實(shí)簡單的幾何題.因而確定的教學(xué)目標(biāo)是從教材的性質(zhì)確定本節(jié)課是概念及公式的推導(dǎo)課.而重點(diǎn)是掌握兩點(diǎn)間的

16、距離公式,所以采用了“歸納一演譯,滲透由特殊到一般,再由一般到特殊的方法.同時(shí)充分利用了數(shù)形轉(zhuǎn)化,以形促數(shù)、以數(shù)找形的數(shù)學(xué)思想和方法.確定導(dǎo)入課是在上節(jié)有向線段的長度根底上提出一個(gè)問題,即A、B是x軸上兩點(diǎn),GD是y軸上兩點(diǎn),求|AB|及|CD|?再引出一個(gè)特殊點(diǎn)B(3,4)到原點(diǎn)距離,讓學(xué)生觀察圖形發(fā)現(xiàn)RtA,利用勾股定理解決,為猜測兩點(diǎn)間的距離公式和推導(dǎo)打下根底.再提出任意兩點(diǎn)A(xi,yi)、B(X2,y2),如何求|AB|.讓學(xué)生猜測,引導(dǎo)到正確公式中來.應(yīng)該在猜測的教學(xué)環(huán)節(jié)上下功夫.在猜出公式后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生欣賞和考驗(yàn)它的正確性.由此說明公式普遍性及特殊性都適用,才稱其為公式.在經(jīng)過嚴(yán)

17、格的理論推導(dǎo)出公式才能成為真理.更深一層引導(dǎo)同學(xué)理解和鑒賞公式.讓學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)更重要的是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維方法,在得到公式時(shí)不要到此而止,還要進(jìn)一步理解它,鑒賞它,使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的美.解析法證明為幾何證實(shí)又開辟了新的途徑是本節(jié)的難點(diǎn),特別是如何建立坐標(biāo)系,比擬它優(yōu)劣,在小結(jié)中總結(jié)出建立坐標(biāo)系的一般原那么,使學(xué)生初步了解解析法證實(shí).對(duì)于例2代數(shù)不等式的證實(shí),其目的是以形解數(shù),如果利用代數(shù)中的比擬法、綜合法、逆證法等都是不能很快解決的,但這個(gè)題要根據(jù)所授學(xué)生的實(shí)際決定取舍.2 .教學(xué)微觀想法兩點(diǎn)間的距離公式的導(dǎo)出以及它的應(yīng)用解題,從問題的提出開始,盡可能地讓學(xué)生參與知識(shí)的產(chǎn)生及形成過程,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,要全方位、分層次參與任何問題結(jié)論的得出都由學(xué)生自己完成,教師只起到點(diǎn)撥作用.在有可能的情況下可以用電腦提升動(dòng)畫效果.例：A、B平行移動(dòng),解析幾何證實(shí)坐標(biāo)系的選擇、代數(shù)不等式中三角形的變化等.這樣,學(xué)生真正參與概念的建立、公式推導(dǎo)探索過程,從而體會(huì)獲取知識(shí)的樂趣,成為“生產(chǎn)知識(shí)的主人.3 .教學(xué)情境設(shè)計(jì)的想法以提出問題導(dǎo)入新課,每個(gè)問題又盡可能地讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口,去發(fā)現(xiàn)、去猜測、去在理論上推導(dǎo),所有的時(shí)機(jī)都給學(xué)生,同時(shí)又