考研數(shù)學重點筆記

1、精品資源歡迎下載第一部分第一章集合與映射 1 集合 2 映射與函數(shù)本章教學要求：理解集合的概念與映射的概念，掌握實數(shù)集合的表示法，函數(shù)的表示法與函數(shù)的一些基本性質(zhì)。第二章數(shù)列極限 3 實數(shù)系的連續(xù)性 4 數(shù)列極限 5 無窮大量 6 收斂準則本章教學要求：掌握數(shù)列極限的概念與定義，掌握并會應用數(shù)列的收斂準則，理解實數(shù)系具有連續(xù)性的分析意義，并掌握實數(shù)系的一系列基本定理。第三章函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù) 7 函數(shù)極限 8 連續(xù)函數(shù) 9 無窮小量與無窮大量的階 10 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)本章教學要求：掌握函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系，無窮小量與無窮大量階的估計，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。第四章微

2、分 11 微分和導數(shù) 12 數(shù)的意義和性質(zhì) 13 數(shù)四則運算和反函數(shù)求導法則 14 復合函數(shù)求導法則及其應用 15 階導數(shù)和高階微分本章教學要求：理解微分，導數(shù)，高階微分與高階導數(shù)的概念，性質(zhì)及相互關系，熟練掌握求導與求微分的方法。第五章微分中值定理及其應用 16 微分中值定理 17 法則 18 值多項式和公式 19 函數(shù)的公式及其應用 20 用舉例 21 數(shù)方程的近似求解本章教學要求：掌握微分中值定理與函數(shù)的公式，并應用于函數(shù)性質(zhì)的研究，熟練運用L法則計算極限，熟練應用微分于求解函數(shù)的極值問題與函數(shù)作圖問題。第六章不定積分 1 不定積分的概念和運算法則 2 換元積分法和分部積分法 3 有理函

3、數(shù)的不定積分及其應用本章教學要求：掌握不定積分的概念與運算法則，熟練應用換元法和分部積分法求解不定積分，掌握求有理函數(shù)與部分無理函數(shù)不定積分的方法。第七章定積分（13） 4 定積分的概念和可積條件 5 定積分的基本性質(zhì) 6 微積分基本定理第七章定積分（46） 7 定積分在幾何中的應用 8 微積分實際應用舉例 9 定積分的數(shù)值計算本章教學要求：理解定積分的概念，牢固掌握微積分基本定理：牛頓萊布尼茲公式，熟練定積分的計算，熟練運用微元法解決幾何，物理與實際應用中的問題，初步掌握定積分的數(shù)值計算。第八章反常積分 10 反常積分的概念和計算 11 常積分的收斂判別法本章教學要求：掌握反常積分的概念，熟

4、練掌握反常積分的收斂判別法與反常積分的計算。第九章數(shù)項級數(shù) 12 數(shù)項級數(shù)的收斂性 13 級限與下極限 14 項級數(shù) 15 任意項級數(shù) 16 窮乘積本章教學要求：掌握數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，理解數(shù)列上級限與下極限的概念，熟練運用各種判別法判別正項級數(shù)，任意項級數(shù)與無窮乘積的斂散性。第十章函數(shù)項級數(shù) 17 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 18 致收斂級數(shù)的判別與性質(zhì) 19 級數(shù) 20 函數(shù)的冪級數(shù)展開 21 多項式逼近連續(xù)函數(shù)本章教學要求：掌握函數(shù)項級數(shù)（函數(shù)序列）一致收斂性概念，一致收斂性的判別法與一致收斂級數(shù)的性質(zhì)，掌握冪級數(shù)的性質(zhì)，會熟練展開函數(shù)為冪級數(shù)，了解函數(shù)的冪級數(shù)展開的重要應用。第十一章空間

5、上的極限和連續(xù) 1 空間上的基本定理 2 多元連續(xù)函數(shù) 3 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本章教學要求：了解空間的拓撲性質(zhì)，掌握多元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對應概念之間的區(qū)別，掌握緊集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第十二章多元函數(shù)的微分學（15） 4 偏導數(shù)與全微分 5 多元復合函數(shù)的求導法則 6 公式 7 隱函數(shù) 8 偏導數(shù)在幾何中的應用第十二章多元函數(shù)的微分學（67） 9 無條件極值 10 件極值問題與乘數(shù)法本章教學要求：掌握多元函數(shù)的偏導數(shù)與微分的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對應概念之間的區(qū)別，熟練掌握多元函數(shù)與隱函數(shù)的求導方法，掌握偏導數(shù)在幾何上的應用，掌握求多元函數(shù)無條件極值與條件極值的方法。第

6、十三章重積分 11 有界閉區(qū)域上的重積分 12 積分的性質(zhì)與計算 13 積分的變量代換 14 反常重積分 15 分形式本章教學要求：理解重積分的概念，掌握重積分與反常重積分的計算方法，會熟練應用變量代換法計算重積分，了解微分形式的引入在重積分變量代換的表示公式上的應用。第十四章曲線積分與曲面積分 16 第一類曲線積分與第一類曲面積分 17 二類曲線積分與第二類曲面積分 18 公式，公式和公式 19 微分形式的外微分 20 論初步本章教學要求：掌握二類曲線積分與二類曲面積分的概念與計算方法，掌握公式，公式和公式的意義與應用，理解外微分的引入在給出公式，公式和公式統(tǒng)一形式上的意義，對場論知識有一個

7、初步的了解。第十五章含參變量積分 21 含參變量的常義積分 22 參變量的反常積分 23 積分本章教學要求：掌握含參變量常義積分的性質(zhì)與計算，掌握含參變量反常積分一致收斂的概念，一致收斂的判別法，一致收斂反常積分的性質(zhì)及其在積分計算中的應用，掌握積分的計算。第十六章級數(shù) 24 函數(shù)的級數(shù)展開 25 級數(shù)的收斂判別法 26 級數(shù)的性質(zhì) 27 變換和積分 28 速變換本章教學要求：掌握周期函數(shù)的級數(shù)展開方法，掌握級數(shù)的收斂判別法與級數(shù)的性質(zhì)，對變換與積分有一個初步的了解。第二部分 29 ）課程名稱：微分幾何 30 ）基本內(nèi)容：三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的理論。主要內(nèi)容有：曲線論，內(nèi)容包括：曲線的切

8、向量與弧長；主法向量與從法向量；曲率與擾率；標架與公式；曲線的局部結(jié)構；曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質(zhì)，如切線的旋轉(zhuǎn)指標定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與公式；空間曲線的一些整體性質(zhì)，如球面的公式，定理與定理。曲面的局部理論，內(nèi)容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面與可展曲面；曲面的第一基本形式與內(nèi)蘊量；曲面的第二基本形式；曲面上的活動標架與基本公式；變換與曲面的漸近線、共扼線；法曲率；主方向、主曲率與曲率線；曲率和平均曲率；曲面的局部結(jié)構；映照與第三基本形式；全臍曲面、極小曲面與常曲率曲面；曲面論的基本定理；測地曲率與測地線；向量的平行移動?；疽螅和?/p>

9、過本課程的學習，學生應掌握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與研究微分幾何的一些常用方法。以便為以后進一步學習、研究現(xiàn)代幾何學打好基礎；另一方面培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際和分析問題解決問題的能力。二、講授綱要第一章三維歐氏空間的曲線論 1 曲線曲線的切向量弧長教學要求：理解曲線的基本概念、會求曲線的切向量與弧長、會用弧長參數(shù)表示曲線。 2 主法向量與從法向量曲率與擾率教學要求：理解曲率與撓率、主法向量與從法向量、密切平面與從切平面等基本概念，會計算曲率與撓率。 3 標架公式教學要求：掌握公式，能運用公式去解決實際問題。 4 曲線在一點鄰近的性質(zhì)教學要求：能表達曲線在一點領域內(nèi)的局部規(guī)范形式，理解擾率

10、符號的集合意義。 5 曲線論基本定理教學要求：掌握曲線論的基本定理，能求已知曲率與擾率的一些簡單的曲線。 6 平面曲線的一些整體性質(zhì)6 1關于閉曲線的一些概念7 2切線的旋轉(zhuǎn)指標定理8 3凸曲線*9 4等周不等式*10 5四頂點定理*11 6公式*教學要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡單曲線、切線像、相對全曲率、旋轉(zhuǎn)指標、凸曲線。掌握平面曲線的一些整體性質(zhì)：簡單閉曲線切線的旋轉(zhuǎn)指標定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與公式。 7 空間曲線的整體性質(zhì)7 1球面的公式*8 2定理*9 3定理*教學要求：理解全曲率的概念。掌握空間曲線的一些整體性質(zhì)：球面的公式，定理與定理。第二章

11、三維歐氏空間中曲面的局部幾何1曲面的表示切向量法向量11曲面的定義12切向量切平面13法向量14曲面的參數(shù)表示15例16單參數(shù)曲面族平面族的包絡面可展曲面教學要求：掌握曲面的三種局部解析表示；會求曲面的切平面與法線；了解旋轉(zhuǎn)曲面與直紋面的表示；掌握可展曲面的特征。 2 曲面的第一、第二基本形式2 1曲面的第一基本形式3 2曲面的正交參數(shù)曲線網(wǎng)4 3等距對應曲面的內(nèi)蘊幾何5 4共形對應6 5曲面的第二基本形式教學要求：掌握曲面的第一基本形式及相關量曲面上曲線的弧長、兩相交曲線的交角與面積的計算，并理解其幾何意義；了解等距對應與共形對應；掌握第二基本形式。 3 曲面上的活動標架曲面的基本公式31省

12、略和式記號的約定32曲面上的活動標架曲面的基本公式33變換W34曲面的共軛方向漸近方向漸近線教學要求：掌握曲面上的活動標架與曲面的基本公式，能求正交參數(shù)曲線網(wǎng)的聯(lián)絡系數(shù)；理解變換與共軛方向、漸近方向，會求一些簡單曲線的漸近曲線。4曲面上的曲率41曲面上曲線的法曲率42主方向主曲率43標線44曲率線45主曲率及曲率線的計算總曲率平均曲率46曲率線網(wǎng)47曲面在一點的鄰近處的形狀48映照及第三基本形式49總曲率、平均曲率滿足某些性質(zhì)的曲面教學要求：理解法曲率、主方向與主曲率、曲率線、總曲率和平均曲率概念與幾何意義，并會對它們進行計算；掌握映照及第三基本形式；能對全臍曲面與總曲率為零的曲面進行分類；掌

13、握極小曲面的幾何意義并會求一些簡單的極小曲面。5曲面的基本方程及曲面論的基本定理5 1曲面的基本方程6 2曲面論的基本定理教學要求：掌握、理解曲面的基本方程與曲面論基本定理。6測地曲率測地線7 1測地曲率向量測地曲率62計算測地曲率的公式63測地線64法坐標系測地極坐標系測地坐標系65應用66測地擾率67公式教學要求：理解與掌握測地曲率和測地線、測地擾率、法坐標系、測地極坐標系與測地坐標系的定義及其幾何意義；能用公式計算測地曲率與測地線；能用測地極坐標系對總曲率為常數(shù)的曲面進行研究；理解（局部）公式。7曲面上的向量的平行移動71向量沿曲面上一條曲線的平行移動絕對微分72絕對微分的性質(zhì)73自平行

14、曲線74向量繞閉曲線一周的平行移動總曲率的又一種表示75沿曲面上曲線的平行移動與歐氏平面中平行移動的關系教學要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動與絕對微分。習題：1. 證明推論2.3.1，2. 設X，Y為空間，是連續(xù)抽象函數(shù),對有界線性算子，證明：在上可積，并且。3. 設到中的算子由給出，在任一元素處是否可導？若答案肯定，求導算子。4. 設是到中的一個映射。證明：在處沿方向的微分等于f（x0）,這里f=（）,在和的情況下計算，又問：在處的導數(shù)是什么？當時求。5. 設由定義，求在（1，2）處沿方向（1，1）的微分。解：寫，知，故所求微分為。6. 設、是賦范線性空間，：由定義，其，B（X,Y），證明在處可微，且求其導算子。解