指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復習有詳細知識點和習題詳解

1、一、指數(shù)的性質(zhì)（一）整數(shù)指數(shù)冪1整數(shù)指數(shù)冪概念： 2整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：（1） （2）（3）其中， 3的次方根的概念一般地，如果一個數(shù)的次方等于，那么這個數(shù)叫做的次方根，即： 若，則叫做的次方根，例如：27的3次方根， 的3次方根，32的5次方根， 的5次方根說明：若是奇數(shù)，則的次方根記作； 若則，若則；若是偶數(shù)，且則的正的次方根記作，的負的次方根，記作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）若是偶數(shù)，且則沒意義，即負數(shù)沒有偶次方根；式子叫根式，叫根指數(shù)，叫被開方數(shù)。 4的次方根的性質(zhì)一般地，若是奇數(shù)，則；若是偶數(shù)，則5例題分析：例1求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）解：略。例

2、2已知， 化簡：解：當是奇數(shù)時，原式 當是偶數(shù)時，原式所以，例3計算：解：例4求值：解：（二）分數(shù)指數(shù)冪1分數(shù)指數(shù)冪：即當根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式；如果冪的運算性質(zhì)（2）對分數(shù)指數(shù)冪也適用，例如：若，則， 即當根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式也可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式。規(guī)定：（1）正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是； （2）正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是2分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于分數(shù)指數(shù)冪也同樣適用即說明：（1）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用； （2）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義。3例題分析：例1 用分數(shù)指數(shù)冪

3、的形式表示下列各式：， ， .解：=；=；=例2計算下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）（1）； （2）；解（1） = =； （2） =例3計算下列各式：（1） （2）解：（1）= =； （2）=（三）綜合應用例1化簡：.解：=. 例2化簡：.解：評述：此題注重了分子、分母指數(shù)間的聯(lián)系，即，由此聯(lián)想到平方差公式的特點，進而使問題得到解決。例3已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），又由得，所以.（2）（法一），（法二）而， 又由得，所以.二、指數(shù)函數(shù)1指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)定義域是2指數(shù)函數(shù)在底數(shù)及這兩種情況下的圖象和性質(zhì)： 圖象性質(zhì)（1）定義域

4、：（2）值域：（3）過點，即時（4）在上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)例1求下列函數(shù)的定義域、值域：（1） （2） （3） （4）解：（1） 原函數(shù)的定義域是， 令 則得，所以，原函數(shù)的值域是（2） 原函數(shù)的定義域是， 令 則，在是增函數(shù) ， 所以，原函數(shù)的值域是（3）原函數(shù)的定義域是，令 則， 在是增函數(shù)， ，所以，原函數(shù)的值域是（4）原函數(shù)的定義域是，由得， ，所以，原函數(shù)的值域是說明：求復合函數(shù)的值域通過換元可轉(zhuǎn)換為求簡單函數(shù)的值域。例2當時，證明函數(shù) 是奇函數(shù)。證明：由得，故函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱。所以，函數(shù) 是奇函數(shù)。例3設(shè)是實數(shù)，（1）試證明：對于任意在為增函數(shù)；（2）試確定的值，使為

5、奇函數(shù)。分析：此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進行證明。還應要求學生注意不同題型的解答方法。（1）證明：設(shè)，則，由于指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以即，又由，得，所以，即因為此結(jié)論與取值無關(guān)，所以對于取任意實數(shù)，在為增函數(shù)。評述：上述證明過程中，在對差式正負判斷時，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性。（2）解：若為奇函數(shù)，則，即變形得：，解得：，所以，當時,為奇函數(shù)。三、對數(shù)的性質(zhì)1對數(shù)定義：一般地，如果（）的次冪等于N, 就是，那么數(shù) b叫做a為底 N的對數(shù)，記作 ，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。即，指數(shù)式底數(shù)冪指數(shù)對數(shù)式對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)說明：1在指數(shù)式中冪N 0，在對數(shù)式中，

6、真數(shù)N 0（負數(shù)與零沒有對數(shù)）2對任意 且, 都有 ，同樣：3如果把中的寫成， 則有 （對數(shù)恒等式）2對數(shù)式與指數(shù)式的互換例如： 例1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：（1）； （2）； （3）； （4）解：（1）； （2）； （3）； （4）3介紹兩種特殊的對數(shù)：常用對數(shù)：以10作底 寫成 自然對數(shù)：以作底為無理數(shù)，= 2.71828， 寫成 例2（1）計算： ，解：設(shè) 則 ， ,；令， ,（2）求 x的值：； 解： ；但必須： ， 舍去，從而（3）求底數(shù)：， 解：； ,4對數(shù)的運算性質(zhì)：如果 a 0 ，a 1，M 0，N 0，那么（1）；（2）；（3）例3計算：（1）lg1421g； （2）； （3

7、）解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=5換底公式： ( a 0 , a 1 ；)證明：設(shè)，則， 兩邊取以為底的對數(shù)得：，從而得：，說明：兩個較為常用的推論：（1）； （2） （、且均不為1）證明：（1）；（2）例4計算：（1）； （2） 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = 例5已知，求（用 a, b 表示）解：，又，例6設(shè)，求證：證明：，例7若，求解：，又，四、對數(shù)函數(shù)1對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù)。2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域、值域：對數(shù)函數(shù)的定義域為，值域為（2）圖象：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應的指數(shù)函數(shù)圖象作關(guān)于的對稱圖形，即可

8、獲得。同樣：也分與兩種情況歸納，以（圖1）與（圖2）為例。11（圖1）11（圖2）（3）對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列表： 圖象性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）過點，即當時，（4）在（0，+）上是增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)例1求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）； （3）分析：此題主要利用對數(shù)函數(shù)的定義域求解。解：（1）由0得，函數(shù)的定義域是；（2）由得，函數(shù)的定義域是；（3）由9-得-3，函數(shù)的定義域是例2比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?（1），； （2），； （3），.解：（1）對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是；（2）對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是；（3）當時，對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是， 當時，對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是例3比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?），； （2），； （3），； （4），解：（1），； （2）， （3）， （4），例4已知，比較，的大小。解：， ，當，時，得， 當，時，得， 當，時，得， 綜上所述，的大小關(guān)系為或或例5求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，則， ，即函數(shù)值域為 （2）令，則， 即函數(shù)值域為 （3）令， 當時， 即值域為， 當時， 即值域為例6判斷函數(shù)的奇偶性。