二次型及其規(guī)范形

1、關(guān)于二次型及其規(guī)范形現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁，共15頁定理定理 任一秩為任一秩為r的二次型的二次型 AXXxxxfTn ),(21均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換 化為化為 CYX 2222211rrybybyb 其中其中 ， ， 。 ribi, 2 , 1 , 0 TnxxxX 21 TnyyyY 21 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁，共15頁 推論推論 任一秩為任一秩為r的對稱矩陣均合同于一個下列形式的對稱矩陣均合同于一個下列形式的對角矩陣的對角矩陣 001rbb其中其中 。 ribi, 2 , 1 , 0 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁，共15頁設(shè)設(shè) 是是 n元二次型，且元二次型，且 秩秩(A)

2、= r： AXXfT 1f 是是復(fù)復(fù)二次型二次型 存在可逆復(fù)線性替換存在可逆復(fù)線性替換 把把 f 化為化為 CYX 2222211rrybybyb 其中其中 。 ribi, 2 , 1 , 0 再令再令 nnrrrrrzyzyzbyzby ,1,111111現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁，共15頁則則 f 被進一步變?yōu)楸贿M一步變?yōu)?22221rzzz 稱上式為稱上式為復(fù)復(fù)二次型的二次型的規(guī)范形規(guī)范形。 定理定理 任意復(fù)二次型均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡鎻?fù)線性任意復(fù)二次型均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡鎻?fù)線性替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。 推論推論 對任意一個秩為對任意一個秩為r的的n階復(fù)對稱矩陣階復(fù)對稱

3、矩陣A，必存，必存在在n階可逆復(fù)矩陣階可逆復(fù)矩陣C ，使得，使得 000rTIACC現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁，共15頁 例例 設(shè)設(shè)A、B均為均為n階復(fù)對稱矩陣，則階復(fù)對稱矩陣，則 A與與B在復(fù)數(shù)域在復(fù)數(shù)域上合同的充分必要條件是上合同的充分必要條件是 )()(BrAr2f 是是實實二次型二次型 存在可逆實線性替換存在可逆實線性替換 把把 f 化為化為 CYX 22112211rrppppybybybyb 其中其中 。 0,1 rbb 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁，共15頁再令再令 nnrrrrrzyzyzbyzby ,1,111111則則 f 被進一步變?yōu)楸贿M一步變?yōu)?21221rppzzzz 稱上式為稱上式為

4、實實二次型的二次型的規(guī)范形規(guī)范形。 定理定理（慣性定理慣性定理） 任意實二次型均可經(jīng)過適當(dāng)?shù)娜我鈱嵍涡途山?jīng)過適當(dāng)?shù)?可逆實線性替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。可逆實線性替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁，共15頁 推論推論 對任意一個秩為對任意一個秩為r的的n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A，一定，一定存在存在n階可逆實矩陣階可逆實矩陣C，使得，使得 0000000prpTIIACC其中其中p由由A唯一確定。唯一確定。 定義定義 在秩為在秩為r的實二次型的實二次型f的規(guī)范形中，系數(shù)是的規(guī)范形中，系數(shù)是1(或或 - -1)的平方項個數(shù)的平方項個數(shù) p(或或 r - -p )稱為稱為 f

5、的的正正(或或負負)慣慣性指數(shù)性指數(shù)，稱，稱 2p - - r為為 f 的的符號差符號差。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁，共15頁 注注 實二次型的任一標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)大于實二次型的任一標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)大于(小于小于)零零的平方項個數(shù)即為正的平方項個數(shù)即為正(負負)慣性指數(shù)。慣性指數(shù)。 例例 已知實對稱矩陣已知實對稱矩陣 1111A與下述三個對角矩陣與下述三個對角矩陣 12 ,13 ,22321 BBB之一合同，試確定之。之一合同，試確定之。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁，共15頁解解 考慮二次型考慮二次型 2 ),(21222121xxxxAXXxxfT 對其作可逆線性替換對其作可逆線性替換 22211yxyyx則

6、則 2221212),(yyxxf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁，共15頁由此得由此得 f 的正、負慣性指數(shù)均為的正、負慣性指數(shù)均為1。 而二次型而二次型 XBXgXBXgXBXgTTT332211 , , 中，只有中，只有 的正、負慣性指數(shù)均為的正、負慣性指數(shù)均為1。所以，。所以，f 只能只能通過非退化線性變換為通過非退化線性變換為 ，即，即 A只能與只能與 合同。合同。 2g2g 2B 例例 設(shè)設(shè) A是是n階實對稱矩陣且階實對稱矩陣且n為奇數(shù)。證明：若為奇數(shù)。證明：若 ，則存在，則存在n維非零列向量維非零列向量 ，使，使0 | A0X000 AXXT現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁，共15頁證明證明 考慮考慮 n元二次型元二次型 AXXxxxfTn ),(21用正交替換用正交替換 把其化為標(biāo)準(zhǔn)型把其化為標(biāo)準(zhǔn)型 QYX 2222211nnyyy 則則 nAQQ 11現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁，共15頁 因因 ， ，且，且 n為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，所以 均不為零且至少有一個大于零。不妨設(shè)均不為零且至少有一個大于零。不妨設(shè) 。 nA 1 | 0 | An ,101 取取 n維列向量維列向量 ，則，則 TY)0 , , 0 , 1(0 01010 YYnT現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁，共1