圖形變換—旋轉綜合題(含答案)-

1、圖形變換旋轉綜合題1. 如圖，在ABC中，C=90o， A=30o ， BC=2， D是 AB中點，等腰直角三角板的直角頂點落在點D 上，使三角板繞點D 旋轉。（ 1 ）如圖1，當三角板兩邊分別交邊AC、 BC于 F、 E 時，線段EF與 AF、 BE有怎樣的關系并加以證明。（ 2）如圖1, 設 AF=x，四邊形CEDF的面積為y. 求 y 關于 x 的函數關系式，寫出自變量x 的取值范圍.（ 3）在旋轉過程中，當三角板一邊DM經過點C時，另一邊DN交 CB延長線于點E, 連結AE與 CD延長線交于H,如圖2，求DH的長。1）線段 EF與 AF、 BE的關系為：EF2=AF2+BE2理由如下：

2、延長 ED至 DG，使DG=D，連接EAG， FG，如圖1，FDGN，FG=EFD是AB中點，AD=BD，ADG=EDB，BEDAGD， AG=BE，GAD= BABC是直角三角形，BAC+ B=90°，BAC+ DAG=90°，AG2 +AF2=FG2EF2=AF2+BE2（2）作FRAB，ESAB，（如圖3）FRA=ESB=90°A=30°，B=60°，SEB=30°，SB= 1 BE， SE= 3 SB2在Rt FCE中，由勾股定理，得，CF2+CE2=EF2， EF2=AF2+BE2，CF2+CE2=AF2+BE2，A=30&

3、#176;，BC=2， AB=4， AC=2 3 ， CF=2 3 -x ， CE=2-BE（2 3 -x ） 2+（ 2-BE） 2=x 2+BE2 BE=4- 3 x，SB=2- 1 3 x，SE=2 32- 14 -2. 如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點旋轉，如圖1 ，使它的斜邊與BC交于點E，一條直角邊與CD交于點F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點.（ 1 ）求證：ABP ACF，且相似比為1 2 ；（ 2）請再在圖1 中（不再添線和加注字母）找出兩對相似比為1 2 的非直角三角形的相似三角形；（直接寫出）（

4、3） ，如圖 2 當 M 點旋轉到BC 的垂直平分線PQ上 時，連結ON,若 ON=8, 求 MQ 的長。3. 如圖，操作：將一把三角尺放在邊長為1 的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P 在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與邊DC或射線DC相交于點Q。 當點 Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論； 當點 Q 在邊CD運動上時，設四邊形PBCQ的面積為S 時，試用含有x 的代數式表示S： 當點 P 在線段 AC上滑動時，PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x 的值；如果不可能

5、，試說明理由。4. 等邊 ABC 邊長為6， P 為 BC 上一點 ,含 30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P 上 ,使三角板繞 P 點旋轉。1 ）如圖1，當P 為 BC 的三等分點,且 PD AB 時 ,判斷EPF 的形狀。2）在（1）問的條件下，FE、 PB 的延長線交于點G, 如圖2，求EGB 的面積。3）在三角板旋轉過程中，若CF=AE=2,（CF BP）， 如圖3，求PE 的長。5. 如圖， O 是邊長為a 的正方形ABCD 的對稱中心，P 為 OD 上一點，OP b （ 0 b a ），連結 AP ，把一個邊長均大于2a 的直角三角板的直角

6、頂點放置于P 點處，讓三角板繞P 點旋轉，旋轉時保持三角板的兩直角邊分別與正方形的BC、 CD 邊（含端點）相交，其交點為E 、 F .（ 1 ）在旋轉過程中，PE 的長能否與AP 的長相等？若能，請作出此時點E 的位置，并給出證明，若不能，請說明理由.（ 2）探究在旋轉過程中，線段EF 與 AP 長的大小關系，并對你得出的結論給予證明.（ 3）探究在旋轉過程中, 四邊形 PECF 的面積 S 是否發(fā)生變化？若不變化，求出定值S；若發(fā)生變化，試求出面積S 的變化范圍（用含a 、 b 的代數式表示）.6. 已知：將一副三角板（Rt ABC 和 Rt DEF ）如圖擺放，點E、 A、 D、 B 在

7、一條直線上，且D是 AB 的中點。將Rt DEF 繞點 D 順時針方向旋轉角 （0°< < 90° ），在旋轉過程中，直線DE、AC 相交于點M，直線 DF、 BC 相交于點N，分別過點M、 N 作直線 AB 的垂線，垂足為G、 H。1 ）當30°時（如圖），求證：AG=DH；2）當60°時（如圖），（1）中的結論是否成立？請寫出你的結論，并說明理由；3）當0°<< 90°時，如圖，若AM=2, 求 DH 的長。7. 把兩個全等的直角三角板ABC 和 EFG 疊放在一起，使三角板EFG 的直角頂點G 與三角板A

8、BC 的斜邊中點O 重合，其中BF 30°，斜邊AB 和 EF 長均為4(1)當 EG AC 于點K， GF BC 于點 H 時(如圖)，求 GH： GK 的值(2) 現將三角板EFG 由圖所示的位置繞O 點沿逆時針方向旋轉，旋轉角 滿足條件：0°<1. 0°(如圖)， EG 交 AC 于點 K ， GF 交 BC 于點H， GH： GK 的值是否改變？證明你發(fā)現的結論；(3)在下，連接HK，在上述旋轉過程中，設GH= x，GKH 的面積為y，求 y 與 x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；( 4)三角板EFG 由圖所示的位置繞O 點逆時針旋轉時，

9、0°< 90°，是否存在某位置使2. BFG 是等腰三角形，若存在，請直接寫出相應的旋轉角 ；若不存在，說明理由圖形變換旋轉綜合題3. 如圖，在ABC中，C=90o， A=30o ， BC=2， D是 AB中點，等腰直角三角板的直角頂點落在點D 上，使三角板繞點D 旋轉。（ 1 ）如圖1，當三角板兩邊分別交邊AC、 BC于 F、 E 時，線段EF與 AF、 BE有怎樣的關系并加以證明。（ 2）如圖1, 設 AF=x，四邊形CEDF的面積為y. 求 y 關于 x 的函數關系式，寫出自變量x 的取值范圍.（ 3）在旋轉過程中，當三角板一邊DM經過點C時，另一邊DN交 CB

10、延長線于點E, 連結AE與 CD延長線交于H,如圖2，求DH的長。4. 如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點與A重合，并將三角尺繞點旋轉，如圖1 ，使它的斜邊與BC交于點E，一條直角邊與CD交于點F（E、F不與B、D重合），AE、AF分別與BD交于P、Q兩點.（ 1 ）求證：ABP ACF，且相似比為1 2 ；（ 2）請再在圖1 中（不再添線和加注字母）找出兩對相似比為1 2 的非直角三角形的相似三角形；（直接寫出）（ 3） ，如圖 2 當 M 點旋轉到BC 的垂直平分線PQ上 時，連結ON,若 ON=8, 求 MQ 的長。5. 如圖，操作：將一把三角尺放在邊長為1 的正方

11、形ABCD上，并使它的直角頂點P 在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與邊DC或射線DC相交于點Q。 當點 Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論； 當點 Q 在邊CD運動上時，設四邊形PBCQ的面積為S 時，試用含有x 的代數式表示S： 當點 P 在線段 AC上滑動時，PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x 的值；如果不可能，試說明理由。4. 等邊 ABC 邊長為6， P 為 BC 上一點 ,含 30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P 上

12、 ,使三角板繞 P 點旋轉。1 ）如圖1，當P 為 BC 的三等分點,且 PD AB 時 ,判斷EPF 的形狀。2）在（1）問的條件下，FE、 PB 的延長線交于點G, 如圖2，求EGB 的面積。3）在三角板旋轉過程中，若CF=AE=2,（CF BP）， 如圖3，求PE 的長。5. 如圖， O 是邊長為a 的正方形ABCD 的對稱中心，P 為 OD 上一點，OP b （ 0 b a ），連結 AP ，把一個邊長均大于2a 的直角三角板的直角頂點放置于P 點處，讓三角板繞P 點旋轉，旋轉時保持三角板的兩直角邊分別與正方形的BC、 CD 邊（含端點）相交，其交點為E 、 F .（ 1 ）在旋轉過程

13、中，PE 的長能否與AP 的長相等？若能，請作出此時點E 的位置，并給出證明，若不能，請說明理由.（ 2）探究在旋轉過程中，線段EF 與 AP 長的大小關系，并對你得出的結論給予證明.（ 3）探究在旋轉過程中, 四邊形 PECF 的面積 S 是否發(fā)生變化？若不變化，求出定值S；若發(fā)生變化，試求出面積S 的變化范圍（用含a 、 b 的代數式表示）.6. 已知：將一副三角板（Rt ABC 和 Rt DEF ）如圖擺放，點E、 A、 D、 B 在一條直線上，且D是 AB 的中點。將Rt DEF 繞點 D 順時針方向旋轉角 （0°< < 90° ），在旋轉過程中，直線D

14、E、AC 相交于點M，直線 DF、 BC 相交于點N，分別過點M、 N 作直線 AB 的垂線，垂足為G、 H。1 ）當30°時（如圖），求證：AG=DH；2）當60°時（如圖），（1）中的結論是否成立？請寫出你的結論，并說明理由；3）當0°<< 90°時，如圖，若AM=2, 求 DH 的長。7. 把兩個全等的直角三角板ABC 和 EFG 疊放在一起，使三角板EFG 的直角頂點G 與三角板ABC 的斜邊中點O 重合，其中BF 30°，斜邊AB 和 EF 長均為4(1)當 EG AC 于點K， GF BC 于點 H 時(如圖)，求 GH： GK 的值(2) 現將三角板EFG 由圖所示的位置繞O 點沿逆時針方向旋轉，旋轉角 滿足條件：0°<<30&