變化率問題參考教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1.1.1 變化率問題一.內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平均變化率的概念及其求法。內(nèi)容解析：本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)（選修2-2）第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的第一節(jié)1.1變化率與導(dǎo)數(shù)中的變化率問題。本節(jié)內(nèi)容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟。平均變化率是個核心概念，它在整個高中數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)。在這個過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概念。二.目標(biāo)和目標(biāo)解析新課標(biāo)對“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”內(nèi)容的處理有了較大的變化，它不介紹極限的形式化定義及相關(guān)

2、知識，也有別于以往教材將導(dǎo)數(shù)僅僅作為一種特殊的極限、一種“規(guī)則”來學(xué)習(xí)的處理方式，而是按照：平均變化率瞬時變化率導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義這樣的順序來安排，用“逼近”的方法定義導(dǎo)數(shù)，這種概念建立的方式形象、直觀、生動又容易理解，突出了導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)。平均變化率是本章的一個重要的基本概念，本節(jié)課是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的起始課，對導(dǎo)數(shù)概念的形成起著奠基作用。目標(biāo)：理解平均變化率的概念及內(nèi)涵，掌握求平均變化率的一般步驟。目標(biāo)解析：1.經(jīng)歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數(shù)平均變化率概念的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識來源于生活，又服務(wù)于生活。2.通過函數(shù)平均變化率幾何意義的教學(xué)，讓學(xué)生體會數(shù)

3、形結(jié)合的思想。3.通過例題的解析，讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)平均變化率的概念。三.教學(xué)問題診斷分析吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這兩個實(shí)例的共同點(diǎn)是背景簡單。從簡單的背景出發(fā)，既可以利用學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)，又可以減少因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾，這是有利的方面。但是如何從具體實(shí)例中抽象出共同的數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵。教學(xué)難點(diǎn)：如何從兩個具體的實(shí)例中歸納總結(jié)出函數(shù)平均變化率的概念。四.教學(xué)支持條件分析為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)備計(jì)算機(jī)、投影儀、多媒體課件等。1.在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實(shí)例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過

4、演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想。2.通過應(yīng)用舉例的教學(xué)，不斷地提供給學(xué)生比較、分析、歸納、綜合的機(jī)會，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。五.教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.問題情景從生活述語和學(xué)生比較熟悉的姚明身高曲線引入課題。設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生了解生活中的變化率問題，為歸納函數(shù)平均變化率提供更多的實(shí)際背景。師生活動：稍加點(diǎn)撥，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中的變化率問題。2.數(shù)學(xué)建構(gòu)問題1：大家可能都有過吹氣球的回憶。在吹氣球的過程中,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越

5、來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?設(shè)計(jì)意圖：通過熟悉的生活體驗(yàn)，提煉出數(shù)學(xué)模型，從而為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。師生活動：由球的體積公式推導(dǎo)半徑關(guān)于體積的函數(shù)解析式，然后通過計(jì)算，用數(shù)據(jù)來回答問題，解釋上述現(xiàn)象。思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?設(shè)計(jì)意圖：把問題1中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊。師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案，并利用幾何畫板進(jìn)行演示分析結(jié)果的分析與歸納。問題2：在高臺跳水運(yùn)動中, 運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單

6、位:s) 存在函數(shù)關(guān)系h(t)=4.9t2+6.5t+10，如果用運(yùn)動員在某段時間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動狀態(tài), 那么:（1）在0t0.5這段時間里,運(yùn)動員的平均速度為多少？（2）在1t2這段時間里, 運(yùn)動員的平均速度為多少？設(shè)計(jì)意圖：高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率運(yùn)動速度，而運(yùn)動速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜而可能引起的對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的干擾。通過計(jì)算為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景。師生活動：教師播放多郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運(yùn)會上跳水比賽錄像，讓學(xué)生在情景中感受速度變化，學(xué)生通過計(jì)算回答問題。對第（2）小題的答案說明其物理意義。探究：計(jì)算運(yùn)動

7、員在0t這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:(1) 運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎?(2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎?設(shè)計(jì)意圖：通過計(jì)算得出平均速度只能粗略地描述運(yùn)動狀態(tài)，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導(dǎo)數(shù)的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生通過計(jì)算回答問題。對答案加以說明其物理意義（突出數(shù)形結(jié)合思想對教材的一個處理）。思考：當(dāng)運(yùn)動員起跳后的時間從t1增加到t2時,運(yùn)動員的平均速度是多少?設(shè)計(jì)意圖：把問題2中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想（體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想）。并為歸納函數(shù)平均

8、變化率概念作鋪墊。師生活動：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問題，教師板書其正確答案。通過引導(dǎo)，使學(xué)生逐步歸納出問題1、2的共性。定義：一般地,函數(shù)y=f(x)中，式子稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率。其中令，則: 。設(shè)計(jì)意圖：歸納概念的過程，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。思考：（1）,的符號是怎樣的？（2）平均變化率有哪些變式？設(shè)計(jì)意圖：加深對概念內(nèi)涵的理解。師生活動：教師播放多媒體，師生共同討論得出結(jié)果。思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?（圖略）設(shè)計(jì)意圖：從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。3.數(shù)學(xué)應(yīng)用例題 (1) 計(jì)算函數(shù)f

9、(x)=2x+1在區(qū)間3,1上的平均變化率；(2) 求函數(shù)f(x)=x2+1的平均變化率。設(shè)計(jì)意圖：概念的簡單應(yīng)用，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。師生活動：教師適當(dāng)點(diǎn)撥，學(xué)生口答。練習(xí)（1）已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則y/x=( )A . 3B . 3x-(x)2C . 3-(x)2D . 3-x （2）求y=x2在x=x0附近的平均變化率.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深對概念的理解，突出求平均變化率的一般步驟。從課堂練習(xí)一到例題，再到課堂練習(xí)二，體現(xiàn)了由易到難，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。師生活動：教師板書，并引導(dǎo)學(xué)生歸納求平均變化率的一般步驟：（1）作差（2）作商最后請一位同學(xué)板演，其余同學(xué)在草稿上練習(xí)。4.總結(jié)提高（1）函數(shù)平均變化率的概念是什么？它是通過什么實(shí)例歸納總結(jié)出來的？（2）求函數(shù)平均變化率的一般步驟是怎樣的？（3）這節(jié)課主要用了哪些數(shù)學(xué)思想？師生活動：最后師生共同歸納總結(jié)：函數(shù)平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實(shí)例、求函數(shù)平均變化率的一般步驟、主要的數(shù)學(xué)思想有：從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合。設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識、思想方法，完善學(xué)生的認(rèn)