雙曲線的幾何性質(zhì)

1、2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)一、填空題1已知橢圓1和雙曲線1有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是_2雙曲線與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為yx，則雙曲線方程為_3關(guān)于雙曲線1與k(k>0且k1)有下列結(jié)論：有相同的頂點(diǎn)；有相同的焦點(diǎn)；有相同的離心率；有相同的漸近線其中正確結(jié)論的序號(hào)是_4設(shè)P是雙曲線1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程是3x2y0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)若PF13，則PF2的值為_5雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為_6過點(diǎn)P

2、(1，)的直線l與雙曲線1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)恰是雙曲線的左頂點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)半軸長等于_7以雙曲線1的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是_8F1、F2是雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線左支上的點(diǎn)，已知PF1、PF2、F1F2依次成等差數(shù)列，且公差大于0，則F1PF2_.9.如圖，F(xiàn)1和F2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以O(shè)F1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_二、解答題10已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，且過點(diǎn)(4，)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線x3與雙曲線交

3、于M、N兩點(diǎn)，求證：F1MF2M.11已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF14PF2，試求該雙曲線離心率的取值范圍12已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍答案1解析：由雙曲線方程，判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0) 所以m28n2.又因?yàn)殡p曲線漸近線方程為y±·x，把m28n2，即|m|2|

4、n|代入，得y±x.答案：y±x2答案：y2x2243解析：雙曲線1與k(k>0且k1)顯然有共同的漸近線±0.雙曲線1的實(shí)半軸長a4，虛半軸長b3，所以半焦距c5，雙曲線k可化為1，故實(shí)半軸長a44，虛半軸長b33，所以半焦距c55.故兩個(gè)雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)都不相同，、都錯(cuò)而前者的離心率e，后者的離心率ee，所以離心率相同，所以正確答案：4解析：雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，.b3，a2.又|PF1PF2|2a4，|3PF2|4.PF27或PF21(舍去)答案：75解析：如圖，由題知MF1F230°，MF2x軸，MF12MF2.MF1MF2

5、2a，MF22a，又F1F22c.cot30°，e.答案：6解析：依題意知，過點(diǎn)P的直線l與雙曲線相切或與雙曲線的漸近線yx平行，所以a1或，解得a1或a2.即實(shí)半軸長等于1或2.答案：1或27解析：由雙曲線方程1，知其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,0)，漸近線方程為4x±3y0，所以所求圓的半徑為4，故所求圓的方程為(x5)2y242.答案：(x5)2y2168解析：由雙曲線定義可知PF2PF14，又2PF2PF1F1F2PF114，PF210，PF16.在PF1F2中，由余弦定理可得cosF1PF2，F(xiàn)1PF2120°.答案：120°9解析：連結(jié)OA(圖略)，

6、F2AB是等邊三角形，由雙曲線及圓的對稱性可知AOF160°，又OAOF1，A點(diǎn)坐標(biāo)為(，c)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，得1，又b2c2a2，由可得e1.答案：110解：(1)由雙曲線的離心率為，2，ab，即雙曲線為等軸雙曲線可設(shè)其方程為x2y2(0)由于雙曲線過點(diǎn)(4，)，42()2，6.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：由(1)可得F1、F2的坐標(biāo)分別為(2，0)、(2，0)，M、N的坐標(biāo)分別為(3，)、(3，)，kF1M，kF2M .故kF1M·kF2M·1，F(xiàn)1MF2M.11解：PF14PF2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，設(shè)PF2m，則PF14m，由雙曲線的定義，得PF1PF24mm2a，ma.又PF1PF2F1F2，即4mm2c，mc，即ac，e .又e>1，雙曲線離心率的取值范圍為1<e.12解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)由已知得a，c2.又a2b2c2，b21.雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由題意得整理得(13k2)x26kmx3m230.直線與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，解得m2>3k21.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點(diǎn)為B(x0，y0)，則x1x2，x0，y0kx0m.由題意知