共邊定理典型題解析

1、APB面積：AQB面積=PM： QM共邊定理圖：四種位置關系11如圖， ABC中，D、E分別是AB AC邊上的中點，用面積方法證明：DE/ BC且DE= BC.2證明： D E分別是AB AC邊上的中點， ADE： BDE= ADE： CDE= 1 : 1 BDE= CDE DE/ BC / DBC=Z ADE 由共角定理得： ADE/A ABC= ADDE/AB BC= 1/411/ A» AB DE= BC.22這里，證明平行用到了平行的基本命題，證明線段的比值用到了共角定理.同時要作輔助線構成全等、相傳統(tǒng)證法中，要用到全等三角形、平行四邊形或相似三角形,似、或平行四邊形.例2：

2、 （1983年美國中學數(shù)學競賽題）如圖的三角形ABC勺面積為10,D E、F分別在邊BC CA A吐，且BD- 2, DC= 3,若厶BCE與四邊形DCEF 的面積相等，則這個面積是（）A.4C.5D.6D 5.10B.解：由厶BC與四邊形DCEF勺面積相等，在四邊形BCE中分別減去這兩個 面積，得 BFD與 BFE同底且面積相等，所以 BF/ DE,可以得到AB為邊 的兩個三角形 ABD與 ABE面積相等，因為三角形 ABC勺面積為10,且 BD- 2, DC= 3,所以 ABD勺面積等于4，即 ABET積等于4，所以 BCE 的面積等于10 4= 6，故選C.這是一道由面積相等推知兩線平行

3、的典型題目.例3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證明：/ OA= OC OB= OD 由共角定理得： AOBM CO= OAOB= OCOD=1E.不確定即厶AOB= COD 共底的兩個三角形 ACB= CBD - AD/ BC;同理可證AB/ CD問：共邊定理怎么證線段相等?答：常常是共邊與共角兩個定理都會用到。利用面積相等，并且面積比中有相等的線段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4:（等腰三角形兩腰上的高相等 ）已知：如圖，AB= AC, CEL AB于E, BD丄AC于D,求證：BD= CE11解：由三角形面積定理得：Ssbc= ABCE - ACBD22/ AB= AC,

4、BD= CE ;例5：如圖，已知AD平分/ BAC BDL ADDE/ AC, DE 交 AB于 F 點本題是直接用等底三角形面積相等推出高相等，相比于全等三角形證法要簡潔得多。求證：BE= EC.證明：連接C、F,由平行線性質，得 DFC=DFA由 AD平分 / BAC DF/ AC,可得 / FAD= / FDA - AF= FD由 BDL AD 得/ FBD= Z FDB BF= DF; AF= BF DFB= DFA DFC= DFB - BE： EC= DFC： DFB= 1 : 1,即卩 BE= EC.本題是用共邊三角形面積相等推出線段相等。例 6：如圖， ABC中，AB= AC,

5、 BD= CE 求證：DF= EF.證明：連接CD BE, v AB= AC Z DBC與 Z BCE互補，由共角三角形定理: DBC BCE= BDBC： CEBC/ AB= AC, BD= CE,得厶 DBC= BCE 再由共邊定理得： DBC： BCB DF： FE= 1 : 1 DF= EF.本題先用共角三角形定理證得 DBC與 BCE面積相等，再由共邊定 理推出線段相等。相比于先作平行線構造全等三角形，再由全等三角形證 線段相等的證法，面積法顯然更巧妙。1例7：在等腰直角三角形 ABC的斜邊BC上取一點D，使DC 1 BC ,3作BE AD交AC于E，求證：AE EC .1證明：連結

6、CF,由DC -BC，得圖中兩個陰影三角形的面積之比為1 : 2,即： AFC：3 AFB= 1 : 2，又由BE AD，等腰直角三角形 ABC的條件，得Z 1 + Z 2=Z 3+ Z 2= 90° / 1 = Z 3,由共角定理得: AFB= 1 : 2 AF : BF= 1 : 2,由厶AFB與AEB相似，得 AE： AB= 1 : 2, / AB= AC / AE= EC本題先用CD： DB= 1 : 2得到兩個陰影三角形的面積之比為1 : 2,再由共角三角形定理證得AF: BF= 1 : 2,過程相當簡潔明了。問：共邊定理怎么證比例線段?答：共邊定理最適合用來求同一直線上的

7、兩條線段的比值，或反過來，已知同一直線上的 兩條線段的比值求共邊三角形的面積比。由于共邊定理有四種位置圖形卻對應同一個比值, 所以怎樣選取最合適的兩個三角形就成為正確解題的關鍵。也因為圖形選擇的差異，造成 了不止一種解法。只有通過一定的練習量，才能做到迅速正確地選擇適當?shù)墓策吶切?。?:已知在 ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點,1求證：AF= AC.BE的連線交AC于F.解答：構造以BF為公共邊的兩個三角形厶ABF和厶DBF，則由兩個中點的條件，得三個三角形厶ABF和厶DBF、 DCF面積都相等，由圖易得AFFCABf = 1，所以 AF= - AC.CBF 23DCED4AFBEF

8、C，EF解答:構造以BE為公共邊的兩個三角形AFA ABE禾仃 CBE則一ABEFCCBEBDAE 1例2： ABC中, D是BC上的一點， =2，E為AD上一點， 一=-，求由圖易得BAFFC3構造以AD為公共邊的兩個三角形 BADD FAD,貝U= BAD .由EF FADAF 1bd=,設厶 FAD= 1,則厶 FDG= 6,ADG= 7;由=2，得 BADFC 6DC一 BE BAD 14=14,=.EF FAD 1例3：（三角形角平分線性質定理）如圖，AD平分/ BAC求證：證明：AD平分/ BAC由共角三角形定理: ADB： ADC= ABAD： ACAD= AB： AC 又 AD

9、B： ADG= BD： CDAB： AG= BD： DC.問：全等和相似方法在新概念幾何中應當保留嗎？在新概念幾何中，可以由面積法先推導出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判 定定理和相似三角形判定定理，實際上，新教材中可以完全不用全等和相似方法但作為 歐式幾何的寶貴遺產，在許多問題中它們有明顯的優(yōu)勢，為了讓兩種教材更好地兼容，各 取所長，減少新幾何推廣的阻力，張景中也是主張保留全等和相似方法的.例如下面這道題目，三種解法就各有利弊.1在厶ABC內任取一點P,連接PA PB PC分別交對邊于 X、Y、Z點.PX丄PY丄求證：+AX YB證明：這是一道用共邊定理證明的典型好題，在傳統(tǒng)證法難以入

10、手的題中, 一個極其簡單的直接應用， 只要用P點與各邊分成的每一個小三角形與 大三角形相比再相加，立即得到結論!空 + PY + PZ =上匹 +Q + 衛(wèi)B ! AX YB ZC ABC ABC ABCC求證：AXBZ .CY=1XBZCYA證明：AXBZCYMXZXBZCYAABXZABXZ©XZCXZAAXZ例（梅涅勞斯定理）：在 ABC勺兩邊取X、Y,直線XY與 BC的延長線交于Z點.2著名數(shù)學大師華羅庚在 1978年全國中學生數(shù)學競賽題解前言中，給出了這樣的一道幾何題：如圖，凸四邊形 ABCD的兩邊DA CB延長后交于K,另外兩邊AB DC延長后交于L,對角線DB AC延長

11、后分別與KL交于F、G.FLKF KGFL GLKF dbk證明：2L = DBK （以BD為公共邊的兩個三角形的面積比 ）FL DBL= DBK x kbl（乘以同一個三角形 KBL,化為兩組面積的比）KBL DBL=DC x#A （化為兩組線段的比）CL ADdac kac=x C （化為有同一個三角形 DAC的兩組面積的比）LAC DAC=（消去公共三角形，化為線段的比 ）LAC GL這道題的的難點在于沒有全等，沒有相似，也沒有給定的比值，按照傳統(tǒng)方法步.驟相當多，也不易理解，所以 20多年沒有人給出簡單巧妙的解在熟悉了共邊定理以后，這一類題真的變簡單了 問：怎樣用面積法證面積題?答：已

12、知比例求面積的題目，傳統(tǒng)證法往往不易找到思路，所以成了難題，往往在中小學 數(shù)學競賽中出現(xiàn)其實，這類題使用共邊定理是最好的方法.D4:如圖，四邊形 ABCD中, AOD面積=2, DOC面積=3 COB面積=6,求厶AOB面積.解法1：/ AOD面積： DOC面積=2 : 3 = AO： OO AOB面積： COB面積,/ COB面積=6 AOB面積=4解法2：/ AOD面積： DOC面積=AO： OC=AOB面積 ： COB面積， AOB面積心 DOC面積= COB面積 X AOD面積這里得到一個新的定理：四邊形對角線分成的四個三角形中，相對的兩個三角形面積的乘積與另一組相對的兩個三角形面積的

13、乘積相等.用上這個定理，就可以跳過共邊定理直接用最后一步解題了. AOB面 積=20 完=4.5 （17屆希望杯全國賽初二第二試19題）：AE： EC= S aed : S cEd = 1 ： 46 ABC中，D點在BC邊上，且BDDC-,P點在BC邊上的高AD上,3AP 1PD 2BP 的延長線交 AC于 E,若 S ABC = 18,則 S ABE =, S DECAE： EC=ED解:Sdec = 1 : 2 : 3則 S ABE =3, S dec =6S ABE : S DBEAE： EC=_1 : 5_.7如圖： ABC中，E為中點，AD： DC= 2 ： 1, EBF面積是15，

14、求 ABC的面積.解：連結CF, T E為中點且 EBF面積是15;ECF 面積= EBF 面積=15;/ AD : DC= 2 : 1 . AFB面積： FCB面積=2 : 1. AFB面積=60 , E為中點 ACF面積= AFB面積=60 ABC 的面積=15+15+60+60= 150.E& 如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中, AE： EB = 1 : 2.(1 )求厶AEF與厶CDF的周長比；(2)如果SaBCD= 6平方厘米，求 Sa ADE解答： AE： EB 1 : 2 AE： AB AE : CD- 1 : 3,由 AEFA CDF 可得它們的周長11比為 1 :

15、 3 ; Saade=Saabd=Saabcd / Sabcd= 6 平方厘米 Saade= 1 平方厘米；36例11:如圖所示，BD, CF將長方形ABCD分成 4塊， DEF的面積是4cm2， CED的面積是 6cmf.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米？解：連結BF,則厶BDF面積= CDF面積=10, BEF面積=6;設面積為X,則有: 4x= 6X6, x= 9; BDC面積=15,長方形 ABCD面積=30 四邊形ABEF的面積是 15- 4= 11平方厘米DC9如圖，F(xiàn)B AD EC互相平行， ABC的面積為1,求厶FDE的面積。解：由 AD/ EC,得厶 ADC= ADE

16、 同理 ABD- AFD,得厶ADE AFD= ABC= 1C又由 FB/。，得厶 ECB=A ECF, :. ABOF ACE= AEF+ ACE即厶 ABC= AEF= 1 FDE= AEF+ AD冉 AFD= 210如圖，已知三角形 ABC面積為1,延長AB至D,使BD= AB,延長BC 至E，使CE= 2BC,延長CA至F，使AF= 3AC,求三角形 DEF的面積。解：連結 BD EC,由已知條件可得， DAB= 1 , DBE= 2, CBE= 2, FCE= 6, FCD= 6, DEF= 1+ 1 + 2 + 2+ 6 + 6= 18這題也是面積法最基本的題型 11在 ABC的三

17、邊BC CA AB上分別取點 D E、F,使BD= 3DC, CE= 3AE, AF= 3FB,連AD BE、CF相交得三角形 PQR已知三角形 ABC的面 積為13cm2，求三角形PQR的面積.FBAC圖1E解：由圖 1 得： PQ= ABC- ( ABP BCQF CAR);觀察圖 2，連結 PC,由 CE= 3AE，得 APE： CPE= 1 : 3，又由 BD= 3DC # APB： APC =3 : 1設厶 APE= 1,則厶CPE= 3, APB= 12 , ABE= 13;由 CE= 3AE，得 ABE： ABC= 1:4,ABC= 52，得 APB： ABC= 12 : 52;同