18-19階段復(fù)習(xí)課第3章三角恒等變換

1、2. 第三課三角恒等變換核心速填（教師用書(shū)獨(dú)具）cos(od=coso(cosg?sincsin&S(Asin(od=sin_ocos_世cos_osin_HT(*),-tanodtan3tan(oct=;1?tanotang二倍角公式S2a：sin2a=2sinocosoiC2a：cos2a=cosasin(3) 1sin2a=(sinodcosc),o=2cosa1=12sin2ocT2a：tan2a=2tana-公.1 tana半角公式(1)Si3+1-cosaa(2)C2：aT2：cos廣1+cosa1 cosa1cosasintan匚=.(1) -1+cosasina1+co

2、sa有關(guān)公式的逆用及變形(1)tanodtan片tan(a±f)(1?tanotan1+cos2a21cos2acosa=2，sina=2.sinaicos輔助角公式f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+6.體系構(gòu)建題型探究給值求值問(wèn)題給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在丁“變角”.使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：將待求式用已知三角函數(shù)表示.將已知條件轉(zhuǎn)化而推出可用的結(jié)論.其中“湊角法”是解決此類問(wèn)題的常用技巧.解題時(shí)首先是分析已知式與待求式之間角、函數(shù)、結(jié)構(gòu)問(wèn)的差異，有目的的將已知式、待求式的一方或兩方加以變換，找出它們之間的

3、聯(lián)系，最后求出待求式的值.例已矢口<a<兀，tana+r=10.4'tana3(1)求tana的值；25sin求a,ca也、2a-2+8sin2cos2+llcos;82/、的值.2slna-2【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402144思路探究(1)結(jié)合a的取值范圍，求解tana的值；(2)利用降籍公式和誘導(dǎo)公式先統(tǒng)一角，通過(guò)三角變換轉(zhuǎn)化成關(guān)丁tana的式子代入求值即可.解(1)由tana+-10,得3tan2a+10tana+3=0,即tana=3或tan也tana322cosa4slna+3cosa4tana+3=二-=.2cosa跟蹤訓(xùn)練1.已知sin?aj=13，cos?&

4、j=5，且0<a<4<片W，求cos(a+利勺值.13.3Ttr、.乂<0<兀，所以tana=3'5X頊筍+4sina+11X言-82cosa原式=5V2655cosa+8sin11+11cosa16【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79402145理兀3冗解OVaV4<不.3兀3兀.兀兀-一一下丁+a<務(wù)一S項(xiàng)片0.44'24"cos務(wù)疽=412存sin，.3.,.Ecos(a+食=sin質(zhì)+(a+時(shí)=sin"+三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是三角變換應(yīng)用的一個(gè)重要方面，其基本思想方法是統(tǒng)角、統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱.在具體實(shí)施過(guò)程中，

5、應(yīng)著重抓住“角”的統(tǒng)一.通過(guò)觀察角、函數(shù)名、項(xiàng)的次數(shù)等，找到突破口，利用切化弦、升籍、降籍、逆用公式等手段將其化簡(jiǎn).三角函數(shù)式的證明實(shí)質(zhì)上也是化簡(jiǎn)，是有方向目標(biāo)的化簡(jiǎn)；根本原則：由繁到簡(jiǎn),消除兩端差異，達(dá)到證明目的.卜例證明:1+sin20cos20;=773=tanQ1+sin20+cos20思路探究可從左邊向右邊證明，先把角由20向0轉(zhuǎn)化，再實(shí)現(xiàn)函數(shù)名稱向tan0轉(zhuǎn)化.sin20+1cos20解左邊=sin20+1+cos202.2sin(cos0+2sin0sin0cos0+sin0=c-2尸cC.C2sin0cos辭2cos0cos0cos0+sin0=tanM右邊.跟蹤訓(xùn)練工、十3x

6、x2sinx2.求證：tan萬(wàn)-tan2=cosx+cos22sinx證明cosx+cos2x3xx2sin萬(wàn)一23xx3xxcos-2!+cos+2)3xx3xx3xx2 sin萬(wàn)cos2-cosysinJsinsin23xx3xx'=-"x=tan號(hào)-tan2-2coscos2cos2cos2三角包等變形的綜合應(yīng)用與三角包等變形有關(guān)的綜合問(wèn)題一般有以下兩種類型：(1) 以三角包等變形為主要的化簡(jiǎn)手段，考查三角函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜，我們要先通過(guò)三角包等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡(jiǎn)，將函數(shù)表達(dá)式變形為y=Asin(3x+4)+k或y=Acos(sx+

7、4)+k等形式，然后再根據(jù)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì).(2) 以向量運(yùn)算為載體，考查三角包等變形.這類問(wèn)題往往利用向量的知識(shí)和公式，通過(guò)向量的運(yùn)算，將向量條件轉(zhuǎn)化為三角條件，然后通過(guò)三角變換解決問(wèn)題；有時(shí)還從三角與向量的關(guān)聯(lián)點(diǎn)處設(shè)置問(wèn)題，把三角函數(shù)中的角與向量的火角統(tǒng)一為一類問(wèn)題考查.卜例劇已知向量a=(1,3),b=(sinx,cosx),f(x)=ab.2cos2sin01若f(©=0,求一y的值；2sinH4當(dāng)x0,司時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.2cos22sin01思路探究可先由f(©=0求tan0,再化簡(jiǎn)/一后，由tan0值2sin9+4代入求值；(2)先化

8、簡(jiǎn)成f(x)=Asin(sx+4)的形式，再據(jù)x范圍求3x+4范圍，進(jìn)而求得f(x)的值域.解(I)：a=(1,一焰,b=(sinx,cosx),.f(x)=ab=sinxJScosx,f(3=0,即sin0Wcos0=0,.tanM<3,2J.八2cos2sin01瘀in.4)cos卜sin0=1sin0+cos01tan0tan辭11-33+1=-2+扼(2)f(x)=sinxV3cosx=2sin兀兀.xC0,小x363,當(dāng)x-3=一：，即x=0時(shí)，取最小值一寸3,當(dāng)x3=2，即x=胃時(shí)，取最大值2,2O.當(dāng)x0,司時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)橐淮?,2.跟蹤訓(xùn)練3.已知向量m=(si

9、nA,cosA),n=(寸3,1)，且mn=1,且A為銳角.(1) 求角A的大??；求函數(shù)f(x)=cos2x+4cosAsinx(xR)的值域.解(1)由題意得mn=V3sinAcosA=1,一匕項(xiàng).人為12sinA-6戶1,sin。一6戶2-.兀兀It由A為銳角得A6=6，A=3.,1由知cosA=2，所以f(x)=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinxc1213=2?inx-2!+2因?yàn)閤£R,所以sinx-1,1,因此,1.一一3少sinx=2時(shí)，f(x)有取大值2，當(dāng)sinx=1時(shí)，f(x)有最小值一3,所以所求函數(shù)f(x)的值域?yàn)椴?,31轉(zhuǎn)化與化歸的思想三角式

10、的包等變換是解三角函數(shù)問(wèn)題的方法基礎(chǔ)，所謂三角式的包等變換，就是運(yùn)用有關(guān)概念和公式把給定的三角式化為另一等價(jià)形式.轉(zhuǎn)化與化歸的思想是三角包等變換應(yīng)用最廣泛的，也是最基本的數(shù)學(xué)思想，它貫穿丁三角包等變換的始終，要認(rèn)真體會(huì)理解，在解題過(guò)程中學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用.已知sin(a2=5,cos履一3=-13，且a2'26分別為第二、第象限角，求tan號(hào)昂勺值.思路探究先根據(jù)a-$aa+B26的范圍求得其正、余弦再求正切值，最后由F解sin也一衛(wèi)_4目2廠5'且a-2為第二象限角,a2戶一ia上乂cos也一6尸-21sin32廠5.12石，且S6為第三象限角,132.4.色1_5_.tan、a2)3,tan以一6廣12,a+tan"=tan45-3124_=1-3x衫跟蹤訓(xùn)練4.已知sinaCOSa=口色虹2rG6316.二弟.fc項(xiàng)*3aCB4卜Sin、64尸5,求Sina和COSa的值;求COS"a一阡勺值.【導(dǎo)學(xué)號(hào):79402146】解(1)由題意得(SinaCOSo)=