18-19第2章§7向量應(yīng)用舉例

1、向量應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解直線法向量的概念，掌握點到直線的距離.(重點)2.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題及一些實際問題.(難點)3進(jìn)一步體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具.自主預(yù)習(xí)探新知向量應(yīng)用舉例點到直線的距離公式若M(xo,yo)是平面上一定點，它到直線I:Ax+By+C=0的距離為：d=IAxo+Byo+C|a2+b2.(2) 直線的法向量 定義：稱與直線的方向向量垂直的向量為該直線的法向量.公式：設(shè)直線I:Ax+By+C=0,取其方向向量v=(B,A),則直線I的法向量n=(A,B).(3) 向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用主要有兩方面：一是在幾何中的應(yīng)用；二是在

2、物理中的應(yīng)用.思考：向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？提示：物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積.基礎(chǔ)自測1. 判斷(正確的打“V”，錯誤的打“x”)("ABC是直角三角形，貝UABBC=0.()(2) 若aB/CD,則直線AB與CD平行.()(3) 向量AB,Cd的夾角與直線AB,CD的夾角相等或互補.()直線y=kx+b的一個法向量是(k,1).()答案x(2)x(3)VV2. 直線2x-y+1=0的一個法向量是()A.(2,1)B.(-1,-2)C.(1,2)D.(2,-1)D3. 若向量0F1=(1,1),0F2=(3,-2)分別表示

3、兩個力F1,F2,貝U|F1+F2|為()A.(5,0)B.(5,0)C.5D.-5C4.點Po(1,2)到直線1:2x+y-10=0的距離為.答案2.55.已知F=(2,3)作用一物體，使物體從A(2,0)移動到B(4,0),則力F對物體作的功為.答案4合作探究攻重難陜豐此一_平面幾何中的垂直問題如圖2-7-1所示，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，求證：AF丄DE.【導(dǎo)學(xué)號：64012140】圖2-7-1證明法一：設(shè)AD=a,AB=b,則|a|=|b|,ab=0.b又DE=DA+AE=-a+Q,aAF=AB+BF=b+夕所以AFDe=p+2)(-a+b)123b1.212_

4、一一2a一4ab+2一-2|a|+2|b|一0.故AF丄DE，即AF丄DE.法二：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2,則A(0,0),D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，則AF=(2,1),DE二(1,-2).因為AFDl=(2,1)(，2)=2-2=0.所以AF丄DE，即AF丄DE.規(guī)律方法利用向量解決垂直問題的方法和途徑，方法：對于線段的垂直問題，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件，即向量的數(shù)量積為0.途徑：可以考慮向量關(guān)系式的形式，也可以考慮坐標(biāo)的形式.跟蹤訓(xùn)練1求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值.x軸、y解如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸建立直角

5、坐標(biāo)系.設(shè)A(2a,0)，B(0,2a)，貝UD(a,0)，C(0，a)，從而可求:AC=(2a，a)，BD=(a，2a)，不妨設(shè)AC、BD的夾角為0,則cos=ACBD(2a，a)(a，2a)|AC|Bd|5a5a5a245.4故所求鈍角的余弦值為一5.J向量在物理中的應(yīng)用碼上掃一掃*w非1一輛汽車在平直公路上向西行駛，車上裝著風(fēng)速計和風(fēng)向標(biāo)，測得風(fēng)向為東偏南30°風(fēng)速為4米/秒，這時氣象臺報告實際風(fēng)速為2米/秒.試求風(fēng)的實際方向和汽車的速度大小.思路探究這是一個需要用向量知識解決的物理問題，因此，要用物理概念建立解題意向，使用向量形象描述，進(jìn)而分析題意，創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，再利用解直角

6、三角形的技巧把問題解決.解依據(jù)物理知識，有三對相對速度，汽車對地的速度為V車地、風(fēng)對車的速度為V風(fēng)車、風(fēng)對地的速度為V風(fēng)地.風(fēng)對地的速度可以看成車對地與風(fēng)對車的速度的合速度，即V風(fēng)地=V風(fēng)車+V車地.如右圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，表示向量V風(fēng)地的有向線段AD是平行四邊形ABDC的對角線.30°|AD匸2米/秒,在RtAADC中，DC匸|AC|cos30=2,3(米/秒)，即風(fēng)的實際方向是吹向正南方向，汽車速度的大小為23米/秒.規(guī)律方法1. 用向量解決物理問題首先要建立數(shù)學(xué)模型，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,其次要注意物理中的矢量與數(shù)學(xué)中向量的區(qū)別與聯(lián)系.2. 速度、加速度、

7、位移、力的合成和分解，實質(zhì)上就是向量的加減法運算，求解時常用向量求和的平行四邊形法則和三角形法則.3. 在數(shù)學(xué)中，向量數(shù)量積的運算是由物理中力對物體所做的功抽象出來的，這也是向量在物理中的主要應(yīng)用之一.跟蹤訓(xùn)練2.某人在靜水中游泳，速度為4,3km/h.(1)如果他徑直游向河對岸，水的流速為4km/h，他實際沿什么方向前進(jìn)？速度大小為多少?(2)他必須朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)(求出其與河岸夾角的余弦值即可)？他實際前進(jìn)的速度大小為多少？【導(dǎo)學(xué)號：64012141】解(1)如圖，設(shè)人游泳的速度為OB,水流的速度為OA,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OACB，貝吐匕人的實際速度為OA

8、+OB=oC,根據(jù)勾股定理，|0C|=8,且在RtAACO中，/COA=60°故此人實際沿與水速夾角60°勺方向前進(jìn)，速度大小為8km/h.(2)如圖，設(shè)此人的實際速度為OB,水流速度為OA.實際速度二游速+水速，故游速為OB-OA=Al,在RtAAOB中，AB匸4,3,|OA|=4,|OB|=4,2.cos/BAO=3,故此人的前進(jìn)方向與河岸夾角的余弦值為，且逆著水流方向，實際前進(jìn)速度的大小為4、2km/h._向量在解析幾何中的應(yīng)用探究問題1.教材中在證明點到直線的距離公式時，為什么有d=|PMno|?提示：如圖所示，過M作MN丄I于N,則d=|NM|.在RtMPN中，|

9、NlM|是PM在NM方向上的射影的絕對值，貝U|NM|=|PMTTT|cos/PMN匸|PM|X1xcos/PMN|=|PM|X|n°|x|cos/PMN|=|PMno|.d=|PMn°|.2你認(rèn)為利用向量方法解決幾何問題的關(guān)鍵是什么?提示：關(guān)鍵是把點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的運算.例已知圓C:(x3)2(32x3)2+(32y3)2=4,即x2+y2=1.點N的軌跡方程為x2+y2=1.母題探究將例3的條件變?yōu)椤耙阎本€I過點A(1,1),且它的一個法向量為n=(2,1).”試求直線I的方程.解直線I的一個法向量為n=(2,1),直線I的一個方向向量為v(1,

10、2).直線I的斜率為2.+(y3)2=4,及點A(1,1),M是。C上的任意一點，點N在線段MA的延長線上，且MA=2AN,求點N的軌跡方程.思路探究要求點N的軌跡方程，需設(shè)出點N的坐標(biāo)，然后利用已知條件,轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，再利用代入法求解.解設(shè)N(x，y)，M(xo,yo)，由IMA=2aN,得(1xo,1yo)=2(x1,y1),1一xo=2(x1,咒1yo=2(y1)xo=32x,即代入。C方程，得yo=32y,直線I的點斜式方程為y1=2(x1).整理得2xy1=0.故直線I的一般方程為2xy1=0.規(guī)律方法向量在解析幾何中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問題的工

11、具使用，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點之一解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標(biāo)表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基1.已知ABC,AB=a,AC=b,且ab<0,則厶ABC的形狀為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不能確定A2.已知直線1:5xy7=0,向量p=(k+1,2k3),且p/v，貝Uk的值為(向量v為I的方向向量)(1638_3DI的萬向向量v=(1,5),由v與p平行得：5(k+1)=2k3解得k=3已知A(1,2),B(2,1)，以AB為直徑的圓的方程是.解析設(shè)P(x,y)為圓上任一點，則AP=(x1,y2),BP二(x+2,y1),由aPBP=(x1)(x+2)+(y2)(y1)=0,化簡得x2+y2+x3y=0.答案x2+y2+x3y=04在四邊形ABCD中，已知AB=(4,2),AC=(7,4),AD二(3,6)，則四邊形ABCD的面積是.解析BC=ACAl=(3,6)=AD,AbbC=(4,2)(