單調(diào)性和奇偶性測(cè)驗(yàn)(簡(jiǎn)單)

1、5 / 7函數(shù)的的單調(diào)性及奇偶性單元練習(xí)一、選擇題1 .若y = f(x)為偶函數(shù)，則下列點(diǎn)的坐標(biāo)在函數(shù)圖像上的是()A. ( -a, f (a) B. (a, f (a) C. ( -a, f (a) D. (a,f (-a)2 .下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是A. y = x B. y=3 - x12,C. y = _ y = _X 4 X3.下列判斷中正確的是()A. f(X) =(JX)2是偶函數(shù)Bo f(x)=(JX)2是奇函數(shù)C. f(x)=x21在卜5, 3上是偶函數(shù)D。f (x) = J3 x2是偶函數(shù)23.24.右函數(shù) f(x) = ax +bx+c(a#0)是偶

2、函數(shù)，則 g(x)=ax +bx +cx是 ()A.奇函數(shù) Bo偶函數(shù) Co非奇非偶函數(shù)D。既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)26.已知函數(shù)y = f (x)為奇函數(shù)，且當(dāng)乂0時(shí)£(*)=* 一2x+3 ,則當(dāng)x< 0時(shí)，f(x)的解讀式為()- 2_2_A. f(x) - -x 2x -3B. f(x)-x -2x -3- 2_2_C. f(x) =x -2x 3D. f(x) - -x -2x 38.下列判斷正確的是()A.定義在R上的函數(shù)f(x),若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2) ,則f(x)是偶函數(shù)B.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1) ,則f(x)在

3、R上不是減函數(shù)C.定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-g,0上是減函數(shù)，在區(qū)間(0,+s)上也是減函數(shù)，則f(x)在R上是減函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有且只有一個(gè)9、奇函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上是減函數(shù)且有最小值 m ,那么f (x)在-b,-a上是()A、減函數(shù)且有最大值-mB、減函數(shù)且有最小值-mC、增函數(shù)且有最大值-mD、增函數(shù)且有最小值-m10.設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：若f(x)單調(diào)遞增,若f(x)單調(diào)遞增,若f(x)單調(diào)遞減,若f(x)單調(diào)遞減,g(x)單調(diào)遞增,則g(x)單調(diào)遞減,則g(x)單調(diào)遞增,則g(x)單調(diào)遞減,則f(x) g(x)單調(diào)遞增

4、;f(x) g(x)單調(diào)遞增;f (x) - g (x)單調(diào)遞減;f(x) g(x)單調(diào)遞減;其中正確的命題是()A.B。CoD。二、填空題13 .已知函數(shù)y=f(x)是R上奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=1,則函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式是214 .函數(shù)y= x -2ax+1,右它的增區(qū)間是2, +8)，則a的取值是 A。右它在區(qū)間2,+對(duì)上遞增，則a的取值范圍是_16.若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x之0時(shí)為增函數(shù)，那么使f(冗)<f(a)的實(shí)數(shù)a的取 值范圍d17.有下列下列命題：偶函數(shù)的圖象一定與 y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； 定義在R上的奇函數(shù)f (x)必滿足f

5、 (0) = 0 ;當(dāng)且僅當(dāng)f (x) = 0 (定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱) 時(shí)，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。其中正確的命題有 _2 一 一 一 - - 、,、20 .已知 f (x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且 f(x) g(x) = x +2x+ 3 ,貝U f (x) + g(x)= 三、解答題21 .已知f(x)是一個(gè)定義在 R上的函數(shù)，求證：(1) g(x)= f(x)+ f( x)是偶函數(shù)；(2) h(x)= f(x) f(x)是奇函數(shù).222 .已知函數(shù) f(x)=x 2|x|.(I)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(n)判斷函數(shù) f(x)在(1,0)上的單調(diào)性并加以證明.，一 ， ，2，

6、、一23 .試判斷函數(shù)f(x)=x+ 在42, +8止的單調(diào)性. x24 .已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1 , 1),且滿足下列條件：(1) f(x)=- f(-x)。(2) f(x)在定義域上單調(diào)遞增；(3) f (1-2a)- f(1-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案一、選擇題1. C.解讀：.y = f (x)為偶函數(shù)，f (a)= f(a) , .點(diǎn)(-a, f (a)在函數(shù)圖像上，故選Co2. A.解讀：結(jié)合函數(shù)圖象易知選A3. D.解讀：若函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，據(jù)此選 D。24. A.解讀：函數(shù)f(x)=ax +bx+c(a。0)是偶函數(shù)，

7、則f(x)=f(x)在其定義域R上恒成立，由此可得 b = 0,從而易知g(x)= ax3+bx2+cx為奇函數(shù)，因?yàn)閍#0,所以g(x)不可能為偶函數(shù)，故選 Ao5. D.解讀：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的增函數(shù)，且A(0, 1)、B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，所以 不等式f(x)之1的解集為*£0,或*至3,從而|f(x+1)| <1的解集的補(bǔ)集為(一8,1U 2,+°°),故選D。26. B.解讀；因?yàn)楹瘮?shù)y = f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)f(x) = x 2x+3,則當(dāng)xc022時(shí)，x >0,二 f (x) = (x) 2，(x)+3 =

8、 x +2x + 3,即- f (x) =x2 +2x +3,. f (x) = -x2 -2x -3 ,故選 B。7. C.解讀：:為>x2,xi+x2>0,x1A0,且x1> x2 ,又;f(x)是定義在R上的偶函f (x) = f (x) = f ( x)。又 : f (x)在(一8, 0上單調(diào)遞增，f (x)在0,+a)上單調(diào)遞減，f (x1 ) < f (x2 ),，f (x1) < f(x2),故選 Co-x - 1, x - 0f (x)8. B.解讀；定義在R上的函數(shù)f(x),當(dāng)且僅當(dāng)f(-x)=f(x)在R上恒成立時(shí)，才能斷言 函數(shù)f(x)是R上

9、的偶函數(shù)，故A不正確；定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-00,0上是減函數(shù), 在區(qū)間(0,十無(wú))上也是減函數(shù)，則f(x)在R上是減函數(shù)不正確，反例如下：1, x對(duì)于函數(shù)f(x)=0,只要其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它就既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)不是有且只有一個(gè)，而是有無(wú)數(shù)個(gè)，故 D不正確。對(duì)于選項(xiàng) B,可 用反證法證明其正確性。故選Bo9. C.解讀：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，故選 Co10. C.解讀：注意到：兩個(gè)單調(diào)性相同的和函數(shù)的單調(diào)性不變，f(x)與-f(x)的單調(diào)性相反。故選Co選做題11. D.解讀：因?yàn)槎x在 R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)= f(

10、x)，所以f(x+2) =-f (x+1) = f (x)。又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以a = f (3) = f(4) = f (-3 +2)= f (1),b = f (V2) = f (-2 +v,2), c = f (2)= f(0)而函數(shù)f(x)在1,0上單調(diào)遞增，設(shè)a,b,c的大小關(guān)系是c>b>a,故選D。12. C.解讀：采用特殊值法。根據(jù)題意，可設(shè)f (x) = x,g(x) =|x，又設(shè)a = 2, b = 1,易驗(yàn)證與成立，故選 C二、填空題1(x 0)If (x) = 0(x = 0)13. 。1 (x< 0)解讀：參見(jiàn)第6題，同時(shí)注

11、意到函數(shù)y=f(x)是R上奇函數(shù)，必有 f(0)=0。14. a =2;a _2解讀：函數(shù)y= x2-2ax+1圖象的對(duì)稱軸為直線 x = a ,遞增區(qū)間為a,+s)。若它的增區(qū)間是2, +笛)，則.a=2。；若它在區(qū)間2, +叼 上遞增，則區(qū)間2, +8)是區(qū)間為a,)的子區(qū) 間，從而a的取值范圍是a < 215. (-1,0) (1,二)解讀：f(x)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)閤|x Er 且x#0,且 f(-1)=0, f (1) = 0。又f(x)在(0,+ 00)上是增函數(shù)，f (x)在(*,0)上也是增函數(shù)，畫出其草圖，易知滿足 f(x)>0的x取值范圍是(一1,0) U (

12、1,+資)。16. a > 71 或 a < 一0解讀： f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)為增函數(shù)，在區(qū)間( 3 ,0)上函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可知使f(n)<f(a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a >五或a < -江 17.、解讀：偶函數(shù)的圖象不一定與 y軸相交，奇函數(shù)的圖象也不一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，這要看x = 0是否在函數(shù)的定義域中；易知、正確。18 .x+1 .x-1選做題 2219 -xx; x x20 . -x2 2x -3解讀： f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x) g(x) = x2 +2x+3 ,f (-x) 一 g( -x) =.( -x)2 2(

13、-x) 3,. -f (x) - g(x) -x2 - 2x 32f(x) g(x) - -x 2x -3三、解答題21 .證明：(1) g( -x) = f (-x) + f (x) = f(x) + f (-x) = g(x)，g(x)是R上的偶函數(shù)h(-x) = f (-x) f (x) =f(x) - f (-x)二一h(x).h(x)是一R上的奇函數(shù).22 .解讀：(I )是偶函數(shù).定義域是R,' f(-x) =(-x)2 -2| -x 尸x2 - 2|x|= f(x)函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(n)是單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)xw(1,0)時(shí)，f(x)=x2+2x設(shè) 一1 < 為

14、<x2 <0 ,則為-x2 <0 ,且 x1 + x2 A 2 ,即 x1 + x2 + 2 a 022、 f (xi) - f (x2) (xi -x2) 2(xi-x2)二(x1 x2)(x1 x2 2) : 0' f(xi) ：二 f(x2)所以函數(shù)f(x)在(-1,0)上是單調(diào)遞增函數(shù).23、解：(1)令 x=y=0 , f (0 ) = 0 ,(2)令 x=-y,即得 f(0)= f (x)+ f(x 即證(3) x >0, f(x) <0 ,由(2)知 f(x) 為奇函數(shù)，x <0, f (x) >0，從而 f(x) 有最大值和最小

15、值，f x max = f -3 = f -1 f -1 f -1 =6, f x min = f 3 = -6設(shè)函數(shù)f (x)在(-8,0) U (0,+%)上是奇函數(shù)，又 f (x)在(0, 十°°)上是減函數(shù)，并且,1,f(x) <0,指出F(x) = 在(一8, 0)上的增減性？并證明.f(x)7 / 724 .解；F(x)在(,0)上是增函數(shù).證明過(guò)程如下:設(shè) Xi <X2 <0,則- Xi > -X2 >0, F(Xi) - F(X2)=f(X2)- f (Xi)f(Xi)f(X2)f (Xi)f (X2)9 / 7 f(x)在(0

16、,收)上是減函數(shù) : f(-Xi) < f(-X2)o又 f (x)是奇函數(shù),-r -f(Xi ) < -f(X2),；, f(X2) - f(Xi) < 0f (X):二 0, X (0,二),-Xi-X20,f(Xi)- - f(-Xi)0,f(X2) - - f(-X2)0, f(Xi)f(X2) 0,. F(Xi) -F(X2) <0, F(Xi):二 F(X2)F(x)在(,0)上是增函數(shù)25 .解：設(shè)<2 < xi < x2 <，則有.2222f (Xi) - f (X2) = Xi - -(X2 ) =(Xi -X2)(-) xix

17、2xix2Xi)X22x2 - 2xi= (Xi -X2) ()=(Xi -X2)(iXi X2XiX2 -2= (Xi -X2)().xi x2v2< Xi< X2 < ,Xi X2< 0 且Xi X2 2 A 0 ,XiX2> 0 ,所以 f (x1)一 f (x2 ) <0 ,即 f (xi) < f (x2).所以函數(shù)y = f (X)在區(qū)間/ , +8)上單調(diào)遞增.選做題26 .解：(i)函數(shù)f(x)的圖像如右圖所示；(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜i , 0和2, 5、27 .(i)證明：令iWx<X2Wl,且 a= xi, b= X2f (xi