切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理93336

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線 上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。2 .切線長(zhǎng)定理對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑;（3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角 互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過(guò)這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角

2、。精彩文檔3 .弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線AB切。0于P, PG PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）4 .弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。5 .弄清和圓有關(guān)的角： 圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6 .遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7 .與圓有關(guān)的比例線段已知結(jié)論定理圖形中，AR CD為弦，交 PA- PB= PC- PD.于P.00 中，AB為直徑，CDLAB PC2=PA- PB.于P.證法連結(jié) AC、BD, 證： AP6 DPB.用相交弦定理.切割線定 理00中，PT切。0于T, 割線PB交。0

3、于APT2=PA- PB連結(jié)TA、TB , 證： PTB APAT切割線定 理推論00 中，割線 PB交。0 于 P'C P'D = r2A, CD為弦OP'2過(guò)P作PT切。0于T,用 兩次切割線定理圓騫定理PA- PB= 0P-r2r為。的半徑延長(zhǎng)P'O交。0于M,延 長(zhǎng)OP'交。0于N,用相交 弦定理證；過(guò)P作切線用 切割線定理勾股定理證8.圓哥定理：過(guò)一定點(diǎn)P向。0作任一直線，交。于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積 為常數(shù)| 0P2 一爐I（R為圓半徑），因?yàn)?*-R2叫做點(diǎn)對(duì)于。0的哥，所以將上述定理統(tǒng)稱為 圓哥定理?！镜湫屠}】例1.如圖

4、1,正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 點(diǎn)為F,交CD于E,求DE AE的值。0,過(guò)A作半圓切線，切圖1解：由切線長(zhǎng)定理知： AF= AB= 1, EF= CE 設(shè)CE為x,在RtADE中，由勾股定理+ "=(1-力口+ X = - 4 1 315DE = - = -+ - = -44,44,，困 =- = 3： 54 4例2. 00中的兩條弦 AB與CD相交于E,若 AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么 CE=cm。圖2解：由相交弦定理，得AEE- B已 CE- DE. A 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm, DECD-CEl-C

5、E,6X2 二期-閨， 即一二二，二一 . CE= 3cm 或 CE= 4cm=故應(yīng)填3或4。點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則 A" AC - PBl 解：./P=/P/ PAC= / B,.PA6 APBAA8_PB.AC = PA, AB2 _ PB2萬(wàn)一前。又PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得回"加陽(yáng)AB2 _ PB2 _ PB .7cWrPC'pc, 即力M十二期FC, 故應(yīng)填PG點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例4.如圖3, P是。0外一點(diǎn)，PC切

6、。0于點(diǎn)C, PAB是。0的割線，交。0于A、B兩點(diǎn)，如果PA: PB= 1: 4, PC= 12cm, 00的半徑為10cm,則圓心。到AB的距離是 cm。解：.PC是。0的切線，PAB是。0的割線，且 PA: PB= 1 : 4 .PB= 4PA又PC= 12cm由切割線定理，得d1?.P£ =36,.PB= 4X6= 24 (cm).AB= 24-6= 18 (cm)設(shè)圓心。到AB距離為d cm,由勾股定理，得d = 7102 - 92 =故應(yīng)填盡。例5.如圖4, AB為。0的直徑，過(guò) B點(diǎn)作。0的切線BC, OC交。0于點(diǎn)E, AE的延長(zhǎng)線交 BC于點(diǎn)D, (1)求證:點(diǎn)悟：

7、要證證明：(1)連結(jié)BE;(2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的長(zhǎng)。8c是©。的切線n乙4 = ZCBE' oa = oeZa = Zoea Zoea = Zdec“ CR 一AC£DcoAC8£ => = => Cff2 = C8 CD CD CE(2)為直徑, n ZASD = 90*3 = 2=05 = 1BC = 2，=OC - J4 +1 =OE= 1'n Off 二店-1。又.C那二1,CB = 2,. 席可= 2CDnCb二國(guó)而厘米。點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例6.如圖5

8、, AB為。0的直徑，弦 CD/ AR AE切。0于A,交CD的延長(zhǎng)線于 E。B圖5證明：連結(jié)BD,.AE切。0 于 AEAD= Z ABD. AE! AB,又 AB/ CD .AE! CD.AB為。0的直徑ADB= 90°E= Z ADB= 90° .AD曰 ABADAD _ DE 45 -AD . 山，川久. CD/ ABn nAD = BC.AD= BC,1'.' .一:證明：.PA切。于A, PAD= Z PBA又 / APD= Z BPA .PAD APBA：.翡-Q同理可證 PCmAPBCCD_PD天正.PA PC分別切。0于A、CPA= PCU

9、-加.AD- BC= DC- AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中，/A= 90° ,以 AB邊為直徑作。0,交余邊 BC于點(diǎn)D,過(guò)D點(diǎn) 作。0的切線交AC于E。圖7求證：BC= 20E點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證 0E是 ABC的中位線。而 0A= 0B只須證 AE= CE證明：連結(jié)0D. ACL AB, AB為直徑AC為。0的切線，又 DE切。0于D.EA= ED, 0DL DE1- 0B= 0D，/ B= Z 0DB在 RtABC中，Z C= 90° -ZB/ 0DE 90°./ C= Z EDC.ED= EC.AE= EC.0E是ABC的中位線 .BC=

10、 20E例9.如圖8,在正方形 ABCD中，AB= 1, NC是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)EI n是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作RC所在圓的切線，交邊 DC于點(diǎn)F, G 為切點(diǎn)。當(dāng)/DEF= 45°時(shí)，求證點(diǎn) G為線段EF的中點(diǎn)；圖8解：由/DEF= 45° ,得/D殛二裔-ZW = 45° , ./ DFE= Z DEF.DE= DF又AD= DC.AE= FC因?yàn)锳B是圓B的半徑，ADL AB,所以 AD切圓B于點(diǎn)A;同理，CD切圓B于點(diǎn)C= 又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即點(diǎn)G

11、為線段EF的中點(diǎn)?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）-、選擇題1 .已知：PAPB切。0于點(diǎn)A、B,連結(jié)AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,則PA=（20-C. 5D. 8A. 3B.2 .下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形B.矩形3.已知：如圖B. 40 °C.60D. 55C.菱形D.梯形A. 504 .圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng) 8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1: 4,則另一弦長(zhǎng)為（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5 .在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AL2j%M,BD= 3cm,DC= 4cm,如果E是AD的延長(zhǎng)線與 ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么

12、 DE長(zhǎng)等于（）6 .PT切。0于T,CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交。0于B和A B在線段PD上，若CD=2, AD= 3, BD= 4,貝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5 D.I-二、填空題7 . AB 、CD是。0切線，AB/ CDEF是。0的切線，它和ABCD分別交于E、F,則/EOF度。8 .已知：00和不在。0上的一點(diǎn) P,過(guò)P的直線交。0于A、B兩點(diǎn)，若 PA- PB= 24, OP= 5, 則。0的半徑長(zhǎng)為。9 .若PA為。0的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交。0于B、C,若BC= 20, PA 1073 ,則PC的 長(zhǎng)為。10 .正4ABC內(nèi)接于。Q M N分別

13、為AR AC中點(diǎn)，延長(zhǎng) MN交。0于點(diǎn)D,連結(jié)BD交AC于P,則 PA -。三、解答題11 .如圖2, 4ABC中，AC= 2cm,周長(zhǎng)為8cm, F、K、N是 ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)， DE切。0于點(diǎn) M 且 DE/ AC 求 DE的長(zhǎng)。圖212.如圖3, ZDCP已知P為。0的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PC切。0于C, CDL AB于D,求證：CB平分13.如圖4,B隹 MNh NC圖4已知AD為。0的直徑，AB是。0的切線，過(guò) B的割線BMN AD的延長(zhǎng)線于 C,且 若ab=圈，求。o的半徑?！驹囶}答案】-、選擇題1 . A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空題7. 908. 19. 3010.三、解答題:11 .由切線長(zhǎng)定理得 BDE周長(zhǎng)為4,由4BD曰 BAC彳導(dǎo) DE= 1cm12 .證明：連結(jié)AC則ACL CB. CDL AB, .ACB