37直線與圓錐曲線專項(xiàng)訓(xùn)練

1、371.直線與圓錐曲線專項(xiàng)訓(xùn)練對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸的圓錐曲線【例題精選】：例1:已知平面上一點(diǎn)P在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0,m)(m0),而在平移后所得到的新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(m,0),那么新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：A.(m,m)B.(m,m)C.(m,m)D.(m,m)分析：由移軸公式xxh,yyk已知：x0,ym；xm,y00mkkmm0kkmO在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(m,m).答案：AoA.y1x32B.y1xC.y1x23D.y1x分析：由已知xx2，yy1oy2y的坐標(biāo)為(2,-1),則原坐標(biāo)系中的曲線x3在新坐標(biāo)系xoy中的方程是:3x例2:若平移坐標(biāo)軸，把坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)O

2、移到點(diǎn)O,O在原坐標(biāo)系下在新坐標(biāo)系xoy中的方程是:32曲線y答案：Do例3：平移坐標(biāo)軸化簡方程16x29y232x36y1640,畫出新舊坐標(biāo)軸和圖形，并寫出在原坐標(biāo)系下的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程和漸近線方程。22解：配方得優(yōu)D(?2)1916a3,b4,c5,中心O(1,2).令xx1,yy2,在新坐標(biāo)系中，曲線方程為1,頂點(diǎn)916(-3,0)(3,0),焦點(diǎn)(一5,0)、(5,0),準(zhǔn)線方程為x-。5在原坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)(一2,2),(4,2),焦點(diǎn)(一4,2),(6,2),準(zhǔn)線方程x-,x14。漸近線方程為y2-(x1),553即4x3y100,4x3y20右圖是曲線的圖形和新舊坐標(biāo)軸

3、9;例4：設(shè)常數(shù)a0,橢圓xx3一解：曲線萬程可化為(y2)22axa2y20的長軸是短軸的2倍，則a_。分析：配方得橢圓方程(x；)y21,a1時(shí)，依題意a2,0a1時(shí),a1a一。2a2或a2例5:拋物線y284x的準(zhǔn)線方程是,圓心在該拋物線的頂點(diǎn)且與其準(zhǔn)線相切的圓的方程是。分析：拋物線y24(x2)，頂點(diǎn)為(2,0)焦參數(shù)p2。如右圖所示，得準(zhǔn)線方程為x3。圓心在拋物線頂點(diǎn)(2,0),與其準(zhǔn)線x3相切的圓的半徑為1,其方程為(x2)2y21。小結(jié)：畫出方程表示的曲線，數(shù)列結(jié)合有助丁問題的解決例6:雙曲線以直線x1和y2為對(duì)稱軸，如果它的一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上，那么它的另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為。分析：由已

4、知雙曲線的中心是(一1,2),對(duì)稱軸平行丁坐標(biāo)軸，所以在y軸上的焦點(diǎn)是(0,2),由對(duì)稱性可知，另一焦點(diǎn)為(一2,2),即為所求。.24y210父丁A、例7：直線l過拋物線y2a(x1)(a0)的焦點(diǎn)，并且與x軸垂直，若l被拋物線截得線段長為4,則a。分析：在平移變換中，線段長度不變。令yy,xx1,拋物線方程為y2ax,在xoy中畫出曲線如右圖所示，由拋物線PF|PH|2。a2,a42例8:已知一條與y軸平行的直線與曲線x26x16yB兩點(diǎn)，曲線中心O，求OAB面積的最大值。1，它是中心為O(3,2)的橢3,yy2,將方程化簡為:令x2xV設(shè)與y軸平行的直線為xt,代入方程得，y1§

5、;。彳17SOAB2"卜4t2ABt222412當(dāng)且僅當(dāng)t24t2,即t克時(shí)，Soabmax1.例9:焦點(diǎn)為菖(2,0)和F2(6,0)，離心率為2的雙曲線的方程是o分析：由雙曲線焦點(diǎn)為Fi(2,0),F2(6,0),則其中心為O(2,0),實(shí)軸在x軸,焦距2c6(2)8,乂離心率e-2,所以aa2,b242222x2雙曲線方程為412。2y12(1,6)和(1,2),對(duì)稱軸與x軸平行,例10:設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)開口向右，直線y2x7被拋物線截得的線段長度是4/100求拋物線方程。1,2),對(duì)稱軸與x軸平行，而622)2,解：由丁拋物線過點(diǎn)(1,6)和(所以y2是它的對(duì)稱軸。因此，可設(shè)

6、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是由拋物線過點(diǎn)(1,6)得8p(1a)將直線y2x7代入，(2x5)22p(x即4x2(202p)x(a,2)，它的方程是(y2)22p(xa)(p0)消去a),(25y可得設(shè)拋物與直線的交點(diǎn)是為，貝2xix22xix2乂y2x202p4210p7,V22x22pa)0和x2,y2，丁是x、x2滿足方程，所以4xx22(252pa)252pa7,丁是yi由題設(shè)可得,y24xx2,224.10x1x225x1x22128(10p)21002yy28pa,由、可得再由得8pa648p,代入得128(10p)2368p,即p212p640解出p116,p24(不合題意，舍去)3一O2

7、把p116代入式可得a拋物線方程為（y2)232x例11:1已知方程222exy2e2px1,e討論當(dāng)頂點(diǎn)）、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。22ep1時(shí)，方程表示什么曲線，并求出曲線的中心（或0p0,e0解：（1）當(dāng)e1時(shí)，方程為y22px0,即y22p方程表示頂點(diǎn)為,0，焦點(diǎn)為（0,2e1時(shí)，原方程變形為2x2ep12ex2ep12e2ep2222e2y111,2e2y22ep1e21.方程表示中心為e2pe222a221eb20)22ep.22，1e的橢圓，其中22ep2e,準(zhǔn)線方程是xp的拋物線。42ep22e焦點(diǎn)為（0,0）和1（3）當(dāng)e1時(shí)，12e2p2e2e準(zhǔn)線方程為0,方程表示雙曲線，其中

8、心、2e1e焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的表達(dá)式與(2)相同例12:已知曲線22一2kx9y2kx18ky9k8k0(1) k取什么值時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在與x軸平行的直線上的橢圓;22k(x1)29(yk)29k(yk)2Iok方程表示焦點(diǎn)在與x軸平行的直線上的橢圓。9,b2k,c29k,k.(2) 求此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)并求其焦點(diǎn)的軌跡。解：(1)配方得當(dāng)k0時(shí)，G一1)-9當(dāng)0k9時(shí)，(2)當(dāng)0k9時(shí)，a2焦點(diǎn)坐標(biāo)為1<9k,x1,9k,由0kyky0。一9)開口向上的拋物線在x軸下方的部分(除去消去k得x12y99焦點(diǎn)軌跡為頂點(diǎn)在(1,頂點(diǎn))。直線與圓錐曲線【例題精選】：例1:當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，直

9、線ykx1與雙曲線4x29y236。(1) 有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；(2) 僅有一個(gè)公共點(diǎn)；(3) 無公共點(diǎn)？分析：研究直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般方法是，研究直線與圓錐曲線方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解的情況。解：將直線與雙曲線方程聯(lián)立ykx14x29y236代入得4x29(kx1)2360整理得49k2x218kx450當(dāng)k2時(shí)，49k20,方程有一實(shí)數(shù)解，此時(shí)直線為y2x1與33雙曲線的漸近線平行，則與雙曲線有一交點(diǎn)。當(dāng)k2時(shí)，方程的判別式3(1)交點(diǎn)；(2)(3)(18k)24(49k2)-(45).2144(59k)0且kZ,即柘k如且k3332時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)30或k0,即k2,即

10、k3塑或k3如或k2時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn);33.5史時(shí)，直線與雙曲線無交點(diǎn)。3小結(jié)：本題中直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)包含了兩種情況：直線與雙曲線的漸近線平行與雙曲線交丁一點(diǎn)；直線與雙曲線相切。同樣，直線與拋物線交。點(diǎn)，包括了與拋物線軸平行的直線與拋物線交丁一點(diǎn)和直線與拋物線相切的兩種情況。例2:求直線yx截橢圓x24y24所得的線段的長2分析：求直線與圓錐曲線相交所截得的弦長，可以聯(lián)立它們的方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出，但計(jì)算比較麻煩。如果在方程組消元后得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理可簡化計(jì)算，也可用弦長公式求解。解法一設(shè)直線與橢圓交丁Axyi、Bx2,y2兩

11、點(diǎn)。1yx222x4y4消去y得，5x24x30760,方程的判別式（4）2453由韋達(dá)定理,x乂2-,xx2-55x1x2x1x24x1x2252211yV2x匚x2-x2x27625弦長AB|Jxx2yy解法二：由解法一中得到xx223857625.76xx2k2X1X2由弦長公式ABJ15521k長dJ1k2x1x2或dJyy2,可做為公式用，但必須知道其公小結(jié)：求直線與圓錐曲線相交截得弦長的有關(guān)問題，是一類重要的題型，弦22例3:求橢圓1中,164解法一設(shè)所求直線方程為圓方程，消元后經(jīng)整理得到關(guān)丁4k21x22X24k(2k1)所求直線方程為y12(x2)。式推導(dǎo)的基礎(chǔ)是兩點(diǎn)間距離公式

12、和一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。過點(diǎn)M(2,1)且平分丁這點(diǎn)的弦所在直線的方程。y1k(x2),即ykx2k1,將其代入橢x的一元二次方程8k(2k1)x4(2k1)21604k10,乂因?yàn)镸(2,1)在橢圓內(nèi)，且是直線與橢圓相交弦的中點(diǎn)，所以方程(*)的判別式0。8k(2k1)由韋達(dá)正理xx22,4k12,乂X1224k一1解得k-o2即x2y40。M(2,1)的直線為x=2,不是問題的解。當(dāng)斜率k不存在時(shí)，過點(diǎn)解法二設(shè)過點(diǎn)點(diǎn)，則有關(guān)系式：國+4才二16x；+"；=16M(2,1)的直線與已知橢圓相交丁Ax1,y1、Bx2,y2兩=22巧+J2一得，x"x24y2y2即x

13、1*2x由4yV2將、代入可求得虬上-x1x220yV20即k12小結(jié)：解法二可稱為代點(diǎn)法，當(dāng)問題涉及弦的中點(diǎn)時(shí)，利用此法比較簡單但要考慮所求的直線與圓錐曲線是否交丁兩點(diǎn)。2例4:已知雙曲線x2：1和點(diǎn)M(1,1)，過點(diǎn)M能否作直線l,使l與所給雙曲線交丁p及p2兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段p1p2的中點(diǎn)。這樣的直線l如果存在，求出它的方程，如果不存在，說明理由。解：設(shè)所求直線方程為yk(x1)1,當(dāng)斜率k不存在時(shí)，直線垂直丁x軸不為所求。將所設(shè)直線與雙曲線方程聯(lián)立得：yk(x1)12x212將代入化簡整理得2k2x22k22kxk22k30設(shè)直線l與雙曲線兩交點(diǎn)P1x,y,P2x2,y2。則x，x2是

14、方程的兩根，由韋達(dá)定理：2k22kx1x222k2乂M(1,1)是pp2的中點(diǎn)，七產(chǎn)1,所以斜率k應(yīng)滿足2k202222k22k42k22k22k222k由式解得k2,但k2使是不存在的。小結(jié)：本題是探求雙曲線的弦的中點(diǎn)所在的直線是否存在，在求解過程中要特別注意一元二次方程判別式的重要作用。k22k30怎0，不滿足式，所以滿足題中條件的直線l例5:已知"、匕是過點(diǎn)P(而,0)的兩條互相垂直的直線，且小l2與雙曲線y2x21各有兩個(gè)交點(diǎn)，分另U為A、B1和A、B20(1) 求l1的斜率k1的取值范圍；(2) 若|ab構(gòu)A2B2，求l1、l2的方程。解：(1)依題設(shè),l1、l2的斜率都存

15、在，因?yàn)閘1過點(diǎn)P(而,0)且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組yk1x.2k10,1y2x21有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。在方程組中消去y,整理得k121x22V2k：x2k：10若k1210,則方程組只有一個(gè)解，即11與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾，故k1210,即|k1|1。方程的判別式為212.一2k24k1212k：143k121設(shè)l2的斜率為*2,因?yàn)榘暹^點(diǎn)PV2,0且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組yk2x.2k20,有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。在方程組中消去y,整理得k；1x22.2k；x2k；10同理有k；10,243k；1乂因?yàn)閘1項(xiàng)所以有k1-k21。丁是，I.l2與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)丁2

16、3kf103k；10k1-k21k11時(shí)/曰k13解得3k11k13,11,寸號(hào)1,3(2)設(shè)A1x*,B1x2,y2,由方程知x1x22.2k12k121'x1AB12x1x22x2y2k121k1212y21k12x12x241k123k121kf同理，由方程可得IA2B2I2,整理得A2B22241k123k12由|AiBi|V5A2B2，得AiBi25A2B2將、代入上式得2.241k13k1122一241k13k1k122ki2解得k、2取k1<2,12：y取k242時(shí)，11:y2x/2；2-2x2；21x2例6:已知橢圓C:4,使得這直M,依兩點(diǎn)關(guān)等價(jià)丁有y4xm上（

17、如圖所示）2x4由方程組13x2方程的兩根為xP故方程的判別式：8n28nx16nX2,且P480x1,y1,Qx2,y2是不同的兩點(diǎn)，x1x2,41316n2480、132乂PQ的中點(diǎn)2解得X2由方程根據(jù)韋達(dá)定理,.132'y2在直線y4xm±02竺，從而13xX2小結(jié)：注意到l2與1i的內(nèi)在關(guān)系，它們與雙曲線y2x21所組成的方程組結(jié)構(gòu)相同，可大大減少運(yùn)算量2:1和直線1:y4xm,試確定m的取值范圍,使對(duì)丁直線1,橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)丁該直線對(duì)稱。解法一設(shè)所求的取值范圍為丁直線對(duì)稱的定義，可知mM,yn（nR,是待定常數(shù)）4線與橢圓C有兩不同的交點(diǎn)P、Q,且線段PQ的

18、中點(diǎn)落在直線2七13xn4 代入得yiy2-X1X22n24P4131故有-224n134竺21313m,4代入得,21313解法二設(shè)點(diǎn)PX1,y，223x；4y；12_22一3x24y212X1X2x2yy2y-2y22、1313PQ的中點(diǎn)Mx,y,由已知,一得3X1X2X1X24yy2yV20 、代入得，yy23x-x1x24y4y3x是動(dòng)弦PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。將y3x代入y4xm，解得M(m,3m)。點(diǎn)M必在橢圓內(nèi)，則有22m3m,廠虧1,解得213132.1313小結(jié)：由以上幾道例題可以看出直線與圓錐曲線相交可以編擬較綜合的問題，值得重視。例7:在xoy平面上給定一曲線y22x。設(shè)點(diǎn)

19、A的坐標(biāo)為-,0,求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A最近的點(diǎn)P之坐標(biāo)及3相應(yīng)的距離|PA|;(1) 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,0,aR,求曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d,并寫出df(a)的函數(shù)表達(dá)式。解：(1)設(shè)M(x,y)為曲線上任意一點(diǎn)，My22x(x0)。MA222x-32y24X-X3492x21X-313'x0式右端作為x的函數(shù)在0,上單調(diào)遞增,一r24x0時(shí)，IMAmin-.92dMAmg-，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)m'n3(2)設(shè)M(x,y)為曲線上任意一點(diǎn)，同理有222MAxay2_xa1(2a1)(x0).-2當(dāng)a1時(shí)，式右跚在xa10處達(dá)到取小值MAmin2a1d|MAmin/2a

20、1，此時(shí)Pa1,<2(a1).當(dāng)a1時(shí)，式右端作為x的函數(shù)在0,上單調(diào)遞增，J222x0時(shí)，MAmina12a1a.例8:(1)在拋物線y(2)在橢圓7x24y2x2上求一點(diǎn)28上求一點(diǎn),使它到直線2xy4的距離最短;使它到直線l:3x2y160的距離,0解:2xy(1)設(shè)P為拋物線yx2上一點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為40的距離。2xx24x,x2,P到直線(x1)2551時(shí)，d有最小值；此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)22設(shè)橢圓-471上的點(diǎn)M2cos,則點(diǎn)M到直線l的距6cos2.7sin16138sin()16甘+一而一其中3arcsin-.42時(shí)，d有最小值，最小值為813此時(shí),sin23點(diǎn)M

21、的坐標(biāo)為-2coscos81313一3sino4dMAmin*a,綜上所述,有V2a1,(a1)da1(a1)小結(jié)：對(duì)?。?）若不引入?yún)?shù)，直接設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為X0,y0,其到直線l的距離d3X0竺16，再與7x04y228聯(lián)立求d的最小值，將很難.13完成，因此（2）只適用丁理科。例9:已知雙曲線C:12x2*4y23和直線一點(diǎn)P,經(jīng)過點(diǎn)P且以已知雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，求作出所有橢圓中長軸最短的橢圓方程。解法一雙曲線的焦點(diǎn)（一1,0）、（1,設(shè)橢圓長軸長為2a,短軸長為2b,則7a21。22橢圓方程為m1,直線l的方程為yx3,代入消去y,整理得2a2122226a42a1aa46a2

22、50,a：2L匕miny30,在直線l上任取0)b2100,5b242)6a2x10a2a40,其判別式2y_41.解法二設(shè)依條件所作的橢圓為2X2a2yb71,則PF1PF22a,若使橢圓PF?最小，（如圖所示）,由平面幾何知，點(diǎn)P為點(diǎn)F1長軸最短，只需PF1關(guān)丁直線l的對(duì)稱點(diǎn)F1與F2所連直線與直線l的交點(diǎn)。已知橢圓的焦點(diǎn)為F1（1,0）,F2（1,0）。設(shè)F1關(guān)丁直線xy30的對(duì)稱點(diǎn)F1m,nmm11n22解得m3n22aPF1PF2F1F2a施，b2n1PFi3所求橢圓方程為30212a202、.5【專項(xiàng)訓(xùn)練】：、選擇題:1、設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),A(2X2，2y2)C.(x1X2,V

23、i2、拋物線yA.1,2X143、4、5、2c2x542y41.Ng,V2y2）經(jīng)過平移后,M的新坐標(biāo)為:（x*2，y1y2）（2x1x2,2yB.D.2x1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為:-C.4B.1,1,D.v21,方程2x2A.兩條相交直線C.橢圓雙曲線方程5（xA.-5通過橢圓x2A.84x2y13)2B.220y28522y8x4yB.220表示的曲線是：B.兩條平行直線D.雙曲線100,它的中心到準(zhǔn)線的距離是:C.40的一個(gè)焦點(diǎn)且與它長軸垂直的弦長等丁:C.4D.2設(shè)傾斜角為一的直線l通過拋物線y24x的焦點(diǎn)且與拋物線相交丁M、N兩4點(diǎn)，則線段MN的長等?。?、7、雙曲線x2A.548、曲線X2y

24、2a2與x12y21恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則B.a0C.a0D.不存在滿足上述條件的C.8y11、橢圓(x1)24y24與拋物線y1(x1)2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是12、AB是拋物線y2x的一條過焦點(diǎn)的弦，若|AB4,則AB的中點(diǎn)到直線x10的距離是。2213、過雙曲線七1的左焦點(diǎn)F1,引直線交雙曲線左支丁M、N,F2為雙9161右支上一點(diǎn)P到直線yx的距離為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是:3b.j,曲線右焦點(diǎn)，若F2MN的周長為40,則弦MN。c.42,2匠d.242,42、填空題:9、雙曲線3x2y26x2y10的焦點(diǎn)坐標(biāo)是14、拋物線y2x與橢圓頂點(diǎn)為M,那么AM(x5)216BM2會(huì)1在x軸上方交丁A、B

25、兩點(diǎn)，設(shè)橢圓左210、以拋物線y24(x1)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，而以其頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線萬程是三、解答題：15、已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x4y20和3x4y100，一條準(zhǔn)線方程為5y40,求此雙曲線方程。16、設(shè)拋物線y24x截直線y2xk所得的弦長|AB35。(1) 求k的值；以AB為底邊，以點(diǎn)P的坐標(biāo)。x軸上點(diǎn)P為頂點(diǎn)，組成PAB的面積為39時(shí)，求17、已知橢圓C的方程七1,若過C的右焦點(diǎn)F的直線l與C交丁3Axyi,BX2,y2yiY2兩點(diǎn)，且滿足AFBF2，求直線l的方程。18、已知曲線C:3x2與l交丁A、B兩點(diǎn)，并且以1與直線l:ymxAB為直徑的圓恰過原點(diǎn)。1,問是否存在實(shí)數(shù)m,使得C、選擇題：1、B2、D提示:x12y2,令xx1,在xoy中焦點(diǎn)為3、2x1選Ao提示:y12方程化為0,1,在原坐標(biāo)系xoy中焦點(diǎn)為1,4方程化