多邊形及其內(nèi)角和講義草稿

1、第十一章 多邊形及其內(nèi)角和講義要點(diǎn)突破1一、多邊形的概念(1)在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的n(n3的整數(shù))條線段首尾順次相接而成的 圖形叫做n邊形。注意：(1)有幾條邊就是幾邊形；三角形、四邊形是最簡(jiǎn)單的多邊形。(2)多邊形相鄰兩邊組成的角是它的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角；(3)多邊形的邊和它鄰邊延長(zhǎng)線組成的角是它的外角，一個(gè)n邊形有n個(gè)外角，同一個(gè) 頂點(diǎn)的內(nèi)角和外角是互為鄰補(bǔ)角。(4)連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段是它的對(duì)角線，四邊形有兩條對(duì)角線，五邊形有五條對(duì)角線，n邊形有n(n一3)條對(duì)角線，從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有(n-3)條。2(5) 各個(gè)角相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊

2、形。(6) 下面兩圖中，圖(1)任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線同一側(cè)，這樣的圖形我們稱為凸多邊形，而圖(2)就不滿足上述凸多邊形的特征，因?yàn)槲覀儺婤D所在直線，整個(gè)n邊形不都在這條直線的同一側(cè)。我們稱這樣的多邊形為凹多邊形，今后我們 課本提到的多邊形，如果不加特別說(shuō)明，一般指的是凸多邊形。典例剖析: 例一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線？思路探索：過(guò)十二邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)可以畫9條對(duì)角線，那么十二個(gè)頂點(diǎn)可以畫12X9條對(duì)角線，但每條對(duì)角線在每個(gè)頂點(diǎn)都數(shù)了一次，所以實(shí)際對(duì)角線的條數(shù)應(yīng)該為12X9十2=54(條)解析：十二邊形的對(duì)角線共有54條。規(guī)律總結(jié)：對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)， 我們可以

3、總結(jié)出規(guī)律 門一3)條，牢記這個(gè)公2式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。課時(shí)達(dá)優(yōu)：一、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共30分）1如圖，在四邊形ABCD中，/B的對(duì)角是 _ ，/C的對(duì)角是 _ ,BC邊的對(duì)邊是_ , CD邊的對(duì)邊是_.2、 從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，一共作了15條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 _3、 正三角形的每個(gè)內(nèi)角為 _。4、 一個(gè)多邊形共有27條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 _.5、 若過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有2m條對(duì)角線，m邊形沒(méi)有對(duì)角線，k邊形有k條對(duì)角線，則（nk)m=_6、過(guò)n邊形同一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線共有

4、 _ 條，這些對(duì)角線把n邊形分成 _ 個(gè)三角形；把在n邊形邊上的任一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）與各頂點(diǎn)連接起來(lái)，這些連線把n邊形分成_ 個(gè)三角形；把n邊形內(nèi)任一點(diǎn)與各頂點(diǎn)連接起來(lái)，這些連線把n邊形分成 _個(gè)三角形。7、下列圖形中，是正多邊形的是（( )A、8 B、9 C、10 D、1110、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1440,這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）二、耐心選一選，你會(huì)開心（每題5分,共30分)A、直角三角形B、等腰三角形C、長(zhǎng)方形D、正方形8、下列圖形中，不是凸多邊形的是（8個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9、過(guò)多邊形的A、8 B、9 C、10 D、711、在平行四邊形ABCD中,ZA：/B：/C：/D的值可能是

5、（）A、1:2:3:4 B、1:2:2:1 C、2:2:1：1 D、2:1:2:112、若多邊形內(nèi)角和增加360,則它的邊數(shù)（）A、增加1 B、增加2 C、增加3 D、不變?nèi)?、?xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）13、 我們知道各邊都相等，各角都相等的多邊形是正多邊形，小明卻說(shuō)各邊都相等的多邊形就是正多邊形，各角都相等的多邊形也是正多邊形，他的話對(duì)嗎？為什么？14、 試比較圖中兩個(gè)幾何圖形異同，請(qǐng)分別寫出兩個(gè)相同點(diǎn)和兩個(gè)不同點(diǎn)。例如，相同點(diǎn)：不同點(diǎn)：（1）_；（2）_15、 一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后就一定是三角形嗎？畫出所有可能的圖形。16、 動(dòng)腦筋完成下表名稱四邊形五邊形六邊形n邊形圖形hOO由一

6、個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)角線條數(shù)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線把多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)圖形中對(duì)角線的條數(shù)要點(diǎn)突破2一、多邊形的內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和等于（n2） 180證明思路：通過(guò)添加輔助線把多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題，如過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形；也可過(guò)一邊上一點(diǎn)，連結(jié)各頂點(diǎn)，把多邊形分成（n-1）個(gè)三角形；或者過(guò)多邊形內(nèi)部一點(diǎn)，連結(jié)各頂點(diǎn)，把多邊形分成n邊形。注意：要得到多邊形內(nèi)角和必須通過(guò)“三角形內(nèi)角和定理”來(lái)完成，就是把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形；此公式可以已知邊數(shù)求內(nèi)角和，也可以已知內(nèi)角和求邊數(shù)。二、多邊形的外角和多邊形的外角和等于360注意：多邊形的外角和與它的邊

7、數(shù)無(wú)關(guān)。證明思路：多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角和一個(gè)內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，因此多邊形的所有內(nèi)角和外角和為n -180,由于多邊形的內(nèi)角和為（n-2） -180，所以多邊形的外角和為360。三、多邊形的內(nèi)角和外角和的作用由于多邊形的內(nèi)角和不隨邊數(shù)的多少而變化，因此運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和和外角和定理可以進(jìn)行有關(guān)多邊形的角度計(jì)算或證明。典例剖析：例（2007年濱州）如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為個(gè)平方單位.思路探索：?jiǎn)为?dú)一個(gè)個(gè)求扇形的面積是不可能的，因?yàn)槊總€(gè)扇形圓心角不知道多少，由于所有扇形的圓心角的和正好是多邊形的外角和，而多邊形的外角和為360,因此所有扇

8、形正好組成一個(gè)半徑1的圓，所以圖中陰影部分面積之和為n個(gè)平方單位。規(guī)律總結(jié)：有關(guān)多邊形問(wèn)題，常?？疾鞂?duì)角線的條數(shù)，多邊形的內(nèi)角和，外角和等知識(shí)，熟記其中蘊(yùn)含的規(guī)律性的東西，遇到這些問(wèn)題的時(shí)候就會(huì)迎刃而解。課時(shí)達(dá)優(yōu)：一、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共30分）1、二十邊形的外角和為 _。2、 在四邊形ABCD中，若/A=90,/B：Z C：ZD=2:3:4,則/B=_, /C=_3、 一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的多邊形的內(nèi)角和是2520。，那么原多邊形的邊數(shù)是/3+/4+/5+/6+/7的度數(shù)為5、多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150。 ， 則從這個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有6、一個(gè)多邊形的每一個(gè)

9、外角的度數(shù)等于其相鄰內(nèi)角度數(shù)的二、耐心選一選，你會(huì)開心（每題5分，共30分）7、卜列可能是n邊形內(nèi)角和的是（)A、300B、550C、720D、960&n邊形的每個(gè)外角都為24，則邊數(shù)n為（）A、14B、15C、16D、179、下列說(shuō)法：四邊形的四個(gè)內(nèi)角，可以都是銳角；四邊形的四個(gè)內(nèi)角，可以都是鈍角;四邊形的四個(gè)內(nèi)角，可以都是直角；四邊形的四個(gè)內(nèi)角，最多可以有兩個(gè)鈍角；四邊形的四個(gè)內(nèi)角，最多可以有兩個(gè)銳角。其中正確的是（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)10、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的n（n是正整數(shù)）倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）11、（n+1）邊形的內(nèi)角和比n邊形的內(nèi)角和大（12、多邊形內(nèi)角

10、中，銳角最少應(yīng)有A、3個(gè)B、2個(gè)C14、已知五邊形內(nèi)角度數(shù)之比為2:3:4:5:6,求該五邊形各外角對(duì)應(yīng)度數(shù)之比。_條。_ 邊形。1-，則這個(gè)多邊形是3A、n+1B、2n+1C、2n+2D、2n2A、180、360C、n180D、n360三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分)13、若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為2,求這多邊形的邊數(shù)。11.3多邊形及其內(nèi)角和自測(cè)題15、一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為1190。，則這個(gè)內(nèi)角是多少度?16、夯實(shí)基礎(chǔ)一、 精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共30分）1邊數(shù)最少的多邊形是 _ ，它的內(nèi)角和與外角和分別等于 _ 。和_2、n邊形內(nèi)角和與外角和之

11、比是5:2,貝U n=.3、 四邊形的四個(gè)內(nèi)角之比是1:2:3:4，那么，這四個(gè)角分別是 _ .4、 兩個(gè)多邊形的邊數(shù)之比為1:2,內(nèi)角和度數(shù)之比為1:3,這兩個(gè)多邊形分別是 _邊形和_ 邊形。5、若五邊形ABCDEK/A=ZB=ZC,ZD的外角為75,/D的外角與/E互余，則/B的度數(shù)是_ 6、 一個(gè)多邊形恰好有三個(gè)角是鈍角，這個(gè)多邊形最多有 _條邊二、 耐心選一選，你會(huì)開心（每題5分，共30分）7、 四邊形具有而三角形不具有的性質(zhì)是（）A、穩(wěn)定性B、不穩(wěn)定性C、內(nèi)角和是180D、無(wú)對(duì)角線8、下列結(jié)論正確的是（）A、在平面內(nèi)，由四條線段組成的圖形叫四邊形.B、由不在同一直線上的四條線段組成的

12、圖形叫四邊形.C、在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段組成的圖形叫四邊形.D、在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫四邊形9、若n邊形恰好有n條對(duì)角線，則門為（）A 4 B、5 C、6 D、710、 一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角的和為2000,則這個(gè)內(nèi)角是（）A 20B、160C、200D 14011、 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（）A、三角形B、四邊形C、六邊形D、八邊形12、 一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800,你知道原多邊形的邊數(shù)為（）A、11 B、12 C、13 D、11或12或13綜合創(chuàng)新三、 細(xì)心做一

13、做，你會(huì)成功（共40分）13、如圖，四邊形ABCD中,/A = 50, /ABC = 105, /BCD= 90, /1、/2、/3、/4中哪個(gè)角是四邊形ABCD勺外角？求出它的度數(shù).第一課時(shí)名稱四邊形五邊形六邊形n邊形圖形hOOO15、已知，如圖，六邊形ABCDEF勺各個(gè)角都相等，請(qǐng)判斷AB+ BC與DE+ EF的大小，并說(shuō)明你的理由.1、/D/A AD AB 2、18 3、60、9 5、12 6n3 n2 n1 n 7、D（點(diǎn)撥：正多邊形的內(nèi)角和邊長(zhǎng)都相等）、A（點(diǎn)撥：凸多邊形的每個(gè)內(nèi)角都小于180 ）9、C（點(diǎn)撥：可以分成n2個(gè)三角形）10、C（點(diǎn)撥：代入內(nèi)角和公式180（n2）11、D

14、（點(diǎn)撥：平行四邊形的對(duì)角相等）12、B（點(diǎn)撥：正多邊形的邊數(shù)每增加一條邊，則內(nèi)角和增加180）13、答：他的話不正確，如菱形的各邊都相等，但不是正多邊形，矩形的各角都相等，但也不是正多邊形。14、相同點(diǎn)：各邊都相等，外角和都相等；不同點(diǎn)：內(nèi)角和不相等，邊數(shù)不等。E16、由一個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)角123n3線條數(shù)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線把多邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)234n2圖形中對(duì)角線的條數(shù)259n(n -3)2第二課時(shí)：1、3602、60903、16 4、5405、9 6、八7、C（點(diǎn)撥：多邊形的內(nèi)角和是180的倍數(shù)）8、B（點(diǎn)撥：n個(gè)外角和為360）9、A（點(diǎn)撥：要保證四邊形的內(nèi)角和為180,所以不能4個(gè)銳角或四個(gè)鈍角）10、（點(diǎn)撥：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60 ， 所以多邊形的邊數(shù)為1）11、A（多邊形每增加一個(gè)邊，內(nèi)角和增加180）12、C（點(diǎn) 撥：如果四個(gè)鈍角，那么四邊形內(nèi)角和超過(guò)360 ）13、九邊形14、14：11：8:5:2 15、7016、他倆說(shuō)得都不對(duì)，可改為：各內(nèi)角都等于108，四個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5:6本節(jié)自測(cè)：1、三角形1803602、7 3、36,72,108 ,1444、四 八5、1406、6 7、B（點(diǎn)撥：多邊形中，只有三角形具有穩(wěn)定性）8、D（點(diǎn)撥：四邊形的定義有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是不在同一直線上的四條線段，