第8講：二次函數(shù)(專題講座)

1、聚焦2022丨第8講：二次函數(shù)專題講座一二次函數(shù)的解析式的三種形式1標準式：y=ax2+bx+c a 豐 0；2頂點式：y=ax+m2+n a工 0；3兩根式：y=ax xi x X2 a 豐 0【例1】二次函數(shù)y=f x同時滿足條件：1f 1+x= f 1 x;2y=f x的最大值是15; 3f x= 0的兩根立方和等于17。求y= f x的解析式。二二次函數(shù)的根本性質(zhì)1二次函數(shù)fx=ax2+bx+ca工0的圖像是一條拋物線，對稱 軸方程為x =，頂點坐標是2a是b 4ac b2 ,2a當a 0時，拋物線開口向上,函數(shù)在4acb *亠亠 b上遞減，在一 ，2a2a當a v 0時，拋物線開口向

2、下,函數(shù)在上遞增，在一,2a2a+ m 上遞減。2直線與曲線的交點問題: 二次函數(shù) f x=ax2+bx+c a 工0，當 = b2 4 ac 0 時，圖像 與x軸有兩個交點M i x i,0M2 x 2,0，于 是廠|M 1M 2 | = | x i x 2 | =。|a| 假設拋物線 y=ax 2+bx+c a豐0與直線y=mx+ n，那么其交點由二 方程組成的方程組的解來決定，而方程組的解由一元二次方程ax2+bx+c =mx+n，即px2+qx+r=0的解來決定，從而將交點問題歸結(jié)為判定一元次方程的判別式的符號決定。特別地，拋物線與 x軸的交點情況由ax2+bx+c=0的解的情況決定,

3、 于是也歸結(jié)為判定一元二次方程ax 2+bx+c = 0 的判別式的符號問題。當厶=b2-4ac0時，方程ax2+bx+c=0 有兩個不同的實數(shù)根，即對應的拋物線與x軸有兩個交點，此時二次函數(shù)的圖像被x軸截得的弦長L=|x 2 Xi|= .(X2Xi)2(x2 x1)2 4x1 x2|a|有兩個相等的實數(shù)根，即對當厶=b2 4ac=0 時，方程 ax2+bx+c=0應的拋物線與x軸只有一個交點，此時拋物線與x軸相切。無實數(shù)根，即對應的拋物線當厶=b2 4ac0,求a, b , c使該函數(shù)的最小值最大。三二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題1二次函數(shù) y=fx在閉區(qū)間上必有最值，且它只能在區(qū)間的端點與二次

4、函數(shù)圖像的頂點處取得最值。2二次函數(shù) y=fx在閉區(qū)間上必有最值受制于對稱軸與區(qū)間的相對位置關系，為此有以下四種情形:對稱軸和區(qū)間均是靜態(tài)的；對稱軸是動態(tài)的，但區(qū)間是靜態(tài)的； 對稱軸是靜態(tài)的，但區(qū)間均是動態(tài)的；對稱軸和區(qū)間均是動態(tài)的。3二次函數(shù) y=fx=ax2+bx+c a0在閉區(qū)間m , n上的最值：假設xb2am，那么y=fx在區(qū)間m , n上是增函數(shù)，此時必有 f mw f xw f n；假設m xb2aKn ,貝y y=f x的最小值為f(x) min =f(),2a但最大值應視對稱軸與區(qū)間端點的距離而定； 假設 m x bmn，貝U y=f x的最大值為f(x) max =f(n)

5、；2a 2 假設 m一nx n,那么 y=fX的最大值為f(x) max =f(m)；22a3假設x2a必有 f nw f xw f m。n，那么y=fx在區(qū)間m , n上是減函數(shù)，此時4二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解步驟：配方；注：關鍵是關心對稱軸是否一定在所給的區(qū)間內(nèi)。a 1【例3】函數(shù) y= x2+ax -+ 在區(qū)間042值是2,求實數(shù) a的值?！纠?】 2 0 0 3年全國高考試題a為實數(shù),a|+l, xR。1討論y= f x的奇偶性；2求y = fx的最小值。作圖；截斷。,1上的最大函數(shù) y = x2+ | x四設x 1, x2是實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c =a 0的兩個元二次

6、方程和一元二次二項式之間的聯(lián)系：一元二次不等式、 一元二次方程和一元二次二項式均可融匯在二次函數(shù)之中。1一元二次不等式 ax2+bx+c 0或ax2+bx+c v 0與對應的二次函 數(shù)的關系：當f x=0時，即為關于x的一元二次方程；2一元二次方程f x=0與對應的二次函數(shù)的關系主要是一元二次 方程的根的分布問題，對這類問題的思考應注意以下幾個方面：二次函數(shù)的開口方向；方程的根所在區(qū)間的端點；對稱軸；判 別式；二次函數(shù)的圖像與x軸的交點?！纠?5】集合 A= x, y|x2+mx y+2=0與 B= x, y|x y+1=0 , OW xw 2,假設A n BMQ,求實數(shù) m的取值范圍?！纠?

7、】假設對任意實數(shù) x, sin 2x+2kcosx 2k 2 v 0恒成立，求實數(shù) k的取值范圍。五在數(shù)學應用題中， 某些量的變化通常是遵循一定規(guī)律的，這些規(guī)律就是我們所說的函數(shù)， 建立函數(shù)模型解決應用題時，以二次函數(shù)最為常見，同時還涉及到二次函數(shù)的最值問題?！纠?】某商場以100元/件的價格購進一批羊毛衫，以高于進價的同 一價格出售，銷售有淡季和旺季之分，標價越高，購置的人數(shù)越少，我們稱 剛好無人購置時的最低標價為羊毛衫的最高價格，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1購置人數(shù)是羊毛衫標價的一次函數(shù)；32旺季的最高價格是淡季的最高價格的倍；23旺季時，商場以140元/件的價格出售能獲得最大利潤，試問羊毛衫的標價應

8、定為多少？【例8】某企業(yè)的原有產(chǎn)品，每年投入x萬元，可獲得的年利潤可1表示為函數(shù)：Px=x 302+8萬元。現(xiàn)開發(fā)一個回報率高科100技含量高的新產(chǎn)品，根據(jù)預測，新產(chǎn)品每年投入x萬元，可以獲得的利潤 Q99 257x= 100 x2+ 100 x萬兀。新產(chǎn)品開發(fā)從十五100 5方案的第一年開始， 用兩年的時間完成。 這兩年，每年從100萬元的生產(chǎn)準 備資金中，拿出80萬元來投入新產(chǎn)品的開發(fā)，從第三年開始，這100萬元完全用于新舊兩種產(chǎn)品的投入。1為了解決資金缺口，第一年初向銀行貸款 1000萬元，禾悴為5.5% 不計復利，第五年底一次性就向銀行歸還本息共多少萬元；2從新產(chǎn)品投產(chǎn)的第三年開始，從

9、100萬元的生產(chǎn)準備資金中，新舊兩種產(chǎn)品各應投入多少萬元，才能使利潤最大？3從新舊產(chǎn)品的五年最高總利潤中拿出70%來，能否還清對銀行的貸款？六二次函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，它的單調(diào)性和最值等特性決 定了它與不等式的內(nèi)在聯(lián)系，二次函數(shù)與不等式的巧妙結(jié)合是高考命題的一個新動向?！纠?】對二次函數(shù)f x=x2+bx+c b、c R，不管a、B為任何實數(shù)恒有 fsin a 0, f2+cos0。1求證:b+c=-1 ;2求證：c 3;3假設fsin a的最大值為8,求b、c的值?！痉治觥?依據(jù)題意f sin a?0 , f 2+cos0對于a、B為任何實數(shù)恒成立，那么不妨令sin a =1、cos 3

10、 = 1,貝U b+c+1 0, b+c+13 得，bw 4,即 2,且一1 w sin2aW 1，從而當 sin a = 1時，fsin a=8，所以1 b+c=8。故 b=-4 , c=3。注意：此題實質(zhì)是利用三角函數(shù)的有界性。的圖像經(jīng)過點一1 , 0,1-對一切實數(shù)x都成立？【例10】二次函數(shù) y= f x=ax2+bx+c2是否存在常數(shù)a、b、c,使不等式xw fxw 21求f 1的值;2求y=f x的解析式; n 1 2n3。k 1 f(k) n 2七二次函數(shù)的圖像問題：1y=ax 2+bx+c abc豐0，盡管如此，但由于二次函數(shù)的二次項的系數(shù)a相等，所以二次函數(shù)圖像形狀， 開口方

11、向完全相同， 只不過位置不同 而已，從而系數(shù) a決定二次函數(shù)的圖像形狀和開口方向，且 a的符號決定 開口方向，|a|決定拋物線開口的大小，即當a 0時，a越大，拋物線張口越??；a越小，拋物線張口越大；當a v 0時，|a|越大，拋物線張口越小；|a|越大，拋物線張口越小。2在直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像是一條以x= b/2a為對稱軸的拋物線。注意：該命題的逆命題不成立， 但下述命題是成立的： 對稱軸是y軸或 平行于y軸的拋物線所對應的函數(shù)是二次函數(shù)。3頂點坐標,4ac b 。2a 4a4二次函數(shù)的圖像過坐標原點c=0，而當x=0時，y=c稱為二次函數(shù)在y軸上的截距，任何一個二次函數(shù)的圖像與y軸

12、必相交且交點坐標為0, c。5二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標是對應的一元二次方程fx=0的實數(shù)根。6丨設二次函數(shù) y=ax 2+bx+c a豐0，那么 當a0且A0恒成立； 當a0且A0時，f x0時，拋物線的開口向上，函數(shù)y=fx在區(qū)間(一m, 一 2a,+m上單調(diào)遞增；此時函數(shù)在 x= 處取得2a2a上單調(diào)遞減；在最小直4a；4a2當 av 0K上單調(diào)遞增；在2a時，拋物線的開口向下，函數(shù)y=fX在區(qū)間一m,+m上單調(diào)遞減；此時函數(shù)在2abx=2a4ac b2處取得最大值4aC b 。4a四、重要結(jié)論：函數(shù)圖像的凹凸性二次函數(shù)f x=x2+ax+b ,那么對任意的xi ,Xi X2 一 f

13、(Xi) f (X2)f () w2X2 ,都有注：命題中并未明確指出a、b的范圍，說明所求證的式子與a、b的值無關，抓住此特征，該命題那么可改編為以下命題：紅)與f(Xi) f(X2)的大小; 2 2兀務與f(Xi) f(X2)的大小; 2xi x2使得f(i2)21、假設a=0，試比擬2、假設a=1，試比擬3、是否存在常數(shù)a,2f(Xi)f(X2)成立？假設成立，請求出a的取值范圍;答案：存在常數(shù)a,使f (假設不成立，請說明理由。Xi X2、 f(xj f(X2)2成立，且a的范圍是(m, 0。r X1X2、f (x1)f (x2)弟，人4、 函數(shù)f X具有性質(zhì)：f (-)-，現(xiàn)給出2

14、23函數(shù)：1y=x2; 2y=2X; 3y=log2x ; 4y=cosx, x , ； 52 2y=tanx , x 0 ,。那么在函數(shù)定義域內(nèi)具有這個性質(zhì)的函數(shù)有：1 224 5。1、 作以下函數(shù)的圖像：1y=x2 2x 3,x R； 2y=x2- 2x 3,x 2 21,2 ;3y=x 2|x| 3;4y=|x 2x 3|。2、作以下函數(shù)的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：2 2 11y=|x +3x 4| ;2y= x +2|x|+3 ;3y=x x 2變式1 :如圖，在直角坐標系內(nèi)有三點 00, 0、A 1, 0、B0, 1，點C在線段OB內(nèi)，當頂點在第一象限的拋物線 y=ax2+bx+c

15、a*0 過點A和點C時，試判斷以下各值的符號， 并說明理由。1a；2b; 3 c;4b2 4ac; 5a+b+c; 6a b+c; 7a+b+1。變式2：二次函數(shù) y=ax2+bx+ca*0的圖像如圖：1試確定a、b、c和b2-4ac的符號；2求OA?OB的值；3當OA=OC時，求a、b、之間的關系。25、 如果方程1+x-2x =k在K x w 1上有實數(shù)解，求k的取值范圍。變式引申1 :當m為怎樣的實數(shù)對，方程x2 4|x|+5=m有四個不相等的實數(shù)根？變式引申2:利用二次函數(shù)的圖像，討論方程x2 2|x|=a 1解的個數(shù)；6、 就m的取值范圍，討論方程 x2 4|x|+3=m的實根的個數(shù)

16、。變式引申：方程|x 2 4x+3|=mx有四個不相等的實根，求實數(shù)m范圍。2分析：方程|x 4x+3|=mx有四個不相等的根，就是直線y=mx與y=|x 2-4x+3|的圖像有四個公共點。設直線I : y=kx與y=f x的圖像有三個公共點，那么0km,于是依據(jù)方程組消去 y 得，x2+ k-4x+3=0 *令厶=k-42 12=0，解得 k=4 23。當k=4+2、. 3時，方程*的二根xi=X2=3 1, 3不滿足條件;當k=4 - 2 ： 3時，方程*的二根Xi=X2= 3 1, 3滿足條件。故 M=m|Ov mK 4-2 . 3 。例1、對任意實數(shù) m函數(shù)y =x2 - mx+5m

17、2的圖像恒經(jīng)過一個定點， 求此定點的坐標。1例2、設函數(shù)y=x2+x+ 的定義域為n , n+1n N，那么f x的值2域內(nèi)有丨個整數(shù)。答案：。全2652例4、 1試確定函數(shù)fx= a b( x 2 x)0ab 2x恒成立，求實數(shù)a的值，并求此時y=f x的最小值。全285例6、二次函數(shù)y=x2lga+2x+4lga的最大值為3，求實數(shù)a的值。全293例7、 1假設函數(shù)y=lg x2+2x+a 2的定義域為 R，求實數(shù)a的取 值范圍。2假設函數(shù)y=lg x2+2x+a 2丨的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍。 注意：總結(jié)上面兩題的結(jié)論。例8、二次函數(shù)y=f x的二次項系數(shù)為負數(shù)且對任意x恒有f2-

18、x2125=f f 2+x成立，試解不等式flog1(x x -)f log 1 (2xx -)。2 2 2 8全320例9、x滿足不等式2(log2 x)27log2 x 30。求函數(shù)xxy (log 2 )(log 2 )的最值。全 320422例10、函數(shù)y= 2(log2 x)alog2(x 2)b在x=1/2時有最小值1，試確定a、b的值。全323例11、設 a 0, b 0,且 x+2y=1/2。求 M= Mlog 1 (8xy24y2 1)的最值。全323例12、 fx= log4( x2 2x 3)。1求y=f X的定義域;2求y=f X的單調(diào)區(qū)間;3求函數(shù)y= fx的最大值，

19、并求最大值時的x值。例1、函數(shù)y=2x2- 6x+3, x 1, 1的最小值是。黑變式:函數(shù)y=f x+1=x2+x+1，那么 f x的最小值是AB1C-1/4D3/4火印例2、關于x 的函數(shù) y=x2 2mx+m 1 ,它的最小值為試求fm丨在閉區(qū)間0 , 2上的最值。黑變式1:求二次函數(shù)y=x2 2ax+a 2的圖像與x軸的兩個交點間距離的最小值，并求出最小值對應的x上的值。例3、假設實數(shù)x、y滿足x2+4 y 2=4x，求S=x 2+ y 2的值域。精析：依據(jù) x2+4 y 2=4x 得，4 y 2=4x-x 2+ 0,4x x232 o(x -) 43又 S= x 2+ y 2=S= x2-，于是利用二次函數(shù)3的圖像可知:當 x=4 時，Smax =16 ；當x=0時，Smin =0 ，S= x 2+y2的值域為0 ,變式：3x2+2y2=9x，求x2+ y 2的最大值與最小值。注：根本思想方法是化多元為兀。例4、次函數(shù) y=ax2+2ax+1 在3 , 2上有最大值 4，求實數(shù)a 的值。黑例5、函數(shù)y=x2 2x+3 a豐0丨在閉區(qū)間0, m上有最大值3 , 最小值2，那么實數(shù)m的取值范圍是A1,) B0,2C1 ,2D(,2答案：