第10章含有耦合電感的電路

1、第10章含有耦合電感的電路重點(diǎn)：1. 互感和互感電壓的概念及同名端的含義；2. 含有互感電路的計(jì)算；3. 空心變壓器和理想變壓器的電路模型。難點(diǎn)：1.2.3.耦合電感的同名端及互感電壓極性的確定； 含有耦合電感的電路的方程；含有空心變壓器和理想變壓器的電路的分析。本章與其它章節(jié)的：本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容建立在前面各章理論的基礎(chǔ)之上。預(yù)習(xí)知識(shí)：電磁感應(yīng)定律§10.1互感耦合電感元件屬于多端元件，在實(shí)際電路中，如收音機(jī)、電視機(jī)中的中周線(xiàn)圈、振蕩線(xiàn)圈，整流電源里使用的變壓器等都是耦合電感元件，熟悉這類(lèi)多端元件的特性，掌握包含這類(lèi)多端元件的電路問(wèn)題的分析方法是非常必要的。1. 互感兩個(gè)靠得很近的電感

2、線(xiàn)圈之間有磁的耦合，如圖 10.1 所示，當(dāng)線(xiàn)圈 1中通電流 i1 時(shí)，不僅圈 1 中產(chǎn)生磁通f11，同時(shí)，有部分磁通 f21 穿過(guò)臨近線(xiàn)圈 2，同理，若圈 2 中通電流i2時(shí)，不僅圈 2 中產(chǎn)生磁通f22，圖 10.1同時(shí)，有部分磁通f12 穿過(guò)線(xiàn)圈 1，f12和 f21 稱(chēng)為互感磁通。定義互磁鏈：12N11221N221=當(dāng)周?chē)臻g是各向同性的線(xiàn)性磁介質(zhì)時(shí)，磁通鏈與產(chǎn)生它的施感電流成正比，即有自感磁通鏈：互感磁通鏈：上式中M12和M21稱(chēng)為互感系數(shù)，為（H）。當(dāng)兩個(gè)線(xiàn)圈都有電流時(shí)，每一線(xiàn)圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數(shù)和：需要指出的是：）M 值與線(xiàn)圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線(xiàn)圈中的

3、電流無(wú)關(guān)，因此，滿(mǎn)足M12 =M21 =M）自感系數(shù) L 總為正值，互感系數(shù) M 值有正有負(fù)。正值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向一致，互感起增助作用，負(fù)值表示自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，互感起削弱作用。2. 耦合因數(shù)工程上用耦合因數(shù) k 來(lái)定量的描述兩個(gè)耦合線(xiàn)圈的耦合緊密程度， 定義一般有：當(dāng) k =1 稱(chēng)全耦合，沒(méi)有漏磁，滿(mǎn)足f11 = f21f22 = f12，。耦合因數(shù) k 與線(xiàn)圈的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)。3. 耦合電感上的電壓、電流關(guān)系當(dāng)電流為時(shí)變電流時(shí)，磁通也將隨時(shí)間變化，從而圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律得每個(gè)線(xiàn)圈兩端的電壓為：即線(xiàn)圈兩端的電壓均包含自感電壓

4、和互感電壓。在正弦交流電路中，其相量形式的方程為注意： 當(dāng)兩線(xiàn)圈的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致時(shí)，稱(chēng)為互感的“增助”作用，互感電壓取正；否則取負(fù)。以上說(shuō)明互感電壓的正、負(fù)：（1）與電流的參考方向有關(guān)。（2）與線(xiàn)圈的相對(duì)位置和繞向有關(guān)。4. 互感線(xiàn)圈的同名端由于產(chǎn)生互感電壓的電流在另一線(xiàn)圈上，因此，要確定互感電壓的符號(hào)，就必須知道兩個(gè)線(xiàn)圈的繞向，這在電路分析中很不方便。為了解決這一問(wèn)題引入同名端的概念。同名端 當(dāng)兩個(gè)電流分別從兩個(gè)線(xiàn)圈的對(duì)應(yīng)端子同時(shí)流入或流出時(shí)，若產(chǎn)生的磁通相互增強(qiáng)，則這兩個(gè)對(duì)應(yīng)端子稱(chēng)為兩互感線(xiàn)圈的同名端，用小圓點(diǎn)或星號(hào)等符號(hào)標(biāo)記。例如圖 10.2 中線(xiàn)圈 1 和線(xiàn)圈 2 用小圓點(diǎn)

5、標(biāo)示的端子為同名端，當(dāng)電流從這兩端子同時(shí)流入或流出時(shí)，則互感起相助作用。同理，線(xiàn)圈 1 和線(xiàn)圈 3 用星號(hào)標(biāo)示的端子為同名端。線(xiàn)圈 2 和線(xiàn)圈圖 10.23 用三角標(biāo)示的端子為同名端。注意：上述圖示說(shuō)明當(dāng)有多個(gè)線(xiàn)圈之間存在互感作用時(shí)，同名端必須兩兩線(xiàn)圈分別標(biāo)定。根據(jù)同名端的定義可以得出確定同名端的方法為：(1) 當(dāng)兩個(gè)線(xiàn)圈中電流同時(shí)流入或流出同名端時(shí)，兩個(gè)電生的磁場(chǎng)將相互增強(qiáng)。(2) 當(dāng)隨時(shí)間增大的時(shí)變電流從一線(xiàn)圈的一端流入時(shí)，將會(huì)引起另一線(xiàn)圈相應(yīng)同名端的電位升高。兩線(xiàn)圈同名端的實(shí)驗(yàn)測(cè)定：實(shí)驗(yàn)線(xiàn)路如圖 10.3 所示，當(dāng)開(kāi)關(guān)S 閉合時(shí)，線(xiàn)圈 1 中流入星號(hào)一端的電流 i 增加，在線(xiàn)圈 2 的星

6、號(hào)一端產(chǎn)生互感電壓的正極，則電壓表正偏。圖 10.3有了同名端，以后表示兩個(gè)線(xiàn)圈相互作用，就不再考慮實(shí)際繞向，而只畫(huà)出同名端及電流和電壓的參考方向即可，如圖 10.4 所示。根據(jù)標(biāo)定的同名端和電流、電壓參考方向可知：圖 10.4 （a）圖 10.4（b）（a）圖（b）圖例 10-1 ，（a）、（b）、（c）、（d）四個(gè)互感線(xiàn)圈，已知同名端和各線(xiàn)圈上電壓電流參考方向，試寫(xiě)出每一互感線(xiàn)圈上的電壓電流關(guān)系。例 10-1 圖（a）例 10-1 圖（b）例 10-1 圖（c）例 10-1 圖（d）解：（a）（b）（c）（d）§10.2含有耦合電感電路的計(jì)算含有耦合電感（簡(jiǎn)稱(chēng)互感）電路的計(jì)算要注

7、意：(1) 在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，有互感的電路的計(jì)算仍可應(yīng)用前面介紹的相量分析方法。(2) 注意互感線(xiàn)圈上的電壓除自感電壓外，還應(yīng)包含互感電壓。(3) 一般采用支路法和回路法計(jì)算。因?yàn)轳詈想姼兄返碾妷翰粌H與本支路電流有關(guān)，還與其他某些支路電流有關(guān)，若列結(jié)點(diǎn)電壓方程會(huì)遇到，要另行處理。1. 耦合電感的串聯(lián)圖 10.5（1） 順向串聯(lián)圖 10.5 所示電路為耦合電感的串聯(lián)電路，由于互感起“增助”作用，稱(chēng)為順向串聯(lián)。按圖示電壓、電流的參考方向，KVL 方程為：根據(jù)上述方程可以給出圖 10.6 所示的無(wú)互感等效電路。等效電路的參數(shù)為：圖 10.6（2） 反向串聯(lián)圖 10.7 所示的耦合電感的串聯(lián)電路，由

8、于互感起“削弱”作用，稱(chēng)為反向串聯(lián)。按圖示電壓、電流的參考方向，KVL 方程為圖 10.7根據(jù)上述方程也可以給出圖 10.6 所示的無(wú)互感（去耦）等效電路。但等效電路的參數(shù)為：在正弦穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下，應(yīng)用相量分析，圖 10.5 和圖 10.7 的相量模型如圖 10.8 所示。圖 10.8 （a）圖 10.8（b）圖（a）的 KVL 方程為：輸入阻抗為：可以看出耦合電感順向串聯(lián)時(shí)，等效阻抗大于無(wú)互感時(shí)的阻抗。順向串聯(lián)時(shí)的相量圖如圖 10.9 所示。圖（b）的 KVL 方程為：圖 10.9輸入阻抗為：可以看出耦合電感反向串聯(lián)時(shí)，等效阻抗小于無(wú)互感時(shí)的阻抗。反向串聯(lián)時(shí)的相量圖如圖 10.10 所示。注意：

9、（1） 互感不大于兩個(gè)自感的算術(shù)平均值，整個(gè)電路仍呈感性，即滿(mǎn)足關(guān)系：（2）根據(jù)上述討論可以給出測(cè)量互感系數(shù)的方法：把兩線(xiàn)圈順接一次，反接一次，則互感系數(shù)為：圖 10.102. 耦合電感的并聯(lián)（1）同側(cè)并聯(lián)圖 10.11 為耦合電感的并聯(lián)電路，由于同名端連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，稱(chēng)為同側(cè)串聯(lián)。根據(jù) KVL得同側(cè)并聯(lián)電路的方程為：由于 i =i1 + i2圖 10.11解得 u, i 的關(guān)系：根據(jù)上述方程可以給出圖 10.12 所示的無(wú)互感等效電路，其等效電感為：圖 10.12（2） 異側(cè)并聯(lián)圖 10.13 中由于耦合電感的異名端連接在同一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，故稱(chēng)為異側(cè)并聯(lián)。此時(shí)電路的方程為：考慮到： ii1i

10、2=+圖 10.13解得 u , i的關(guān)系：根據(jù)上述方程也可以給出圖 10.12所示的無(wú)互感等效電路，其等效電感為：3. 耦合電感的 T 型去耦等效如果耦合電感的 2 條支路各有一端與第三條支路形成一個(gè)僅含三條支路的共同結(jié)點(diǎn)如圖 10.14所示，稱(chēng)為耦合電感的 T型聯(lián)接。顯然耦合電感的圖 10.14圖 10.15并聯(lián)也屬于 T 型聯(lián)接。（1）同名端為共端的 T 型去耦等效圖 10.14 的電路為同名端為共端的 T 型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得：由上述方程可得圖 10.15 所示的無(wú)互感等效電路。（2） 異名端為共端的 T 型去耦等效圖 10.16圖 10.17圖 10.16 的電路為

11、異名端為共端的 T 型聯(lián)接。根據(jù)所標(biāo)電壓、電流的參考方向得：由上述方程可得圖 10.17 所示的無(wú)互感等效電路。注意：T型去耦等效電路中 3 條支路的等效電感分別為：支路3：（同側(cè)取“ + ”，異側(cè)取“”）支路1：支路2：例 10-2，求圖（a）、（b）所示電路的等效電感。例 10-2 圖（a）例 10-2 圖（b）解：（a）圖中 4H 和 6H 電感為 T 型結(jié)構(gòu)，應(yīng)用 T 型去耦等效得圖（c）電路。則等效電感為：例 10-2 圖（c）例 10-2 圖（d）（b）圖中 5H 和 6H 電感為同側(cè)相接的T 型結(jié)構(gòu)，2H 和 3H 電感為異側(cè)相接的T 型結(jié)構(gòu)，應(yīng)用T 型去耦等效得圖（d）電路。則

12、等效電感為：例 10-3，圖（a）為有耦合電感的電路，試列寫(xiě)電路的回路電流方程。例 10-3（a）例 10-3（b）解：設(shè)網(wǎng)孔電流如圖（b）所示，為順時(shí)針?lè)较?，則回路方程為：注意： 列寫(xiě)有互感電路的回路電流方程是，注意互感電壓的極性和不要遺漏互感電壓。§10.3空心變壓器變壓器由兩個(gè)具有互感的線(xiàn)圈，一個(gè)線(xiàn)圈接向電源，另一線(xiàn)圈接向負(fù)載。變壓器是通過(guò)互感來(lái)實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的器件。當(dāng)變壓器線(xiàn)圈的芯子為非鐵磁材料時(shí)，稱(chēng)空心變壓器。1.空心變壓器電路圖 10.18 為空心變壓器的電路模型，與電源相接的回路稱(chēng)為原邊回路（或初級(jí)回路），與負(fù)載相接的回路稱(chēng)為副邊回路（或次級(jí)回

13、路）。圖 10.182. 分析方法（1） 方程法分析在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，圖 10.18 電路的回路方程為：令稱(chēng)為原邊回路阻抗，稱(chēng)為副邊回路阻抗。則上述方程簡(jiǎn)寫(xiě)為：從上列方程可求得原邊和副邊電流：（2） 等效電路法分析等效電路法實(shí)質(zhì)上是在方程分析法的基礎(chǔ)上找出求解的某些規(guī)律，歸納總結(jié)成公式，得出等效電路，再加以求解的方法。首先討論圖 10.18 的原邊等效電路。令上述原邊電流的分母為：則原邊電流為：根據(jù)上式可以畫(huà)出原邊等效電路如圖 10.19 所示。上式中的 Zf 稱(chēng)為引入阻抗（或反映阻抗），是副邊回路阻抗通過(guò)互感反映到原邊的等效阻抗，它體現(xiàn)了副邊回路的存在對(duì)原邊回路電流的影響。 從物理意義講，雖

14、然原、副邊沒(méi)有電的，但由于互感作用使閉合的副邊產(chǎn)生電流，反過(guò)來(lái)這個(gè)電流又影響原邊電流電壓。圖 10.19把引入阻抗 Zf 展開(kāi)得：上式表明：（1）引入電阻不僅與次級(jí)回路的電阻有關(guān)，而且與次級(jí)回路的電抗及互感有關(guān)。（2）引入電抗的負(fù)號(hào)反映了引入電抗與付邊電抗的性質(zhì)相反。可以證明引入電阻消耗的功率等于副邊回路吸收的功率。根據(jù)副邊回路方程得：方程兩邊取模值的平方：從中得：應(yīng)用同樣的方法分析方程法得出的副邊電流表達(dá)式。令則根據(jù)上式可以畫(huà)出副邊等效電路如圖 10.20 所示。上式中的Z2f 稱(chēng)為原邊回路對(duì)副邊回路的引入阻抗，它與 Z1f 有相同的性質(zhì)應(yīng)用戴維寧定理也可以求得空心變壓器副邊的等效電路。（3

15、） 去耦等效法分析對(duì)空心變壓器電路進(jìn)行 T 型去耦等效，變?yōu)闊o(wú)互感的電路，再進(jìn)行分析。圖 10.20，例 10-4，圖（a）為空心變壓器電路，已知電源電壓 US=20V,原邊引入阻抗 Zl=10j10，求:負(fù)載阻抗 ZX 并求負(fù)載獲得的有功功率。例 10-4 圖（a）解：圖（a）的原邊等效電路如圖（b）所示，引入阻抗為：從中解得：例 10-4 圖（b）此時(shí)負(fù)載獲得的功率等于引入電阻消耗的功率，因此：注意：電路實(shí)際處于最佳匹配狀態(tài)，即§10.4理想變壓器理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型，是對(duì)互感元件的理想科學(xué)抽象，是極限情況下的耦合電感。1理想變壓器的三個(gè)理想化條件條件 1 ：無(wú)損耗

16、，認(rèn)為繞線(xiàn)圈的導(dǎo)線(xiàn)無(wú)電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無(wú)限大。條件 2 ：全耦合，即耦合系數(shù)條件 3 ：參數(shù)無(wú)限大，即自感系數(shù)和互感系數(shù)但滿(mǎn)足：上式中 N1 和 N2 分別為變壓器原、副邊線(xiàn)圈匝數(shù)， 實(shí)際中不可能滿(mǎn)足，但在一些實(shí)際工程概算中，在誤差壓器對(duì)待，可使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化。n 為匝數(shù)比。以上三個(gè)條件在工程的范圍內(nèi)，把實(shí)際變壓器當(dāng)理想變2. 理想變壓器的主要性能滿(mǎn)足上述三個(gè)理想條件的理想變壓器與有互感的線(xiàn)圈有著質(zhì)的區(qū)別。具有以下特殊性能。（1）變壓關(guān)系圖 10.21 為滿(mǎn)足三個(gè)理想條件的耦合線(xiàn)圈。由于，所以因此圖 10.21根據(jù)上式得理想變壓器模型如圖 10.22 所示。注意：理想變壓器的變壓關(guān)系

17、與兩線(xiàn)圈中電流參考方向的假設(shè)無(wú)關(guān)，但與電壓極性的設(shè)置有關(guān)，若 u1、u2 的參考方向的“+”極性端一個(gè)設(shè)在同名端，一個(gè)設(shè)在異名端，如圖 10.23 所示，此時(shí) u1 與u2 之比為：圖 10.22（2）變流關(guān)系根據(jù)互感線(xiàn)圈的電壓、電流關(guān)系（電流參考方向設(shè)為從同名端同時(shí)流入或同時(shí)流出）：圖 10.23則代入理想化條件：，圖 10.24得理想變壓器的電流關(guān)系為：注意：理想變壓器的變流關(guān)系與兩線(xiàn)圈上電壓參考方向的假設(shè)無(wú)關(guān)，但與電流參考方向的設(shè)置有關(guān)，若 i1、i2 的參考方向一個(gè)是從同名端流入，一個(gè)是從同名端流出，如圖 10.24 所示，此時(shí) i1 與 i2 之比為：（3）變阻抗關(guān)系設(shè)理想變壓器次級(jí)接阻抗 Z ，如圖 10.25 所示。由理想變壓器的變壓、變流關(guān)系得初級(jí)端的輸入阻抗為：圖 10.25由此得理想變壓器的初級(jí)等效電路如圖 10.26 所示，把Zin 稱(chēng)為次級(jí)對(duì)初級(jí)的折合等效阻抗。注意：理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)只改變阻抗的大小，不改變阻抗的性質(zhì)。（4）功