復數代數形式的乘除運算

1、復數代數形式的乘除運算教案教學目標：1 知識與技能：理解并掌握復數的代數形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算2 過程與方法：理解并掌握復數的除法運算實質是分母實數化類問題3 情感、態(tài)度與價值觀：復數的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不 易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數集的擴充的，讓學生體會到這是生產實踐的需要從而讓學生積極主動地建構知識體系。教學重點：復數代數形式的除法運算。教學難點：對復數除法法則的運用。課型:新知課教具準備：多媒體教學過程：復習提問： 已知兩復數z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是實數） 加法法則：z1+z2=(a

2、+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.減法法則：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.即:兩個復數相加(減)就是 實部與實部,虛部與虛部分別相加(減) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i復數的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.復數的加法運算滿足結合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)講解新課：一 復數的乘法運算規(guī)則：規(guī)定復數的乘法按照以下的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc

3、+ad)i.其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數的積仍然是一個復數. 探究:復數的乘法是否滿足交換律、結合律?乘法對加法滿足分配律嗎?二.乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，

4、b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R). (z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：z1(

5、z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b

6、2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1計算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 復數的乘法與多項式的乘法是類似的 我們知道

7、多項式的乘法用乘法公式可迅速展開運算,類似地,復數的乘法也可大膽運用乘法公式來展開運算.例2計算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.練習課后第2題三.共軛復數：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數通常記復數的共軛復數為。 思考:若z1, z2是共軛復數,那么 (1)在復平面內,它們所對應的點有怎樣的位置關系? (2)z1z2是怎樣的一個數? 探究:類比實數

8、的除法是乘法的逆運算,我們規(guī)定復數的除法是乘法的逆運算.試探求復數除法法則. 四:除法運算規(guī)則：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復數x+yi(x,yR)叫復數a+bi除以復數c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者設復數a+bi(a，bR)，除以c+di(c，dR)，其商為x+yi(x，yR)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy)+(dx+cy)i=a+bi.由復數相等定義可知解這個方程組，得于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.利用(c+di)(cdi)=c2+d2.于是將的分母有理化得：原式=.(a+bi)÷(c+di)=.點評：是常規(guī)方法，是利用初中我們學習的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(cdi)=c2+d2是正實數.所以可以分母"實數"化. 把這種方法叫做分母實數化法例3計算解：1 先寫成分式形式2 然后分母實數化即可運算.(一般分子分母同時乘以分母的共軛復數)3 化簡成代數形式就得結果練習:課后第3題(1)(3)小結:作業(yè):教學反思