動點軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計探究-教育文檔

1、動點軌跡問題拓展性教學(xué)設(shè)計探究拓展性課程以培育學(xué)生的主體意識、完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為宗旨,從教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)及過程中開發(fā)學(xué)生的潛能,促進學(xué)生個性的開展,是一種表達不同根底要求、具有一定開放性的課程.近年來,在各地中考中出現(xiàn)一類求動點軌跡的問題,這一熱點問題與高中數(shù)學(xué)教學(xué)緊密銜接,故以動點軌跡問題為專題的拓展性課程勢在必行.由于較難確定動點軌跡的形狀,學(xué)生往往無從下手.通過此課程的學(xué)習(xí),能讓學(xué)生領(lǐng)會解決動?c軌跡問題的常用方法,提升學(xué)生綜合運用圓與一次函數(shù)等知識的水平.在解決動點軌跡問題的過程中,滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程等思想方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識和將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力,開展學(xué)生的幾何

2、直觀,鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的想法,勇于質(zhì)疑,大膽創(chuàng)新,養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度.一、點動成圓一等長判別法動點到某一定點的距離為定值.其原理為圓的定義：到一個定點的距離等于定長的點的軌跡.例1如圖1,一根長為2m的木棒AB斜靠在墻角處,此時BC為1m,當(dāng)A點下滑至A'處并且A'C=1m時,木棒AB的中點P運動的路徑長為.答案解析如圖2,連結(jié)CP,CP. ./ACB=90,BC=1rpAB=2rp ./BAC=30, P是木棒AB的中點, .PC=PA=im ./PCA=30,同理求出/B'CP=30°,那么/PCP=30&#

3、176;, 木棒AB的中點P運動的路徑長為：30360X2兀X1=兀6m.故答案為：兀6m.功能分析根底題.此題為學(xué)生之前遇到過的常規(guī)題,意在讓學(xué)生回憶動點軌跡是圓弧的情況,理解等長判別法的含義,理解動點到某一定點的距離為定值時,動點的軌跡是圓弧.教學(xué)建議在學(xué)生自主解答的根底上,著重引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半這個性質(zhì)得到動點P到定點C的距離為定值1,故動點P的運動軌跡為圓弧.練習(xí)1如圖3,在RtABC紙片中,/C=90°,AC=BC=4點P在AC上運動,將紙片沿PB折疊,得到點C的對應(yīng)點DP在C點時,點C的對應(yīng)點是本身,那么折疊過程對應(yīng)點D的路徑長是.答案解析./

4、C=90°,AC=BC.ABC是等腰直角三角形.如圖4,點D的路徑是以點B為圓心,以BC的長為半徑的扇形,路徑長=90?兀?4180=2兀.故答案為：2兀.功能分析中檔題.進一步理解動點到某一定點的距離為定值時,動點的軌跡是圓弧.培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件和潛在信息,理性分析運動過程中所保持的不變性質(zhì)的水平.教學(xué)建議在例1的根底上解決此題,許多學(xué)生有了經(jīng)驗方法,可以大膽放手讓其嘗試,教師只需適時點撥引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)動點D到定點B的距離為定值4,故動點D的運動軌跡為圓弧.只需要知道動點D的起點與終點即可求出路徑長.變式1如圖5,在平行四邊形ABC沖,/BCD=30,BC=4CD=32,M是AD邊

5、的中點,N是AB邊上的一動點,將AMN沿MN0f在直線翻折得到AMN連接AC,那么A'C長度的最小值是.圖5ANBDMCA>答案解析由題得動點A到定點M的距離為定值2,故動點A'的運動軌跡為圓弧.作MES直CD的延長線于點E,由勾股定理易得：CM=7故最小值為MCA'C=7-2=5.故答案為5.功能分析拓展題.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動點軌跡的知識解決其他類型的題目,拓寬學(xué)生的思維,增強學(xué)生對知識點的運用水平教學(xué)建議師生共同分析,教師可以讓有水平的學(xué)生多發(fā)表自己的見解,抓住時機點撥,表揚他們,也可以鼓勵其他學(xué)生積極探索,查找自己的思維誤區(qū),爭取有新的突破.二等角判別法一動點與

6、兩定點所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值.其原理為圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等.反之,假設(shè)一個動點P能使得以其為頂點的/APB大小不變,且AB為固定線段,那么點P就在以AB為一條弦且過點P的圓上運動如圖6.例2如圖7,半徑為4的00中,CD為直徑,弦ABLCD且過半徑OD的中點,點E為00上一動點,CF,AE于點F.當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時,點F所經(jīng)過的路徑長為答案解析如圖8,聯(lián)結(jié)ACAO由AB!CD利用垂徑定理得到G為AB的中點,由中點的定義確定出OG勺長,在直角三角形AOGK由AO與OG的長,利用勾股定理求出AG的長,進而確定出AB的長,由CO+GO：出CG的長,在直角三角形AGB

7、,利用勾股定理求出AC的長,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始終為直角三角形,點F的運動軌跡為以AC為直徑的半徑,當(dāng)E位于點B時,CGLAE,此時F與G重合；當(dāng)E位于D時,CALAE,此時F與A重合,可得出當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時,點F所經(jīng)過的路徑長AG,在直角三角形AC5,利用銳角三角函數(shù)定義求出/ACG的度數(shù),進而確定出AG所對圓心角的度數(shù),再由AC的長求出半徑,利用弧長公式即可求出AG的長,即可求出點F所經(jīng)過的路徑長為233兀.功能分析此題的解決,意在讓學(xué)生理解當(dāng)一動點與兩定點所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時,動點軌跡為圓弧.為后面的練習(xí)做鋪墊.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以引導(dǎo)學(xué)生

8、發(fā)現(xiàn)動點F與定點A,C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值即/AFC=90,故動點F的運動軌跡是圓弧,線段AC是直徑,因此只要知道點F運動的起點與終點便可得出答案.練習(xí)2如圖9,直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸交于A,B兩點,點P為線段OA上的動點,聯(lián)結(jié)BP,過點A作AM垂直于直線BP,垂足為M,當(dāng)點P從點O運動到點A時,那么點M運動路徑的長為.答案解析根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的特點可得A,B兩點坐標(biāo),由題意可得點M運動的路徑是以AB的中點N為圓心,AB長的一半為半徑的OA,易得OA的長度為2兀.功能分析此題的解決,意在穩(wěn)固學(xué)生對當(dāng)一動點與兩定點所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時,動點軌跡為圓弧的理解.教學(xué)建議學(xué)生獨立完

9、成,師生共同訂正答案.教師小結(jié),等角判別法：動點與兩定點所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值時,動點軌跡為圓弧.當(dāng)動點M與定點A,B所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值即/AMB=90,動點M的運動軌跡是圓弧,線段AB是直徑.變式2如圖10,在邊長為4的等邊三角形ABC中,點D和點E分別是邊AB和BC上的兩個動點,且BD=CEAE與CD相交于點P,那么BP長度的最小值是.答案解析由BCgACE全等可以彳4到動點P與定點A,C所構(gòu)成的角的度數(shù)為定值/APC=120,故動點P的運動軌跡是圓弧,線段AC是弦.如圖11,易得BP=433.功能分析拓展題.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用動點軌跡為圓弧的知識解決其他類型的題目,拓寬學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生

10、對知識點的運用水平.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中BCD與4ACE全等,再引導(dǎo)學(xué)生判別動點P的運動軌跡,最后讓局部學(xué)生發(fā)表自己的見解,抓住時機點撥,表揚他們,也可以鼓勵其他學(xué)生積極答復(fù).設(shè)計小結(jié)確定動點軌跡為圓的一般方法有兩種,等長判別法和等角判別法.幾何動點路徑問題需要挖掘隱含條件和潛在信息,理性分析運動過程中所保持的不變性質(zhì),在此過程可通過畫圖(起點、終點、中間關(guān)鍵點)判斷路徑形狀和范圍,然后通過數(shù)學(xué)方法進行分析驗證及幾何建構(gòu)進行轉(zhuǎn)化.二、點動成線坐標(biāo)判別法：當(dāng)動點P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個變量x(指數(shù)為1)表達時,那么動點軌跡為一直線.例1如圖12,在平面直角坐標(biāo)系中,A

11、(2,0),B(0,3),過點B作直線/x軸,點P(a,3)是直線上的動點,以AP為邊在AP右側(cè)作等腰RtAAPCQ/APQ=Rf,直線AQ交y軸于點C.當(dāng)點P在直線上運動時,點Q也隨之運動,那么點Q運動路線的函數(shù)表達式為.答案解析過點P作EF,OA垂足為E,過點Q作Q吐EF,垂足為F,如圖13.易得PEHAQFP. .PE=QFEA=PF.假設(shè)點P的坐標(biāo)為a,3,貝UPE=QF=3EA=PF=|2-a|. 點Q的坐標(biāo)為a+3,5-a.;無論a為何值,點Q的坐標(biāo)a+3,5-a都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+8, 點Q始終在直線y=-x+8上運動.功能分析培養(yǎng)學(xué)生利用求出動點的坐標(biāo)從而得知動點軌跡

12、的判別方法.理解坐標(biāo)判別法：當(dāng)動點P的橫縱坐標(biāo)都能用同一個變量x指數(shù)為1表達時,那么動點軌跡為一直線.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以先引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標(biāo)系中,根據(jù)條件求出點Q的坐標(biāo),再提示可以用K形圖來解決這個問題,然后請學(xué)生答復(fù)解題步？E.最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動點P的運動軌跡為一次函數(shù)即直線,最后師生一起解出最后答案.例2如圖14,AB=10,P是線段AB上的動點,分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊ACP和4PDB聯(lián)結(jié)CD設(shè)CD的中點為G,當(dāng)點P從點A運動到點B時,那么點G移動路徑的長是.功能分析拓展題.加深學(xué)生對點動成線問題的理解.教學(xué)建議師生共同分析,教師可以先引導(dǎo)設(shè)出動點P與定點A的坐標(biāo),再引導(dǎo)學(xué)生利用K形圖解出點B的坐標(biāo),最后再引導(dǎo)學(xué)生判別動點P的運動軌跡為直線,只需要求出它的起點與終點,就能求出路徑長.教師