函數(shù)的連續(xù)性在高等代數(shù)中的應用

1、函數(shù)的連續(xù)性在高等代數(shù)中的應用摘要：數(shù)學分析和高等代數(shù)是大學數(shù)學專業(yè)非常重要的根底課程,這兩門課程的一些問題如果只是從學科內部出發(fā)很難解決,而運用另一門學科的知識解決,問題就變得簡單易行.關鍵詞：連續(xù)函數(shù)；行列式；矩陣；二次型ApplicationsofContinuityofFunctioninAdvancedAlgebraZhouYuxia(CollegeofMathematicsandtheInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730000)Abstract:Themathematicalanalysisandadvanc

2、edalgebraareveryimportantfoundationcoursesofuniversitymathematicsspecial?eld,someoftheproblemsofbothcourseswithinthediscipline,ifonlyfromthestartaredif-?culttoresolvebutusedoftheknowledgeofotherdisciplinestosolve,theproblembecomesveryeasy.Keywords:continuousfunction;matrix;determinant;quadraticform本

3、文記號說明：const:常數(shù)；AT:矩陣A的轉置；A:矩陣A的伴隨矩陣;f(x)C(a,b):f(x)在(a,b)上連續(xù).一引言數(shù)學分析和高等代數(shù)都是高等教育中非常重要數(shù)學根底課,無論是數(shù)學專業(yè)的學生還是其他理工科專業(yè)的學生,都要學好這兩門根底課.稍微有點區(qū)別就是非數(shù)學專業(yè)開設的是等數(shù)學或者微積分和線性代數(shù),但這只是課程名稱的變化,具體學習內容都是一樣的.因此,學好這兩門課程是學好大學數(shù)學課程的關鍵.學生應該掌握數(shù)學分析和高等代數(shù)之間深刻的聯(lián)系,以便更容易了解、學習、掌握這兩門根底課,為以后更深入的學習深造打好扎實根底.本文只探究數(shù)學分析在高等代數(shù)中的應用,包括利用數(shù)學分析中的函數(shù)連續(xù)性解決某

4、些行列式、矩陣、二次型問題.至于高等代數(shù)在數(shù)學分析中的應用本文暫不探究.二函數(shù)連續(xù)性的應用函數(shù)的連續(xù)性不僅在數(shù)學分析學科內部有很重要的地位,在跨學科比方高等代數(shù)中也有很重要的作用.以下簡要說明一下數(shù)學分析中函數(shù)連續(xù)性在高等代數(shù)中多個方面的應用.1函數(shù)連續(xù)性在解決行列式問題中的應用行列式是學生剛接觸到大學數(shù)學課程后,在高等代數(shù)方面遇到的第一個新概念,運用已有知識學習新概念,能使學生更容易理解和掌握.以下說明函數(shù)的連續(xù)性在解決行列式問題中的局部應用.例1設A,B,C,D都是n階矩陣,AC=CA假設|A|豐0,那么ABCD=|ADCB這個命題是8的P203的補充題6,該命題是正確的2,5,6,7,但

5、網(wǎng)二°這個條件是可以去掉的,此時結論依然成立.現(xiàn)證實如下：當|A|=0時,？6=const>0,對？eC(0,6),矩陣A=A+£E可逆,即1A尸0.AC=AC+£C=CA+£C=CA£.從而ABCDAD-CB顯而上式等號兩端都是關于e之連續(xù)函數(shù),故可在兩端同時令e-0+,即得到AB.=|AD-CBCD故結論成立.命題(1)F,其中F是一個數(shù)域,對任何方陣A£=A+&E,除有限個值外均為非奇異矩陣.(2)?6=const>0,對？£(0,8),A£=A+£E均為可逆矩陣.(1)A奇異?

6、|A|=|A+eE|=|£E-(-A)|=0e為-A的特征根.而矩陣-A最多有n個不同的特征根,可見除了有限個-A的特征根外,A£為非奇異陣.2由于-A其至多有有限個特征根,記其為入1,入2,不妨設入1=0,今設6是-A的非0特征根的絕對值或模之最小值,那么對？eC0,6,Ae=A+eE為非奇異陣.例2證實：A*=|A|n-2A,其中A是nxn矩陣n>2).證當A為非奇異矩陣時,由A*=|A|A-1知(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|A|(|A|A)川端n_2=AA當A為奇異矩陣時,對一切充分小的e>0,矩陣A£A+eE為非奇異矩陣,由上述已證結

7、論有,*nO*n.2A二；IA-J,A；上式矩陣中的每個元素均為£之連續(xù)函數(shù),所以令力0.*一C(A*)=A、AailllamanilIannAjk是ajk的代數(shù)余子式,求證aiiUklnXinaniannXn=、AjkXjyk.j,kJyiHyni設人=(akl,X=(Xi川,xn),aMlainXi：Aani川annXnYyiMlyn1(1)當A為非奇異矩陣時,AXAXrTr1Y101-YAX=A(1-YA'XIa*A-Yf-X111同n=|A|YA*X=|A|一£A-jk=1(2)當A為奇異矩陣時,根據(jù)命題1知,至=const>0,使得對U6w0,6),

8、有A3A+些為非奇異矩陣,那么口A.X-.丫一2-2AjkXj.yk,丫J-jk=1故結論得證.顯而上式兩端均為E的連續(xù)函數(shù),故可以在兩端同時令名T0+,得AX.nv1=|A|-工AjkX"Y1j,k=1故結論得證.例4設實數(shù)域上的矩陣l,ai1ai2IIIain221a22HI22nA.,©n1An2IIIAnn滿足aj>£|aak|,那么detA>0.k#證(1)先證detA00.設%二(%kP2kJHPnk)T,(k=12w,n)為矩陣A的列向量組,假設a1P2Mlpn線性相關,那么存在一組不全為零的n數(shù)ll,l21ll,ln,使Z口=0.k=1

9、證(1)先證detA0.令1=maxi,“Jll3n'>0,不妨設1=L,那么o(j=jk,Z(9)c(k,特別地對于第j個分量有小j=£()aM1j1乜I豆2,|,(2)下證d設tw0,與假設矛盾,假設不成0%線性無關,故detA>0.1,令aiiai2tai2t川a22川aia2an2t川都有Hj|>£)#0.>Z歸kt,由(1)得k#由行列式定義可知,W(t)是0,I上的多項式函數(shù),故W(t)在0,I上連續(xù),且W(0)=najJ>0.j=1假設W(1)=detA<0,那么由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,3t0=(0,1)s.t.W

10、(珀=0,矛盾,故假設不成立,即detA>0.2函數(shù)連續(xù)性在解決普通矩陣問題中的應用對于某些純矩陣問題,用代數(shù)方法解決很復雜,但利用數(shù)學分析中連續(xù)函數(shù)的思想和方法,那么顯得容易許多.例5假設A與B為同階矩陣,A為A的伴隨矩陣,那么(AE)*二*BA*.2,5證當A與B均為非奇異陣時,那么結論顯然成立以下證實當至少有一個為奇異陣時,上述結論依然成立.由命題1可知,？6=const>0,?££(0,6),A£=A+eE,Be=B+eE為非奇異矩陣,故由上述結論可知AB=BA由上述等式兩邊均為e之連續(xù)函數(shù),故可對上式兩邊同時令e-0,即得到(A§*

11、=B*A*.故命題得證.3 函數(shù)連續(xù)性在解決特征多項式問題中的應用函數(shù)的連續(xù)性在求解矩陣的特征多項式的過程中也有簡化計算過程等的長處.例6假設A,B均為同階方陣,那么AB與BA特征多項式相同.證當A為非奇異矩陣時,ABBA,故其特征多項式相同2,5,8.當A為奇異陣時,根據(jù)命題1知？6=const>0,s.t.?£(0,6),矩陣Ae=A+eE為非奇異陣,從而由上述結論可知|入E-A禺二|入E-BA£|.由于上式等號兩邊均為e之連續(xù)函數(shù),故可對上式兩邊同時令e-0,即得到|入E-AB|=|入E-BA|故命題得證.本例結果實際上還可以推廣到“假設0mB分別是nXm和nr

12、ixn矩陣,入第0,那么|入En-AB|=入|入Em-BA|2,5,8.此處暫不探究.4 函數(shù)連續(xù)型在解決二次型問題中的應用二次型的判定和計算是大學期間數(shù)學學習的重點和難點,很多的問題光用代數(shù)方法解決是很難解決的,但反過來用數(shù)學分析的知識和觀點解決之,能使學生更容易理解和掌握.例7.f(Xi,H|,Xn)=0X1|IXn-X1a11Illa1n-Xnan1IIIann0XT一XA是一個二次型證：設A=(ajk)nn,X=(X(1)當A為非奇異矩陣時,由(X)=T1XTAX-XAA(XTA-1X)=XTA*X(2)當A為奇異矩陣時,根據(jù)命題0,s.t.Vs(0,S),有AA述結論,得到1可知,3

13、6=constE為非奇異矩陣,根據(jù)上f(X)=0XT-XAT*XTArX,而上式等號兩端均為令WT0+,那么得到-T*f(X)=XAX.3之連續(xù)函數(shù),故可以在上式兩端同時故命題得證.例8假設A為m階半正定夕!陣,那么A的伴隨矩陣A*也半正定.證：由于A為半正定矩陣,故EE均為正定矩陣,從而AA：,故A也為正定矩陣-T*f(2=xA/AJ,.一xX/8w(0,+8),A0,A為正定矩陣,w重n令那么fw0,+g),且V8w(0,+號性定理可知f(0)=limj.0二),f(f(；)名)>0.由連續(xù)函數(shù)的保之0,即Vx=0,有XT0,即A半正定三結束語由以上討論可知高等代數(shù)與數(shù)學分析雖然是數(shù)

14、學的不同分支,但是二者之間在解決問題上往往相互滲透,彼此相通.用數(shù)學分析的思想方法解決某些高等代數(shù)問題,解決得非常巧妙簡潔明了.高等代數(shù)的思想方法在用于解決數(shù)學分析問題的時候,同樣能得到類似的效果,此處不再一一表達.故在學習過程中把握好高等代數(shù)與數(shù)學分析之間的聯(lián)系,留心不同分支之間的交融性,有助于培養(yǎng)融合知識的水平,進而到達培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維水平的效果.參考文獻1王蓮花,鞠紅梅,李戰(zhàn)國.數(shù)學分析在高等代數(shù)中的某些應用J.河南教育學院學報自然科學版,2021,173:15-182唐亞楠.高等代數(shù)同步輔導及習題全解M.徐州：中國礦業(yè)大學出版社,20063姚云飛,姚磊.關于數(shù)學分析在線性代數(shù)中某些應用的札記J.大學數(shù)學,2005,216:108-1124劉敏,儲亞偉.分析與代數(shù)內通性的幾個簡單應用J