卡爾曼濾波簡(jiǎn)介及其算法實(shí)現(xiàn)代碼

1、卡爾曼濾波簡(jiǎn)介及其算法實(shí)現(xiàn)代碼卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)代碼（C,C+分別實(shí)現(xiàn)）卡爾曼濾波器簡(jiǎn)介近來(lái)發(fā)現(xiàn)有些問(wèn)題很多人都很感興趣。所以在這里希望能盡自己能力跟大家討論一些力所能及的算法。現(xiàn)在先討論一下卡爾曼濾波器，如果時(shí)間和能力允許，我還希望能夠?qū)憣?xiě)其他的算法，例如遺傳算法，傅立葉變換，數(shù)字濾波，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，圖像處理等等。因?yàn)檫@里不能寫(xiě)復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是這方面的專家，歡迎討論更正?？柭鼮V波器-KalmanFilter1. 什么是卡爾曼濾波器（WhatistheKalmanFilter?）在學(xué)習(xí)卡爾曼濾波器之前，首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論（例如傅立葉變

2、換，泰勒級(jí)數(shù)等等）一樣，卡爾曼也是一個(gè)人的名字，而跟他們不同的是，他是個(gè)現(xiàn)代人！卡爾曼全名RudolfEmilKalman，匈牙利數(shù)學(xué)家，1930年出生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953,1954年于麻省理工學(xué)院分別獲得電機(jī)工程學(xué)士及碩士學(xué)位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems»（線性濾波與預(yù)測(cè)問(wèn)題的新方法）。如果對(duì)這編論文有興趣，可以到這里的地址下載：/welch/medi

3、a/pdf/Kalman1960.pdf。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，卡爾曼濾波器是一個(gè)"optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）"。對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來(lái)更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割，圖像邊緣檢測(cè)等等。2. 卡爾曼濾波器的介紹（IntroductiontotheKalmanFilter）為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會(huì)應(yīng)用形象的描述方法來(lái)講解，而不是

4、像大多數(shù)參考書(shū)那樣羅列一大堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號(hào)。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)，其實(shí)卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單，只要你理解了他的那5條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來(lái)根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就假設(shè)你對(duì)你的WhiteGaussian是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度(假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位)經(jīng)驗(yàn)不是100%勺相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲(GaussianNoise),也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配(Distribution)

5、。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值(系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值)和溫度計(jì)的值(測(cè)量值)。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ?，所以你?huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟k-1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度(5是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3,你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不確定度是4度，他們平方

6、相加再開(kāi)方，就是5)。然后，你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的covariance來(lái)判斷。因?yàn)镵gA2=5A2/(5A2+4A2),所以Kg=0.78,我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因?yàn)闇囟扔?jì)的covariance比較小(比較相信溫度計(jì))，所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值。現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新

7、的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒(méi)看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值(24.56度)的偏差。算法如下：(1-Kg)*5A2)人0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差(對(duì)應(yīng)于上面的3)。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，而且它只保留了上一時(shí)刻的covariance。上面的Kg,就是卡爾曼增益(KalmanGain)。他可以隨不同的時(shí)刻而改變他自己的值，是不是很神奇！下面就要言歸正傳，討論真

8、正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3. 卡爾曼濾波器算法(TheKalmanFilterAlgorithm)在這一部分，我們就來(lái)描述源于DrKalman的卡爾曼濾波器。下面的描述，會(huì)涉及一些基本的概念知識(shí)，包括概率(Probability),隨即變量(Randomvariable),高斯或正態(tài)分配(GaussianDistribution)還有State-spaceModel等等。但對(duì)于卡爾曼濾波器的詳細(xì)證明，這里不能一一描述。Linear首先，我們先要引入一個(gè)離散控制過(guò)程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個(gè)線性隨機(jī)微分方程(StochasticDifferenceequation)來(lái)描述：X(k)=AX(k-1)+B

9、U(k)+W(k)再加上系統(tǒng)的測(cè)量值：Z(k)=HX(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃?。Z(k)是k時(shí)刻的測(cè)量值，H是測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)于多測(cè)量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過(guò)程和測(cè)量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(WhiteGaussianNoise),他們的covariance分別是QR(這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化)。對(duì)于滿足上面的條件(線性隨機(jī)微分系統(tǒng)，過(guò)程和測(cè)量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來(lái)用他們結(jié)合他們的covariances來(lái)估算系

10、統(tǒng)的最優(yōu)化輸出(類似上一節(jié)那個(gè)溫度的例子)。首先我們要利用系統(tǒng)的過(guò)程模型，來(lái)預(yù)測(cè)下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k,根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測(cè)出現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k),.(1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預(yù)測(cè)的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒(méi)有控制量，它可以為0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對(duì)應(yīng)于X(k|k-1)的covariance還沒(méi)更新。我們用P表示covariance:P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A'+Q,(2)式(2)中，P

11、(k|k-1)是X(k|k-1)對(duì)應(yīng)的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對(duì)應(yīng)的covariance,A'表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過(guò)程的covariance。式子1,2就是卡爾曼濾波器5個(gè)公式當(dāng)中的前兩個(gè)，也就是對(duì)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測(cè)結(jié)果，然后我們?cè)偈占F(xiàn)在狀態(tài)的測(cè)量值。結(jié)合預(yù)測(cè)值和測(cè)量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k):X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1),(3)其中Kg為卡爾曼增益(KalmanGain):Kg(k)=P(k|k-1)H'/(HP(k|k-1)H'

12、;+R),(4)到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)o但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運(yùn)行下去直到系統(tǒng)過(guò)程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的covariance:P(k|k)=(I-Kg(k)H)P(k|k-1),(5)其中I為1的矩陣，對(duì)于單模型單測(cè)量，I=1o當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí)，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)o這樣，算法就可以自回歸的運(yùn)算下去。卡爾曼濾波器的原理基本描述了，式子1,2,3,4和5就是他的5個(gè)基本公式。根據(jù)這5個(gè)公式，可以很容易的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的程序。下面，我會(huì)用程序舉一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的例子。4. 簡(jiǎn)單例子(ASimpleExample

13、)這里我們結(jié)合第二第三節(jié)，舉一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明卡爾曼濾波器的工作過(guò)程。所舉的例子是進(jìn)一步描述第二節(jié)的例子，而且還會(huì)配以程序模擬結(jié)果。根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間看成一個(gè)系統(tǒng)，然后對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建模。當(dāng)然，我們見(jiàn)的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個(gè)房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相同的，所以A=1o沒(méi)有控制量，所以U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1),.(6)式子(2)可以改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1)+Q,(7)因?yàn)闇y(cè)量的值是溫度計(jì)的，跟溫度直接對(duì)應(yīng)，所以H=1o式子3,4,5可以改成以下：X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-X(k|k-

14、1),(8)Kg(k)=P(k|k-1)/(P(k|k-1)+R),(9)P(k|k)=(1-Kg(k)P(k|k-1),(10)現(xiàn)在我們模擬一組測(cè)量值作為輸入。假設(shè)房間的真實(shí)溫度為25度，我模擬了200個(gè)測(cè)量值，這些測(cè)量值的平均值為25度，但是加入了標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾度的高斯白噪聲(在圖中為藍(lán)線)。為了令卡爾曼濾波器開(kāi)始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個(gè)零時(shí)刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)o他們的值不用太在意，隨便給一個(gè)就可以了，因?yàn)殡S著卡爾曼的工作，X會(huì)逐漸的收斂。但是對(duì)于P,一般不要取0,因?yàn)檫@樣可能會(huì)令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了X(0|0)=

15、1度，P(0|0)=10o該系統(tǒng)的真實(shí)溫度為25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)化結(jié)果(該結(jié)果在算法中設(shè)置了Q=1e-6,R=1e-1)。最佳線性濾波理論起源于40年代美國(guó)科學(xué)家Wiener和前蘇聯(lián)科學(xué)家Kojimoro等大i的研究工作，后人統(tǒng)稱為維納濾波理論。從理論上說(shuō)，維納濾波的最大缺點(diǎn)是必須用到無(wú)限過(guò)去的數(shù)據(jù)，不適用于實(shí)時(shí)處理。為了克服這一缺點(diǎn)，60年代Kalman把狀態(tài)空間模型引入濾波理論，并導(dǎo)出了一套遞推估計(jì)算法，后人稱之為卡爾曼濾波理論?？柭鼮V波是以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則，來(lái)尋求一套遞推估計(jì)的算法，其基本思想是：采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻

16、地估計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出現(xiàn)時(shí)刻的估計(jì)值。它適合于實(shí)時(shí)處理和計(jì)算機(jī)運(yùn)算。現(xiàn)設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的離散狀態(tài)防城和觀測(cè)方程為：X(k)=F(k,k-1)X(k-1)+T(k,k-1)U(k-1)Y(k)=H(k)X(k)+N(k)其中X(k)和Y(k)分別是k時(shí)刻的狀態(tài)矢量和觀測(cè)矢量F(k,k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣U(k)為k時(shí)刻動(dòng)態(tài)噪聲T(k,k-1)為系統(tǒng)控制矩陣H(k)為k時(shí)刻觀測(cè)矩陣N(k)為k時(shí)刻觀測(cè)噪聲則卡爾曼濾波的算法流程為：預(yù)估計(jì)X(k)A=F(k,k-1)-X(k-1)1 .計(jì)算預(yù)估計(jì)協(xié)方差矩陣C(k)A=F(k,k-1)xC(k)xF(k,k-1)'+

17、T(k,k-1)xQ(k)xT(k,k-1)'Q(k)=U(k)xU(k)'2 .計(jì)算卡爾曼增益矩陣K(k)=C(k)AxH(k)'xH(k)xC(k)AxH(k)'+R(k)A(-1)R(k)=N(k)xN(k)'3 .更新估計(jì)X(k)=X(k)A+K(k)xY(k)-H(k)xX(k)A4 .計(jì)算更新后估計(jì)協(xié)防差矩陣C(k)二I-K(k)xH(k)xC(k)AxI-K(k)xH(k)'+K(k)xR(k)xK(k)'5. X(k+1)=X(k)-C(k+1)=C(k)-重復(fù)以上步驟KalmanFilter科技2010-05-2921:

18、13:49閱讀90評(píng)論0字號(hào)：大中小訂閱KalmanFilter是一個(gè)高效的遞歸濾波器，它可以實(shí)現(xiàn)從一系列的噪聲測(cè)量中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。廣泛應(yīng)用于包含Radar、計(jì)算機(jī)視覺(jué)在內(nèi)的等工程應(yīng)用領(lǐng)域，在控制理論和控制系統(tǒng)工程中也是一個(gè)非常重要的課題。連同線性均方規(guī)劃，卡爾曼濾波器可以用于解決LQG(Linear-quadratic-Gaussiancontrol)問(wèn)題。卡爾曼濾波器，線性均方歸化及線性均方高斯控制器，是大部分控制領(lǐng)域基礎(chǔ)難題的主要解決途徑。目錄1應(yīng)用實(shí)例 2命名和發(fā)展歷史 3基本動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型 4卡爾曼濾波器4.1 預(yù)測(cè)4.2 更新4.3不變量 5實(shí)例 6推導(dǎo)6.2 后驗(yàn)估計(jì)協(xié)方差

19、矩陣推導(dǎo)6.3 Kalman增益推導(dǎo)6.4 后驗(yàn)誤差協(xié)方差矩陣簡(jiǎn)化7信息濾波8非線性濾波器8.1擴(kuò)展Kalman濾波8.2UnscentedKalmanfilter9Kalman-Bucy濾波10應(yīng)用11參見(jiàn)12參考文獻(xiàn)13外部鏈接1應(yīng)用實(shí)例一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用是估計(jì)物體的位置和速度；簡(jiǎn)要描述如下：假設(shè)我們可以獲取一個(gè)物體的包含噪聲的一系列位置觀測(cè)數(shù)據(jù)，我們可以獲得此物體的精確速度和位置連續(xù)更新信息。例如，對(duì)于雷達(dá)來(lái)說(shuō)，我們關(guān)心的是跟蹤目標(biāo)，而目標(biāo)的位置，速度，加速度的測(cè)量值是時(shí)刻含有誤差的，卡爾曼濾波器利用目標(biāo)的動(dòng)態(tài)信息，去掉噪聲影響，獲取目標(biāo)此刻好的位置估計(jì)(濾波)，將來(lái)位置估計(jì)(預(yù)測(cè))，也可以

20、是過(guò)去位置估計(jì)的(插值或平滑)2命名和發(fā)展歷史這個(gè)濾波器以它的發(fā)明者Rudolf.E.Kalman而命名，但是在Kanlman之前，ThorvaldNicolaiThiele和PeterSwerling已經(jīng)提出了類似的算法。StanleySchmidt首次實(shí)現(xiàn)了Kalman濾波器。在一次對(duì)NASAAmesResearchCenter訪問(wèn)中，卡爾曼發(fā)現(xiàn)他的方法對(duì)于解決阿波羅計(jì)劃的軌跡預(yù)測(cè)很有用，后來(lái)阿波羅飛船導(dǎo)航電腦就使用了這種濾波器。這個(gè)濾波器可以追溯至USwerling(1958),Kalman(1960),Kalman和Bucy(1961)發(fā)表的論文。這個(gè)濾波器有時(shí)叫做Stratonovi

21、ch-Kalman-Bucy濾波器。因?yàn)楦鼮橐话愕姆蔷€性濾波器最初由RuslanL.Stratonovich發(fā)明，而Stratonovich-Kalman-Bucy濾波器只是非線性濾波器的一個(gè)特例。事實(shí)上，1960年夏季，Kalman和Stratonovich在一個(gè)Moscow召開(kāi)的會(huì)議中相遇，而作為非線性特例的線性濾波方程，早已經(jīng)由Stratonovich在此以前發(fā)表了。在控制領(lǐng)域，Kalman濾波被稱為線性二次型估計(jì)，目前，卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實(shí)現(xiàn)，有施密特?cái)U(kuò)展濾波器、信息濾波器以及一系列的Bierman和Thornton發(fā)明的平方根濾波器等，而卡爾曼最初提出的形式現(xiàn)在稱為簡(jiǎn)單卡爾曼

22、濾波器。也許最常見(jiàn)的卡爾曼濾波器應(yīng)用是鎖相環(huán)，它在收音機(jī)、計(jì)算機(jī)和幾乎全部視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在。3基本動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型Kalman濾波基于時(shí)域描述的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它的模型是MarkovChain,而MarkovChain建立在一個(gè)被高斯噪聲干擾的線性算子之上。系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一個(gè)元素為實(shí)數(shù)的向量表示。隨著離散時(shí)間的增加，這個(gè)線性算子就會(huì)作用到當(dāng)前狀態(tài)之上，產(chǎn)生一個(gè)新的狀態(tài)，并且會(huì)帶入一定的噪聲，同時(shí)一些已知的控制信息也會(huì)加入。同時(shí)另外一個(gè)受噪聲干擾的線性算子將產(chǎn)生這些隱含狀態(tài)的可見(jiàn)輸出。Kalman濾波可以被看作為類似隱馬爾科夫模型，它們的顯著不同點(diǎn)在于：隱狀態(tài)變量的取值空間是一個(gè)連續(xù)的空間，

23、而離散狀態(tài)空間則不是；另為，隱馬爾科夫模型可以描述下一個(gè)狀態(tài)的一個(gè)任意分布，這也與應(yīng)用于Kalman濾波器中的高斯噪聲模型相反。Kalman濾波器方程和隱馬爾科夫方程之間有很大的二重性，關(guān)于Kalman濾波方程和隱馬爾科夫方程之間二重性參看RoweisandGhahramani（1999）4。為了從一系列的噪聲觀測(cè)中，應(yīng)用Kalman濾波估計(jì)觀測(cè)過(guò)程的內(nèi)部狀態(tài)。我們必須把這個(gè)過(guò)程在Kalman濾波器的框架下建立模型，這就意味著，對(duì)于每一步k我們要定義矩陣凡、*R、A、&、皖如下：KalmanFilter假設(shè)k時(shí)刻的真實(shí)狀態(tài)是從k-1時(shí)刻演化而來(lái)，符合下式苞t=F疝.a+B說(shuō)也+猴。這里

24、4是作用在前一狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣）瓦是作用在控制向量上的控制輸入模型（輸入輸出矩陣）鼻是過(guò)程噪聲，假設(shè)是均值為0的白噪聲，協(xié)方差為0則：以一NQa>在k時(shí)刻，假設(shè)真實(shí)狀態(tài)敵的觀測(cè)，滿足如下公式：4=%醺+vJc其中*'是觀測(cè)模型（觀測(cè)矩陣），它把真實(shí)狀態(tài)映射到觀測(cè)空間，珠是觀測(cè)噪聲，假設(shè)它是均值是0,方差是段的高斯白噪聲：KalmanFilter基本動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型如圖（1）所示，圓圈代表向量，方塊代表矩陣，星號(hào)代表高斯噪聲，其協(xié)方差在右下方標(biāo)出。初始狀態(tài)以及每一時(shí)刻的噪聲向量x0,w1,wk,v1.vk都為認(rèn)為是互相獨(dú)立的。實(shí)際中，真實(shí)世界中動(dòng)態(tài)系統(tǒng)并不是嚴(yán)格的符合此

25、模型。但是Kalman模型是設(shè)計(jì)在噪聲過(guò)程工作的，一個(gè)近似的符合已經(jīng)可以使這個(gè)濾波器非常有用了，更多復(fù)雜模型關(guān)于KalmanFilter模型的變種，將在下述中討論：inrrnetbufLbbog.16：圖4卡爾曼濾波器KalmanFilter是一個(gè)遞歸的估計(jì)，即只要獲知上一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)和當(dāng)前狀態(tài)的觀測(cè)就可以計(jì)算出當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)，不同于其他的估計(jì)技術(shù)，Kalman濾波器不需要觀測(cè)或/和估計(jì)的歷史記錄，KalmanFilter是一個(gè)純粹的時(shí)域?yàn)V波器，而不像低通濾波器等頻域?yàn)V波器那樣，需要在頻域中設(shè)計(jì)，然后轉(zhuǎn)換到時(shí)域中應(yīng)用。下面，仆部代表已知從m到n-1包才m時(shí)刻的觀測(cè)在n時(shí)刻的估計(jì)值卡爾曼濾波器

26、的狀態(tài)由以下兩個(gè)變量表示：“跟已知k時(shí)刻以前時(shí)刻觀測(cè)值，k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值4A誤差協(xié)方差矩陣，度量狀態(tài)估計(jì)的精度程度Kalman濾波包括兩個(gè)階段：預(yù)測(cè)和更新；在估計(jì)階段，濾波器應(yīng)用上一狀態(tài)的估計(jì)做出對(duì)當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)。在更新階段，濾波器利用在當(dāng)前狀態(tài)的觀測(cè)值優(yōu)化預(yù)測(cè)階段的預(yù)測(cè)值，以獲的一個(gè)更精確的當(dāng)前狀態(tài)的估計(jì)。預(yù)測(cè)狀態(tài)預(yù)測(cè)：.二|：.'-'11;11估計(jì)協(xié)方差預(yù)測(cè)：與JU1"4尺TJfc-/黑更新新息或測(cè)量余量新息協(xié)方差二一二二:1冬Kalman增益狀態(tài)估計(jì)更新?tīng)顟B(tài)協(xié)方差更新:，.；一使用上述公式計(jì)算為.僅在最優(yōu)卡爾曼增益的時(shí)候有效。使用其他增益公式要復(fù)雜一些，看見(jiàn)推

27、導(dǎo)不變量如果模型準(zhǔn)確，工咖和片W值將準(zhǔn)確反映最初狀態(tài)的分布，那么下面所有不變量保持不變，所有估計(jì)的誤差均值為0:1(，|=''LL|這里圖號(hào)表示的期望，而協(xié)方差矩陣則反映的估計(jì)的協(xié)方差K-1一.二5實(shí)例考慮在一個(gè)無(wú)摩擦、無(wú)限長(zhǎng)的直軌道上的一輛小車，它的初始位置在0點(diǎn)，但是它會(huì)隨機(jī)的受到?jīng)_擊作用，我們每隔Af測(cè)量一次小車的位置，但是這些測(cè)量數(shù)據(jù)不是很精確。我們想建立一個(gè)關(guān)于小車位置和速度的模型，這里我們描述如何建立這個(gè)模型，以及從這個(gè)模型出發(fā)如何推導(dǎo)出Kalman濾波器。因?yàn)樾≤嚊](méi)有控制輸入，我們可以忽略為和以。由于F,H,R和Q全是恒值，我們可以忽略時(shí)間下標(biāo)。小車的位置和速度用

28、線性空間可以描述如下：這里土表示速度，也就是位置對(duì)時(shí)間的微分。我們假設(shè)在時(shí)間間隔k-1和k之間，小車受到一個(gè)恒定的沖擊,網(wǎng)服從均值為0,方差為目的正態(tài)分布，根據(jù)Newton動(dòng)力學(xué)方程，可得到:其中我們發(fā)現(xiàn)：'一在每一時(shí)刻，我們獲取真實(shí)位置的.我們假設(shè)噪聲服噪聲干擾測(cè)量，假設(shè)測(cè)量噪聲服從均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為。正態(tài)分布。Z"丹£+%其中H=10,衣二即”丁】引4口,0n00一皿日舊由必”口,皿、為°=0取=00我們可以得到足夠精度的初始狀態(tài)數(shù)據(jù)，所以我們可以初始化L"，L""如果初始位置和速度不是精確的知道，那么協(xié)方差矩陣應(yīng)該初始化

29、為一個(gè)對(duì)角線元素B為適當(dāng)大小的矩陣如下：這樣與模型中已有信息相比，濾波器更趨向于使用首次的測(cè)量數(shù)據(jù)信息。6推導(dǎo)6.1后驗(yàn)估計(jì)協(xié)方差矩陣推導(dǎo)首先開(kāi)始不變量后驗(yàn)估計(jì)協(xié)方差矩陣%的推導(dǎo)：4*'一加帶入/工定義，可弓人聞+K仇）代入無(wú)為莊=/一（£明工+。左%I=CQV（Xfc一（卷1+及式耳十以一名九）代入后可得整理誤差向量可得吊工-降之）（限演"鼠）由于誤差向量既與其他不相關(guān)，所以耳比工匚。式由協(xié)方差矩陣性質(zhì)則馬氏=a_一/幾局）（7一+。8"（繪）也比:使用不變量Pk|k-1以及Rk的定義這一項(xiàng)可以寫(xiě)作品氏三°一衛(wèi)也通L勾&)+&氏

30、及，此公式(Josephform)對(duì)任意增益Kk的都成立，如果Kk最優(yōu)卡爾曼增益，則可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，見(jiàn)下文。Kalman增益推導(dǎo)Kalman濾波器是一個(gè)最小均方誤差估計(jì)器,先驗(yàn)狀態(tài)誤差估計(jì)可表示為乙一叫我們最小化這個(gè)矢量幅度平方的期望值列凝一限I,這等價(jià)于最小化后驗(yàn)估計(jì)協(xié)方差矩陣%的,通過(guò)展開(kāi)合并弗出=&-瑞冬&一kH；K；+K仲島冏+&)或；=易I-“4飛馬-胃口鼠或+。*殍當(dāng)矩陣導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，矩陣的跡取最小值,業(yè)廠(,)T友-2(&小+2go從這個(gè)式子解出Kalman增益勺治二加冏“這個(gè)增益就是最優(yōu)Kalman增益，應(yīng)用它可以得到最小均方誤差。后驗(yàn)誤差協(xié)方差矩

31、陣簡(jiǎn)化當(dāng)應(yīng)用上述最優(yōu)Kalman增益時(shí)，后驗(yàn)誤差協(xié)方差可以得到簡(jiǎn)化，在最優(yōu)Kalman增益兩邊同時(shí)乘以國(guó)檢，可得*品或一品口兒“，參見(jiàn)后驗(yàn)誤差協(xié)方差公式展開(kāi)帶入上式與凡=4bl_昂Jt-1-弓月其+“二汽2百/加i二UFHCi這個(gè)公式的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，所以實(shí)際中總是使用這個(gè)公式，但是需注意這公式僅在最優(yōu)卡爾曼增益時(shí)它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而導(dǎo)致數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問(wèn)題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個(gè)簡(jiǎn)化；必須使用上面導(dǎo)出的后驗(yàn)誤差協(xié)方差公式。7信息濾波在信息濾波器(逆方差濾波器)中，協(xié)方差估計(jì)和狀態(tài)估計(jì)將會(huì)被信息矩陣和信息向量所取代，它們的定義如下：類似的預(yù)測(cè)協(xié)方差和預(yù)測(cè)狀態(tài)也有等價(jià)的信息形式，定義如下:%g=耳口同樣測(cè)量協(xié)方差和測(cè)量向量定義為：h二低葭%信息更新現(xiàn)在變成一個(gè)加和形式：。+£>1夕砸=%I+>=J信息濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)在于N和測(cè)量數(shù)據(jù)都可以用于濾波，簡(jiǎn)單的通過(guò)信息矩陣和信息向量的加和