大學數(shù)學教學大綱

1、大學數(shù)學教學計劃數(shù)學一 總學時 252微積分（上） 513=65 第一學期微積分（下） 517=85 第二學期教材：四川大學周成壁編高等數(shù)學第一，二冊線性代數(shù) 317=51 第二學期教材：高等代數(shù)（上）王萼芳編概率統(tǒng)計 317=51 第三學期教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙江大學編數(shù)學二 總學時 222微積分（上） 413=52 第一學期微積分（下）417=68 第二學期教材：同濟大學教研室編高等數(shù)學第四版線性代數(shù) 317=51 第二學期教材：高等代數(shù)（上）王萼芳編概率統(tǒng)計 317=51 第三學期教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙江大學編數(shù)學三 總學時 205微積分（上） 413=52 第一學期微積分（下） 3

2、17=51 第二學期教材：趙樹源編微積分線性代數(shù) 317=51 第二學期教材：趙樹源編線性代數(shù)概率統(tǒng)計 317=51 第三學期教材：袁蔭棠編概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)學四 總學時 68 開課學期 教務室統(tǒng)一定教材：張順燕編數(shù)學的思想、方法和應用北京大學出版社大學數(shù)學一教學實施大綱 微積分部分 微積分是理、工科許多專業(yè)的一門重要基礎課。它為后續(xù)專業(yè)基礎課及專業(yè)課提供必要的數(shù)學基礎；在課程的實施過程中，既要注意和其他課程的配合，又要注意數(shù)學本身的系統(tǒng)性。同時，還要注意培養(yǎng)學生的抽象思維和邏輯推理能力，培養(yǎng)學生解決實際問題的意識和能力；并結(jié)合數(shù)學的“辯證思維”特點，培養(yǎng)學生唯物辨證的科學思維方法，提高學生的

3、綜合素質(zhì)。為加深素質(zhì)教育和提高考研及格率，我們的要求主要是在考研要求的基礎上，結(jié)合我校的實際情況作必要的調(diào)整。本課程分兩個學期，上學期由于軍訓只有十三周，周學時是5，共計65個學時。下學期按17周安排，周學時是6，共計102個學時。若18周，共計108個學時，總計167173學時。一、函數(shù)、極限、連續(xù)內(nèi)容 函數(shù)的概念及表示方法、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性、 反函數(shù)、復合函數(shù)和隱函數(shù)、 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù)、 簡單應用問題的函數(shù)關系建立、 數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義和性質(zhì)、函數(shù)左、右極限， 無窮小 、無窮大、 無窮小的比較、 極限的四則運算 、極限存在的兩個準則、單調(diào)有界

4、準則和夾值準則、 兩個重要的極限： =e ，函數(shù)連續(xù)的概念 、函數(shù)間斷點的類型、初等函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理和介值定理）?？荚囈螅?、 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法。2、 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3、 理解復合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)和隱函數(shù)的概念。4、 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖形。5、 會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式。6、 理解極限的概念，理解函數(shù)左、右函數(shù)的概念，及其極限存在和左、右極限之間的關系。7、 掌握極限的性質(zhì)及其四則運算。8、 掌握極限存在的兩個準則，并利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。9、 理解無窮小、無

5、窮大及無窮小的階的概念，會用等價無窮小求極限。10、 理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判別間斷點的類型。11、 了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理和介值定理），并會應用這些性質(zhì)。 具體操作細則（20學時）1. 函數(shù)的概念及其表示法 函數(shù)的幾種特性 2學時2. 復合函數(shù)和反函數(shù)的概念 初等函數(shù) 3學時3. 數(shù)列與極限、定義、性質(zhì)和運算法 2學時4. 數(shù)列收斂判別法 1.2 2學時5. 收斂判別法 3 1學時6. 函數(shù)極限定義、單側(cè)極限、性質(zhì) 2學時7. 函數(shù)極限的運算、函數(shù)極限 的判別準則、重要極限 2學 時8. 無窮小量、無窮大量、無窮小量的性質(zhì)和“階”的比較 2學時 9

6、. 函數(shù)的連續(xù)和間斷 2學時10. 在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性初等函數(shù)的連續(xù)性 2學時二、一元函數(shù)微分學內(nèi)容導數(shù)和微分的概念 導數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導性和連續(xù)之間的關系 平面曲線的切線和法線 基本初等函數(shù)的導數(shù) 導數(shù)和微分的四則運算 反函數(shù)、復合函、隱函數(shù)以及參數(shù)方程確定的函數(shù)的微分法 高階導數(shù)的概念 某些簡單函數(shù)的n階導數(shù) 一階微分形式的不變性 微分在近似計算中的應用 羅爾（Rolle）定理 拉格朗日（Lagrange）定理 柯西（Cauchy）中值定理 泰勒（Taylor）定理 洛必達（LHospital）法則 函數(shù)極值及其求法 函數(shù)增減性和函數(shù)凹凸性判斷 函數(shù)圖形的拐點及其求法

7、漸進線 描繪函數(shù)的圖形 函數(shù)最大值、最小值的求法及其簡單應用 弧微分 曲率的概念及計算 曲率半徑 兩曲線的交角 *方程近似解的二分法和切線法考試要求1、 理解導數(shù)和微分的概念 ，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描繪一些物理量，理解函數(shù)可導性和連續(xù)性之間的關系。2、 掌握函數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，了解微分在近似計算中的應用。3、 了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù) 的n階導數(shù)。4、 會求分段函數(shù)的一階和二階導數(shù)。5、 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階

8、導數(shù)，會求反函數(shù)的導數(shù)。6、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。7、 了解并會用柯西中值定理。8、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。9、 會用導數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點，會求水平、鉛直和斜漸進線，會描繪函數(shù)的圖形。10、 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。11、 了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑，會求兩曲線的交角。12、 了解求方程近似解的二分法和切線法。具體操作細則（20學時）1、導數(shù)的定義、基本公式及運算法則 2學時2、復合函數(shù)的導數(shù)、反函數(shù)及隱函數(shù)的導數(shù) 3學時3、高階

9、導數(shù)及不可導的情形 2學時4、微分的定義、公式、運算法則，高階微分及應用 2學時5、中值定理及洛必達法則 3學時6、泰勒公式 2學時7、導數(shù)的應用、函數(shù)的增減及極值判斷 3學時8、最值、漸進線和函數(shù)作圖 2學時9、曲率和方程的近似解法 1學時三、一元函數(shù)積分學 內(nèi)容 原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式 定積分的概念和性質(zhì) 定積分的中值定理 變上限定積分及導數(shù) 牛頓萊布尼茨公式 不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法 有理函數(shù) 三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 定積分的近似計算法 定積分的應用考試要求1、 理解原函數(shù)概念，理解定積分和不定積分的概念，理解定積分的中值定

10、理。2、 掌握不定積分的基本公式，掌握定積分和不定積分的性質(zhì)及換元積分法和分部積分法 。3、 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單函數(shù)的積分。4、 理解變上限積分是上限的函數(shù)和其求導定理，掌握牛頓萊布尼茨公式 。5、 了解定積分的近似計算。6、 掌握用定積分表達和計算一些幾何量和物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平面截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力及函數(shù)的平均值等）。 具體操作細則（25學時）1、不定積分的概念、基本公式和運算法則 2學時2、積分法（第一、第二換元法）分部積分法 4學時3、有理分式的積分 2學時4、三角有理式和簡單有理式的積分 2學時5、

11、定積分的概念 2學時6、可積準則和定積分的性質(zhì) 2學時7、定積分和不定積分的聯(lián)系 2學時8、定積分的計算和近似計算 3學時9、定積分的幾何應用 3學時10、定積分的物理應用 3學時四、向量代數(shù)和空間解析幾何內(nèi)容向量的概念 向量的線性運算 向量的數(shù)量積和向量積的概念及運算 向量的混合積 兩向量垂直和平行的條件 兩向量的交角 向量的坐標表達式及其運算 單位向量 方向數(shù)與方向余弦 曲面方程和曲線方程的概念 平面方程、直線方程及其求法 平面與平面、直線與平面、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角 點到平面和點到直線的距離 球面 母線平行于坐標軸的柱面 旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 常用的二次曲面方程及

12、其圖形 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程 空間曲線在坐標面上的投射曲線方程。要求1、 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及表示。2、 掌握向量的運算（線性運算、向量積、數(shù)量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。3、 掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，以及用坐標表達式進行運算的方法。4、 掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。5、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行與坐標軸的柱面方程。6、 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。7、 了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會

13、求其方程。具體操作細則（16學時）1、空間直角坐標系、矢量加減法、數(shù)量乘矢量 2學時2、矢量分解、矢量乘積 2學時3、矢量的矢積混合積 2學時4、空間平面及方程 2學時5、空間直線及方程 2學時6、常見二次曲面1（球面、柱面、旋轉(zhuǎn)面） 2學時7、常見二次曲面2（其它曲面）2學時8、坐標變換 2學時五、多元函數(shù)微分學內(nèi)容多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 偏導數(shù) 全微分的概念 全微分存在的必要條件和充分條件 全微分在近似計算中的作用 復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法 二階偏導數(shù) 方向?qū)?shù)和梯度的概念及其計算 空間曲線的切線及其法平面 曲面的切線及法線 二元函數(shù)的二階泰勒

14、公式 多元函數(shù)極值和條件極值的概念 多元函數(shù)極值的必要條件 二元函數(shù)極值的充分條件 極值的求法 拉格朗日乘數(shù)法 多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用考試 要求1、 理解多元函數(shù)的概念。2、 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、 理解偏導數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，以及全微分在近似計算中的應用。4、 理解方向?qū)?shù)和梯度的概念并掌握其計算方法。5、 掌握復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法。6、 會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。7、 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。8、 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式

15、。9、 理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日數(shù)乘法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值并會解決一些簡單的應用問題。具體操作細則（16學時）1、多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的極限 2學時2、二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導數(shù)及高階偏導數(shù) 2學時3、全微分 1學時4、復合函數(shù)的微分法、求導公式 2學時5、隱函數(shù)微分法及公式 2學時6、偏導數(shù)的應用 2學時7、方向?qū)?shù)、梯度、二元泰勒公式簡介 2學時8、多元函數(shù)的極值（非約束與約束條件） 3學時六、多元函數(shù)積分學內(nèi)容二重積分、三重積分的概念及性質(zhì) 二重積分與三重積分

16、的計算和應用 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算 兩類曲線積分的關系 格林公式 平面曲線積分與路線無關的條件 已知全微分求原函數(shù) 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算 兩類曲面積分的關系 高斯定理 斯托克斯公式 散度、旋度的概念及計算 曲線積分和曲面積分的應用考試要求1、 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。2、 掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法，會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。3、 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系。4、 掌握計算兩類曲線積分的方法。、5、 掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件。

17、6、 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分。7、 了解散度與旋度的概念，并會計算。8、 會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積，體積，曲面面積，弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等）。具體操作細則（31學時） 重積分（13學時）1、二重積分的概念、性質(zhì) 2學時2、二重積分在直角坐標系下的計算方法 2學時3、二重積分在極坐標下的計算法及二重積分的換元法 2學時4、三重積分的概念及直角坐標下的計算方法 2學時5、三重積分的變量替換（球、柱坐標） 2學時6、重積分的應用

18、2學時曲線、曲面積分、矢量分析及場論（18學時）1、第一類型曲線積分 的概念和計算方法 1學時2、第二類型曲線積分的概念和計算方法（包括二者的關系） 2學時3、格林公式和曲線積分與路徑無關的條件 2學時4、第一類型曲面積分的概念和計算方法 2學時5、第二類型曲面積分的概念和計算方法 3學時6、高斯公式、斯托克斯公式 2學時7、矢量函數(shù)的連續(xù)性和微商 2學時8、數(shù)量場、矢量場、梯度、散度量 2學時9、旋度、二階算子 2學時七、無窮級數(shù)考試內(nèi)容常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與p級數(shù) 正項級數(shù)的比較審斂法 、比值審斂法、根值審斂法 交錯級數(shù)

19、的萊布尼茨定理 絕對收斂與條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念 冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 函數(shù)可展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件的麥克勞林展開式 冪級數(shù)在近似計算中的應用 函數(shù)的傅立葉系數(shù)與傅立葉級數(shù) 狄利克雷定理 函數(shù)在-1 ，+1上的傅立葉級數(shù) 函數(shù)在0，1上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)考試要求1、 理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂性。3、 會用正項級數(shù)的比較審斂法和根值審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。4、 會用交錯級數(shù)的萊布尼茨定

20、理。5、 了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。6、 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7、 掌握冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及收斂域的求法。8、 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。9、 了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10、 掌握和的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。11、 了解冪級數(shù)在近似計算上的簡單應用。12、 了解傅立葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在-1，1上的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)，會將定義在0，1上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級

21、數(shù)，會寫出傅立葉級數(shù)的和的表達式。具體操作細則（20學時）1、常數(shù)項級數(shù)、Cauchy收斂準則 2學時2、正項級數(shù)、斂散性判斷 2學時3、任意項級數(shù) 2學時4、函數(shù)項級數(shù)的概念及性質(zhì)、Cauchy準則 2學時5、強級數(shù)、和函數(shù)連續(xù)性、逐項積分、微分定理 2學時6、冪級數(shù)的性質(zhì)和收斂條件 2學時7、冪級數(shù)的展開 2學時8、傅立葉級數(shù)及其收斂定理 2學時9、奇、偶函數(shù)的傅氏展開 2學時10、函數(shù)展開成正弦、余弦級數(shù)、函數(shù)在任意區(qū)間的展開 2學時八、廣義積分和含參積分內(nèi)容 無窮積分和無界函數(shù)的積分 含參積分要求 了解廣義積分的概念并會計算廣義積分具體操作細則（5） 1、無窮積分和瑕積分 3學時 2、函數(shù)和B函數(shù) 1學時 3、含參函數(shù) 1學時九、常微分方程考試內(nèi)容常微分方程的概念 微分方程的解、通解、初始條件和特解 變量可分離的方程