概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版習(xí)題答案第三章

1、第三章多維隨機(jī)變量及其分布1.一在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X,Y如下：0,若第一次取出的是正品，X=41,若第一次取出的是次品。/0,若第二次取出的是正品，Y=1,若第二次取出的是次品試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=10121012253610P(X=0,Y=1)=-',1122=51236P(X=1,Y=0)=21210=51

2、2-36P(X=1,Y=1)=2122二，12-36或?qū)懗蒒01025536361513636（2）不放回抽樣的情況,、10945PX=0,Y=0戶行7r前PX=0,Y=1=10_2121110660104510666611016666或?qū)懗蒔X=1,Y=0=PX=1,Y=1=212212101011661663.二盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X,Y的聯(lián)合分布律。XI012300032353510612235353521630353535解：（X,Y）的可能取值為（i,j）,i=0,1,2,3,j=0,12,i+j

3、>2,聯(lián)合分布律PX=0,Y=2=35PX=1,Y=1=c3c2c35PX=1,Y=2=c3c|c35PX=2,Y=0=C32C35PX=2，丫=1=21c：c2c1235PX=2,Y=2=PX=3,Y=0=PX=3,Y=1=C；C23c7=35C33c22C；-35C33c22C7-35PX=3,Y=2=0'k(6xy),0<x<2,2<y<45.三設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為f(x,y)=、0,其它(1)確定常數(shù)ko(2)求PX<1,Y<3分析：利用P(X,Y)CG=(3)求P(X<1.5(4)求P(X+Y<41f(x,y)d

4、xdy=117f(x,y)dxdy再化為累次積分，其GG-Do0<x<2中D0=(x,y)22<y<4j二二211解：(1)1=ff(x,y)dxdy=fk(6-x-y)dydx,k=0-28P（X：二1,丫：二3）=313dx2g(6-X-y)dy8-(3)P(X-1,5)=P(X1.541270dx2-(6-x-y)dyw24412（4）P（XYE4）=jdx。；（6xy）dy=；6.（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y）的邊緣分布律。（2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y）的邊緣分布律。解：（1）放回抽1¥（第1題）邊緣分布律為X01Y01Pi51Pj5166

5、66不放回抽樣（第1題）0104510666611016666邊緣分布為X01Y01Pi51Pj516666解：X的邊緣分布律X012r13a8887.五設(shè)二維隨機(jī)變量(X4.8y(2-x)f(x,y)=0解：fx(x)=ff(x,y)dy=-ho.fy(y)=LJ(x,y)dx=Z108.六設(shè)二維隨機(jī)變量(XY的邊緣分布律3Y13工Pj2888Y)的概率密度為0<x<1,0<y<x求邊緣概率密度.其它xo4.8y(2-x)dy=2.4x2(2-x)0<x<1:«00其它19f4.8y(2-x)dx=2.4y(3-4y+y2)0<y<1

6、y)其它Y)的概率密度為33_y-e-，°；x：二y，、求邊緣概率密度。f（x，y）=*°，其它.解:fX（x）=亡f（x，y）dy=*befY（y）=if（x，y）dx=e"ydy=e'，x.°x°，°,9.七設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為21c=c二421Xfx（x）=<J1212“2xydy=x4218°，YfY（y）=-y21d2ydx=7:2y<°,22cxy，x_y_1f（x，y）=°，其它（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。'-二,-二11yo10c解

7、：l=f（x，y）dxdy=dycxydx=cy2dy°315 .第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨立。解：放回抽樣的情況在放回抽樣的情況下,PX=°,Y=°=PX=°,Y=1=PX=1,Y=°=PX=1,Y=1=PX=°-PY=°噓PX=°PY=1=PX=1PY=°=PX=1PY=1=X和Y是獨立的363636不放回抽樣的情況:PX=°,Y=°=1°945121166的概率密度為fY(y)=2e刈y0.0,y<0._9_2_10i17111X在（0,1）上服從均勻分布

8、。Y(1)求X和丫的聯(lián)合密度。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實根的概率。解：（1）X的概率密度為fx（x）=ZxW(0,1)0,其它Y的概率密度為1fY(y)=<2e_y2,y>0且知X,丫相互獨立,0,y三0.x105PX=0=-126,、,、,、10PX=0=PX=0,Y=0+PY=0,X=1=125525PX=0PY=0=c%6636PX=0,Y=0WPX=0PY=0X和Y不獨立16 .十四設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量,是（X,Y）的聯(lián)合密度為f(x,y)=fX(x)fY(y)=1?e2200：x：二1,y0其它（2）由于a有實跟根，從而判別式1x

9、2工=-0dx0de2=1-x2e2dx22.即：Y<X記D=(x,y)|0<x<1,0<y<x1x，1-P(YMX)=f(x,y)dxdy=0dx0-e2dyD210-=1-2e2dx=1-2：(：，-中(2)=1-2二(0.8413-0.5)2：0=1-2.50663120.3413=1-0.8555=0.144519.十八設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機(jī)變量，其概率密度為%上，t>0f(t)=<|0t,0并設(shè)各周的需要量是相互獨立的，試求(1)兩周(2)三周的需要量的概率密度。解：(1)設(shè)第一周需要量為X,它是隨機(jī)變量設(shè)第二周需要量為Y,它是隨機(jī)

10、變量且為同分布，其分布密度為-t-te上,t0f(t)=0t_0Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和丫的獨立性可知:、jxef(x,y)=-xyex0,y0其它z>0當(dāng)z<0時，fz=0當(dāng)z>0時，由和的概率公式知fz(z)-：Pfx(z-y)fy(y)dy3=：(z-y)e4y)ye'y=ge"z0z-03zT一、efz(z)=<6,0z3(2)設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為fz(z)=£e'z>00z<0設(shè)E表示第三周需要量，其概率密度為：xe,x.0”(x)=d0x<0z與七相互獨立=z+E表布前三周需要

11、量貝U：r>0,.當(dāng)u<0,。(u)=0當(dāng)u>0時f"(u)=-i-f(u-y)fJy)dy*qou13«u-y)y二06(u-y)eyedy5=-u-e120所以Y的概率密度為f,(u)=11200_ueu0u<02、22.二十二設(shè)某種型號的電子管的壽命(以小時計)近似地服從N(160,20)分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。解：設(shè)X1，X2,X3,X4為4只電子管的壽命，它們相互獨立，同分布，其概率密度為:2(t460)2(t)：1e-k<2220fX<180=FX(180)-1-1.2二20180(t-16

12、0)二二2202人t-160_2y_u11-180-60201e2du=：，(18060).2二二20查表cc/c=0.8413設(shè)N=minX1,X2,X3,X4PN>180=PX1>180,X2>180,X3>180,X4>180=PX>1804=1pX<1804=(0.1587)4=0.0006327.二十八設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)

13、求PX=2|Y=2,PY=3|X=0(2)求V=max(X,Y)的分布律(3)求U=min(X,Y)的分布律解：（1）由條件概率公式PX=2|Y=2=PX=2,Y=2PY=20.050.010.030.050.050.050.08=0:05_0.25=0.2同理PY=3|X=0=13(2)變量V=maxX,Y顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為V:012345PV=0=PX=0Y=0=0PV=1=PX=1,Y=0+PX=1,Y=1+PX=0,Y=1=0.01+0.02+0.01=0.04PV=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1+PX=2,Y=2+PY=2,X=0+PY=2,X=1=0.03+0.0

14、4+0.05+0.01+0.03=0.16Y=2+PX=3,Y=3PV=3=PX=3,Y=0+PX=3,Y=1+PX=3,+PY=3,X=0+PY=3,X=1+PY=3,X=2=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28PV=4=PX=4,Y=0+PX=4,Y=1+PX=4,Y=2+PX=4,Y=3=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24PV=5=PX=5,Y=0+PX=5,Y=3=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28(3)顯然U的取值為0,1,2,3PU=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=3+PY=0,X=1+PY=0,X=5=0.

15、28同理PU=1=0.30PU=2=0.25PU=3=0.17或縮寫成表格形式(2) V012345Pk00.040.160.280.240.28(3) U0123Pk0.280.300.250.17(4) W=V+U顯然W的取值為0,1,8PW=0=PV=0U=0=0PW=1=PV=0,U=1+PV=1U=0V=maxX,Y=0XU=minX,Y=1不可能上式中的PV=0,U=1=0,又PV=1U=0=PX=1Y=0+PX=0Y=1=0.2故PW=1=PV=0,U=1+PV=1,U=0=0.2PW=2=PV+U=2=PV=2,U=0+PV=1,U=1=PX=2Y=0+PX=0Y=2+PX=1

16、Y=1=0.03+0.01+0.02=0.06PW=3=PV+U=3=PV=3,U=0+PV=2,U=1=PX=3Y=0+PX=0,Y=3+PX=2,Y=1+PX=1,Y=2=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13PW=4=PV=4,U=0+PV=3,U=1+PV=2,U=2=PX=4Y=0+PX=3,Y=1+PX=1,Y=3+PX=2,Y=2=0.19PW=5=PV+U=5=PV=5,U=0+PV=5,U=1+PV=3,U=2=PX=5Y=0+PX=5,Y=1+PX=3,Y=2+PX=2,Y=3=0.24PW=6=PV+U=6=PV=5,U=1+PV=4,U=2+PV=3,U=3=PX=5,Y=1+PX=4,Y=2+PX=3,Y=3=0.19PW=7=PV+U=7=PV=5,U=2+PV=4,U=3=PV=5,U=2+PX=4,Y=3=0.6+0.6=0.12PW=8=PV+U=8=PV=5,U=3+PX=5,Y=3=0.05或列表為W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05二H一設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為be"(x4y),0cx<1,0<ycf(x,y)=10,其它(1)試確定常數(shù)b;(2)求邊緣概率密度fX(x),fY(y)(3)求函數(shù)U=max(X,Y)的分布函數(shù)。解：