隱函數(shù)的求導(dǎo)方法總結(jié)

1、河北地質(zhì)大學(xué)課程設(shè)計(jì)（論文）目：隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法學(xué)院：信息工程學(xué)院專業(yè)名稱:電子信息類小組成員:史秀麗角子威季小琪2016年05月27日3一隱函數(shù)的概念3.隱I函券（求3工隱函數(shù)存在定理132隱函數(shù)存在定理243隱函數(shù)存在定理34三.隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法515摘要本文討論了一元隱函數(shù)，多元隱函數(shù)的存在條件及相關(guān)結(jié)論，總結(jié)出隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法和全微分法等方法和相應(yīng)實(shí)例，目的是更好的計(jì)算隱函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵字：隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)方法-隱函數(shù)的概念一般地，如果變量X和y滿足方程尸（x,y）=O,在一定條件下，當(dāng)X取某區(qū)間的任一值時，相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的），值存在，那么就說方程尸（乂y）=。在該區(qū)間內(nèi)確

2、定了一個隱函數(shù)。例如，方程x+V1=。表示一個函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)變量X在（-8,+8）內(nèi)取值時，變量y有確定的值與其對應(yīng)。如x=0時=1"=-1時），=也等。二,隱函數(shù)求偏導(dǎo)1 .隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)/“,）：。在p（X。，yo）在某一領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且尸（%，乂）=0,五,（冷乂）,0,則方程尸（x,y）=0在點(diǎn)（xo,y。）的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=/W,它滿足條件又=/（%），并有£dx&°例1:驗(yàn)證方程-y2=0在點(diǎn)（1,1）的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x=l時尸1的隱函數(shù)v二九，并求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)半在

3、處的值。dx解令&內(nèi)產(chǎn)一一廣則Fx=2x,rv=-2y,F（1n=0,尸y（u）=-2/0由定理1可知，方程/-y2=o在點(diǎn)（1,1）的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù),當(dāng)x=l時，y=l的隱函數(shù)為y=x,且有g(shù)二乙二=二£dxFy2yy粕空二4二1故dxX=l-y*'02 .隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)/（x,y,z）在點(diǎn)尸（x“K，Z°）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且尸（冷乂,z）=0,6（x.，k，zhO,則方程尸（x,y,z）=O在點(diǎn)（冷乂,&）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=/（X,），）,它滿足條件乙=/（乙,

4、工）并右&FvdzF,dxFzF:例2:設(shè)函數(shù)z=z（x,y）由方程w，=工+），+?所確定，求?解：設(shè)網(wǎng)看丁"卜個，-'-'則尼=個2-隆0（將x,y當(dāng)常數(shù)，對z求偏導(dǎo)）£=2盯z-l（將x,y當(dāng)做常數(shù).對y求偏導(dǎo)）根據(jù)定理2：當(dāng)=一。1=岑?=簪二1dyF:xy-1一9廣3 .隱函數(shù)存在定理3設(shè)打工,），,/）、6（二乂,1，）在點(diǎn)尸（.”,），0，0，%）的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又尸（Xo，yo，o，%）=O,G（Xo，），o，o，%）=O,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）在點(diǎn)P（x0,%,“0，%）不等于

5、零，則方程組方（，兒，«（）,%）=°.G（x0,%,=0在點(diǎn)（玉）,汽,0,%）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)=（），）-=口*,）,它們滿足條件叫）=（%,凡），=僅入0，）'0），并有du_1d(F,G)_&J0(x,p)FxFvGxGvdv_18(尸,G)_FuFxGuGxFuFvGuGvdxJFuFvGuGvdu_1d(F.G)_FyFvGyGv仇，_ie（F,G）_FuFyGuGydyJd(y,v)FuFvGuGvoyJd(u,y)FuFvGuGvdududvdv求二-，二-，二，二,dxdydxdyv+xf=19T由定理

6、3可求J=竺窯-CV"-能-加=/+3且1工0,du則嬴=t，-ytk_xu=yv=x2+y2VX-dvv-vyu-xvXH-yv=0yu+xv=方程兩邊對y求導(dǎo)同上可求得duxv-yu_-x2+/dvxv-yur不-Y+V例3:設(shè)-yv=0,yu+xv=1,三.隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法1.公式法：即將方程中所有非零項(xiàng)移到等式一邊，并將其設(shè)為函數(shù)F,注意應(yīng)將x,y,z看作獨(dú)立變量，對F(x,y,z)=O分別求導(dǎo)，利用公式三二-自二三二一或oXFz工類型條件公式產(chǎn)(x,y)=oF、H0(或5H0)空=_£dxFy類型條件公式F(x,y,z)=O工¥0旦_dx_F:/FxF

7、v*08)'_Fx6Fz1111&F/dzFvFzWO&FxaF,oxFzdyF：1g(xw4)=0,G(EG)筌八J=一3=期2Wodu_1S(£G；dxJd(x,v)on_1o(F,GdyJo(y,v'ov_d(F,G)dxJ6(,x)dv_d(F,G)/Jd(u,y)2.直接法：分別將F(x,y,z)=O兩邊同時對x,y看作獨(dú)立變量，z是x,y的函數(shù)，得到含三,三的*y兩個方程，解方程可求出工,工.xy3.全微分法：利用微分形式的不變性，對所給方程兩邊求微分，整理成dz=(尤y,z)dx+p(x,乂z)dy則，x,dy的系數(shù)便是三.三，在求全微分

8、時，z應(yīng)看做自變量.例1.已知inJx?+)，=arcta».求'xdx-解.方法一：令F(x,y)=InJx?+y2-arclan=-ln(x2+y2)-arctanx2x則工(.”)二若口工(內(nèi),)=占點(diǎn)“一")"x+y所以丁二一廣=一一-dxF、y-x上式再對X求導(dǎo)得d2y_2邛-2y_2(x2+y2)d£U-y)2(x-y)3方法二:方程InJx2+y2-arctan2=0,兩端分別對x求導(dǎo)得x:+力：可一_0x2+y2X2+y2dy_x+ydxx_yd2y_2xy-2y_2(x2+y1)R=(if=方法三：方程InJj+V=arckm),兩端分別求微分得x”(Inyjx2+y2)=6/(arctan)x利用全微分不定性，上式化為1 dx2+dy2_1y2 x2+y21+r.xX2由全微分運(yùn)算法則計(jì)算并化簡得(x-y)dy=(x+y)dxdy_x+ydxy-x心_2xy-2y_2(2+>3)加"(x-y)2一(x-»參考文獻(xiàn)1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)