第四章第三節(jié)可降階的高階微分方程

1、第四章第三節(jié)可降階的高階微分方程基本內(nèi)容1型的微分方程：右端僅含有自變量，只要把作為新的未知函數(shù)兩邊積分，就得到一個(gè)階的微分方程，連續(xù)積分次,便得到了方程的含有個(gè)任意常數(shù)的通解。2. 型的微分方程：右端不明顯地含未知函數(shù)，作變量替換 ，則。方程可化為，這是一個(gè)關(guān)于變量的一階微分方程，可求出其通解為。由,又得以一個(gè)一階微分方程，其通解為。3. 型的微分方程：右端不明顯地含自變量.作變量替換,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,可將寫成。方程可化為 。這是一個(gè)關(guān)于變量的一階微分方程，通解為。分離變量，得到，兩邊同時(shí)積分得到方程的通解 。這便得到方程的通解.習(xí)題選解1. 求下列微分方程的通解：（1）解：積分得：，

2、再積分，得通解為：（2）解：積分得：，再積分，得通解為：（3）解：積分得：，再積分得：，再積分一次，得通解為：（4）解：設(shè)，則原方程可化為：，這是一階非齊次線性方程，由求解公式，得：再積分，得：（5）解：設(shè)，則原方程可化為：，這是可分離變量微分方程，分離變量，得：，積分，得：，即=，（這里假設(shè)，另外一種情況要另行考慮）其中，對(duì)積分，得通解為：（6）解：設(shè)，則，原方程可以化為，這是一個(gè)可分離變量方程。分離變量，得：，兩邊積分，得：，即，這里假設(shè)，另外一種情況要另行考慮。從而可得：，再積分，得通解為：，即（7）解：設(shè)，則，原方程可以化為，分離變量，得：，積分，得：，從而，分離變量，得：，積分，得通

3、解為：，即，其中。（8）解：設(shè)，則，原方程可以化為=，分離變量，得：，積分，得：，解得，再分離變量，得：，積分，得通解為：，即，其中。2 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解（1），解：設(shè)，則原方程可化為：，即，這是貝努利方程，兩邊同時(shí)除以，得：，設(shè)，則，代入前一式，得：，這是一階非齊次線性方程，代入，得，從而=，積分得：，代入，得，所以特解為（2），解：設(shè)，則，原方程可以化為：，分離變量，得：，積分得：，代入初始條件時(shí)，得，從而，積分，得，代入條件，得=，所以，特解為 （3）=，解：設(shè)，則，原方程可以化為：，分離變量，得：，積分，得：，代入初始條件時(shí)，得，從而，積分，得：，代入條件，得=，所

4、以，特解為：。（4），解：設(shè)，則，原方程可以化為：，分離變量，得：，積分，得：，代入初始條件時(shí)，得=，從而，分離變量，得：，積分，得：，代入條件，得：得=，所以特解為，即3設(shè)函數(shù)（）二階可導(dǎo)，且，過曲線上任一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線，上述直線與軸所圍成的三角形的面積為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積為，并設(shè)恒為，求此曲線的方程。解：因?yàn)榍€上點(diǎn)的切線方程為：，其中表示切線的坐標(biāo)，令，得切線在軸上的截距為，由題意，有：，（因?yàn)椋?，由，得：，再由條件，得，前式兩邊對(duì)求導(dǎo)，化簡得：，設(shè)，則，方程可以化為：，分離變量，得：，積分，得：，代入初始條件時(shí)，得，從而，分離變量，得：，積分，得：，代入條件，得

5、=0，所以所求曲線為，即。第四章第四節(jié)二階線性微分方程的一般理論基本內(nèi)容1. 二階線性微分方程：形如的微分方程稱為二階線性微分方程。當(dāng)時(shí)，方程叫做齊次的；否則,方程叫做非齊次的. 2.線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)：如果函數(shù)與是方程的兩個(gè)解，則也是方程(2)的解，其中是任意常數(shù)。3.線性齊次方程的通解結(jié)構(gòu)定理：如果與是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則為方程的通解。4.非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：是非齊次方程的一個(gè)特解，是與對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則是二階非齊次線性方程(1)的通解。5.特解性質(zhì)：與分別是二階非齊次線性微分方程與的特解,則是二階非齊次線性微分方程 的特解。6.常數(shù)變易法習(xí)題選解1下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)

6、哪些是線性無關(guān)的?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）線性無關(guān)（2）線性無關(guān)（3）線性無關(guān)（4）線性無關(guān)（5）線性無關(guān)（6）線性相關(guān)（7）線性無關(guān)（8）線性無關(guān)。2驗(yàn)證，都是方程解，并寫出該方程的通解。 解：由，得，從而，所以是方程的解。再由，得，從而，即是方程的解。又，線性無關(guān)，所以方程的通解為，其中為兩個(gè)任意常數(shù)。3驗(yàn)證，都是方程解,并寫出該方程的通解。解：容易驗(yàn)證，都是方程的解，并且，線性無關(guān)，所以方程的通解為：，其中為兩個(gè)任意常數(shù)。4驗(yàn)證是方程通解。解：因?yàn)?，是齊次方程的解，并且，線性無關(guān)，所以+是齊次方程的通解，又是非齊次方程的一個(gè)特解，所以由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

7、定理，得+是非齊次方程的通解。5設(shè)，都是方程的解,試證:為方程解。解：直接代入驗(yàn)證可得結(jié)論成立。6設(shè)都是方程解,求及方程的通解。解：因?yàn)楹瘮?shù)是齊次方程的解，代入方程，得：，再將代入，得：。第四章第五節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程基本內(nèi)容1.常系數(shù)齊次線性微分方程及特征方程：其中是常數(shù),稱之為二階常系數(shù)齊次線性微分方程；代數(shù)方程稱為的特征方程。2. 齊次線性微分方程的通解：特征方程的兩個(gè)根微分方程 的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根 兩個(gè)相等的實(shí)根 一對(duì)共軛復(fù)根 3.階常系數(shù)齊次線性微分方程的解：稱為階常系數(shù)齊次線性微分方程其中為常數(shù)。其對(duì)應(yīng)的特征方程為。根據(jù)特征方程的根可以寫出對(duì)應(yīng)方程的解為：特征方程的根微分方

8、程的通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)()單實(shí)根給出一項(xiàng):()k重實(shí)根給出k項(xiàng): ()一對(duì)單復(fù)根 給出二項(xiàng):()一對(duì)k重共軛復(fù)根 4.常系數(shù)非齊次線性方程的通解：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程本身的一個(gè)特解之和。5.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解的方法：（1）,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程具有形如的特解。其中是與同次的多項(xiàng)式, 按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為、或。（2），則方程具有形如的特解，其中是次的多項(xiàng)式，而按(或)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取為、或。 6. 歐拉方程：形如的方程稱為歐拉方程（為常數(shù)）。習(xí)題選解1 求下列

9、各微分方程的通解（1）解：特征方程為：，微分方程的通解為（2）解：特征方程為：，微分方程的通解為（3）解：特征方程為：，微分方程的通解為（4）；解：特征方程為：，微分方程的通解為:（5）；解：特征方程為：，微分方程的通解為:（6）；解：特征方程為：，微分方程的通解為:2 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解（1）解：特征方程為：，解得：，微分方程的通解為:，從而，代入初始條件，得：，解得，所以特解為： （2）解：特征方程為：，解得：，微分方程的通解為:，從而，代入初始條件，得：，解得，所以特解為： （3）解：特征方程為：，解得：，微分方程的通解為:，從而，代入初始條件，得：，解得，所以特解為

10、： ，（4）解：特征方程為：，解得：，微分方程的通解為:， ，代入初始條件，得：，解得，所以特解為： 。3 求下列各微分方程的通解（1）解：先解對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，特征方程為：，解得：，所以齊次微分方程的通解為：，不是特征方程的根。設(shè)原方程的特解為，代入原方程，可得，由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理，得原方程的通解為： （2）解：先解對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，特征方程為：，解得：，所以齊次微分方程的通解為：，是特征方程的單根。設(shè)原方程的特解為，即，代入原方程，比較同次冪的系數(shù)，可得，。由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理，得原方程的通解為： （3）解：先解對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，特征方程為：，解得：，所以

11、齊次微分方程的通解為：，不是特征方程的根。可設(shè)原方程的特解為，代入原方程，可得，。由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理，得原方程的通解為： （4）解：先解對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，特征方程為：，解得：，所以齊次微分方程的通解為：，是特征方程的單根。可設(shè)原方程的特解為：，代入原方程，可得，由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理，得原方程的通解為。（5）解：先解對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，特征方程為：，解得：，所以齊次微分方程的通解為：，然后解兩個(gè)非齊次方程及的特解，對(duì)于，不是特征方程的根?？稍O(shè)其特解為：，代入方程，可得，所以方程的特解為，對(duì)于，是特征方程的單根。可設(shè)其特解為：，代入方程，可得，所以方程的特解為，由疊加原理，

12、是非齊次方程的特解，由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理，得原方程的通解為（6）解：先解對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，特征方程為：，解得：，所以齊次微分方程的通解為：，原方程可以化為，然后解兩個(gè)非齊次方程及的特解。對(duì)于，不是特征方程的根?？稍O(shè)其特解為，代入方程，可得，所以方程的特解為。對(duì)于，不是特征方程的根。可設(shè)其特解為：，代入方程，可得，所以方程的特解為，由疊加原理，是非齊次方程的特解，也即原方程的特解，由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理，得原方程的通解為4 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解（1），解：先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，特征方程為：，解得：，齊次方程的通解為：，不是特征方程的根。假設(shè)原方程的特解為，代入上式，得

13、：，解得，所以原方程的特解為，方程的通解為，代入初始條件，得。所求特解為 （2），解：先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，特征方程為：，解得：，齊次方程的通解為：，不是特征方程的根。假設(shè)原方程的特解為，代入上式，得：，解得。所以原方程的特解為，原方程的通解為：+，代入初始條件，得：。所求特解為（3），解：先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，特征方程為：，解得：，齊次方程的通解為：，不是特征方程的根。假設(shè)原方程的特解為，代入上式，解得，所以原方程的特解為，方程的通解為：，代入初始條件，得：。所求特解為 （4），解：先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，特征方程為：，解得：，齊次方程的通解為：，是特征方程的單根，所以可以假設(shè)原方程的特解為，代入上

14、式，解得，所以原方程的特解為，原方程的通解為： ，從而，代入初始條件，得：。所求特解為5求下列各歐拉方程的通解（1）解：設(shè)，則， ，得到，這里，。這是二階常系數(shù)齊次方程，特征方程為，解得：，通解為，代入得原方程的通解為（2）解：設(shè)，則， ，得到：，這里，這是二階常系數(shù)齊次方程，特征方程為，解得：，通解為，代入得原方程的通解為（3）解：設(shè)，則， ，得到：，這里，。這是二階常系數(shù)非齊次線性方程，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得：，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，不是特征方程的根。設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解為，代入=，解得，從而方程=的一個(gè)特解為，通解為+，代入得原方程的通解為：（4）解：設(shè)，則， ， 得到，這里，

15、。這是二階常系數(shù)非齊次線性方程，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得：，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，不是特征方程的根。設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解為，代入，解得，從而方程=的一個(gè)特解為。通解為+，代入得原方程的通解為6一鏈條懸掛在一釘子上，啟動(dòng)時(shí)一端離開釘子，另一端離開釘子，分別在以下兩種情況下，求鏈條滑下來所需要的時(shí)間。（1）若不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦力；（2）若摩擦力為鏈條一米長的重量。解：設(shè)鏈條每米的質(zhì)量為，則總質(zhì)量為20，取軸的坐標(biāo)原點(diǎn)為鏈條最下端的端點(diǎn)，方向向下，則由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，得：（1），其中為重力加速度，為時(shí)間，為時(shí)刻鏈條最下端離開原點(diǎn)的距離。即，并且有初始條件，這是一個(gè)二階非齊次常系數(shù)線性方程，先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得：，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解為，代入，解得，從而原方程的一個(gè)特解為、通解為，代入初始條件，得，原方程的特解為。鏈條滑下來所走過的距離為8m，把代入上式，解得所需時(shí)間為：。（2），其中為重力加速度，為時(shí)間，為時(shí)刻鏈條最下端離開原點(diǎn)的距離。即，并且有初始條件，這是一個(gè)二階非齊次常系數(shù)線性方程，先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，對(duì)應(yīng)齊次方程的特