正多邊形與圓的有關的證明和計算—知識講解及提高練習

1、正多邊形與圓的有關的證明和計算一知識講解及提高練習【考綱要求】1 .了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側面積及全面積；2 .結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形(2)正多邊形的中心一一正多邊形的外接圓的圓心(3)正多邊形的半徑一一正多邊形的外接圓的半徑(4)正多邊形的邊心距一一正多邊形中

2、心到正多邊形各邊的距離.(正多邊形內切圓的半徑.)(5)正多邊形的中心角一一正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角2、正多邊形與圓的關系：(1)將一個圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形.(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.(3)把圓分成n(n3)等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內切圓.(4)任何正n邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓3、正多邊形性質：(1)任何正多邊形都有一個外接圓.(2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形

3、的中心.當邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.(4)任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓要點詮釋：(1)正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是360n所以正n邊形的中心角等于它的外角.(2)邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長(或半徑、邊心距)的比.面積比等于它們邊長(或半徑、邊心距)平方的比.考點二、圓中有關計算1.圓中有關計算圓的面積公式：=汽爐,周長C=2kR.圓心角為耳匕半徑為R的弧長/二竺

4、2.ISO圓心角為口,半徑為R,弧長為/的扇形的面積二腔穴史=17艮.3602弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R,母線長為/的圓柱的體積為霍,側面積為2不及，全面積為二I_.圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長為上，高為左的圓錐的側面積為ttRI,全面積為+母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有漢口+J?=尸.弓形的面積(1)由弦及其所對的劣弧組成的圖形S弓形=S扇形-SAQA(2)由弦及其所對的優(yōu)弧組成的弓形,S弓形=S扇形+&QAB要點詮釋：(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1的扇形面積是圓面積的，即36012開爐-然友營=;3

5、60360(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式鼻,二!/貨,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式5=:曲有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S=1乂巴亞乂我n1上艮.踽36021802【典型例題】類型一、正多邊形有關計算1.如圖，矩形ABCD43,AB=4,以點B為圓心，BA為半徑回弧交BC于點E,以點O為圓心的。O與弧AE,邊ADDC都相切.把扇形BAE作一個圓錐的側面，該圓錐的底面圓恰好是。O,則AD的長為()A.4B.9C.11D.522【思路點撥】首先求得弧AE的長，

6、然后利用弧AE的長正好等于圓的底面周長，求得。O的半徑，則BE的長加上半徑即為AD的長.【答案】D;【解析】解：:AB=4,/B=90,Ae904180圓錐的底面圓恰好是。O,.OO的周長為27t,OO的半徑為1,AD=BC=BE+EC=4+1=5.故選D.【總結升華】本題考查了圓錐的計算及相切兩圓的性質，解題的關鍵是熟記弧長的計算公式舉一反三:【變式1】如圖，兩個相同的正六邊形，其中一個正多邊形的頂點在另一個正多邊形外接圓圓心O處.求重疊部分面積與陰影部分面積之比.解：連結OAOBOC設OA交AB于K,OE交CD于H/AOKhAOCKOC=120-/KOCZCOH=120-/KOC/AOK=

7、COH又/OAK=OCH=60,OA=OC.AO陷COH由AO陷COH得S五邊形OKBC=S四邊形ABC(=2SaOBCS陰影=s正六邊形ABCDEfS五邊形OKBCH=6S4obg2sob=4Sobc2_1S五邊形OKBCHS陰影一一42即重疊部分面積與陰影部分面積之比為:【變式2】已知：正十邊形的半徑是R,求證：它的邊長為2(51)R.【答案】證明：作/OAB勺平分線AM交OBTM則/O=ZOAM=36,/AMB=/B=72,OM=MA=ABKIJAABMhOAB導:OA_ABAB-BM用R,ai0分別表示OAAB,BM代入以上比例式整理得ai02+Raio-R2=0,解關于ai0的一元二

8、次方程得aio類型二、正多邊形與圓綜合運用2.如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH條對角線.(i)在剩余的頂點B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點，使連接的線段與AG平行，并說明理由；(2)兩邊延長AB、CD、EF、GH,使延長線分別交于點P、Q、M、N,若AB=2,求四邊形PQMN的【思路點撥】(1)利用已知得出正八邊形，它的內角都為135,再利用正八邊形ABCDEFGH關于直線BF對稱，彳#出/2+73=180,進而得出答案；(2)根據(jù)題意得出APAHAQCBAMDE,則PA=QB=QC=MD.即PQ=QM,故四邊形PQMN是正方形，進而求出PQ的長即可得出答案.【答案與解析】解：(1)

9、連接BF,則有BF/AG.理由如下：ABCDEFGH是正八邊形，它的內角都為135.又HA=HG,/1=22.5,從而/2=135-/1=112.5.由于正八邊形ABCDEFGH關于直線BF對稱，一：/：:即/2+/3=180,故BF/AG.(2)根據(jù)題設可知/PHA=/PAH=45,，/P=90,同理可得/Q=/M=90,，四邊形PQMN是矩形.又/PHA=/PAH=/QBC=/QCB=/MDE=/MED=45,AH=BC=DE,PAHQCBAMDE,PA=QB=QC=MD,即PQ=QM,故四邊形PQMN是正方形.在RtAPAH中，./PAH=45,AH=2,PA=.2.pQ=PA+AB+B

10、0=2m=2近+2.故S四邊形pq而(275+2)F2+8加.【總結升華】此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質等知識，得出PQ的長是解題關鍵.舉一反三:【變式】如圖所示，在ABC中，BC=4,以點A為圓心，2為半徑的。A與BC相切于點D,交AB于E,則圖中陰影部分的面積是交AC于F,點P是。A上的一點，且/EPF=4048-4A.4B.4C.8【答案】連接AD則ADBC陰影部分面積SAABC_21,c802422360答案：B3.扇形的圓心角為90,面積為167t.(1)求扇形的弧長.(2)若將此扇形卷成一個無底圓錐形筒，則這個圓錐形筒的高是多少？【思路點撥】(1)首先根據(jù)扇形

11、的面積公式求得扇形的半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式S扇形lR(其中21為扇形的弧長)，求得扇形的弧長.(2)設扇形的半徑為R,圓錐的底面圓的半徑為r,先根據(jù)扇形的面積公式解得母線長，再利用弧長公式得到底面半徑r=2,然后利用勾股定理計算這個圓錐形桶的高.【答案與解析】解：(1)設扇形的半徑是R,則兀乂二16兀，360解得：R=8,設扇形的弧長是1,則工底二16兀，即4R=16tt,2解得：1二4兀.(2)圓錐的底面圓的半徑為r,根據(jù)題意得2兀r二也上名解得r=2,180所以個圓錐形桶的高二/s2-22=2715.故答案為2后.【總結升華】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的

12、弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.也考查了勾股定理.6cm的正三角形ABC糧堆母線AC的中點4.如圖所示，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為B處，它要沿圓錐側面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時小貓正在最短路程是多少？【思路點撥】小貓所經(jīng)過的路程要最短，應該求圓錐側面展開后兩點【答案與解析】B、P之間的線段長度解：設圓錐底面半徑為r,母線長為l,展開后圓心角度數(shù)為n,則底面圓的周長為2兀r,側面展開圖的弧長為，180軸截面ABC為等邊三角形,AB=BG即l2r6.r=3.n6180n=180,即其側面展開圖為半圓，如圖所示，則4ABP為直角三角形，B

13、P為最短路線.在RtMBP中，BPJab2AP2J62323萬(m).答：小貓所經(jīng)過白最短路程為35m.【總結升華】將所求問題轉化為平面上兩點之間線段最短的問題，充分利用圓錐底面周長等于側面展開圖的弧長溝通空間元素與平面元素之間的關系.C5.如圖，在正方形ABCC,AB=4,O為對角線BD的中點，分別以OB,OM直徑作。O,。Q.(1)求。O的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積.【思路點撥】連接OE,求出一個小弓形的面積再乘以4即可.【答案與解析】解：(1)在正方形ABCM,AB=AD=4,/A=90,BD42424.2.。的半徑為1BD14近百,44即。o的半徑為J2.(2)連接OE,BD為正

14、方形ABCM對角線，ZABO=45OiE=OB,/BOE=90.一SiS扇形O1BE根據(jù)圖形的對稱性得BEO=/EBO=45Sao1BE90360S1=S2=4=S4Sw4Si24.【總結升華】求陰影部分面積時，一般要將陰影部分面積轉化為幾個規(guī)則圖形的面積求差或和舉一反三:【變式】已知：如圖所示，水平地面上有一面積為307tcn?的扇形AOB半徑OA=6cm,且OA與地面垂直.在沒有滑動的情況下，將扇形向右滾動至OB與地面垂直為止，求O點移動的距離.解：觀察圖形可知o點移動距離即為扇形滾動距離，而扇形滾動距離為優(yōu)弧Aob的弧長.2S23010(cm).答：O點移動的距離為10兀cm.C6.如圖，已知在。O中，AB473,AC是。的直徑，AC!BD于F,/A=30c(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBC0成一個圓錐側面，請你出這個圓錐的底面圓的半徑.【思路點撥】(1)陰影部分是一個扇形，扇形圓心角/BO氏2/BOG=2X2X30=120,只需通過解直角三角nr2形求出OB的長，即可利用扇形面積求出陰影部分面積.(2)扇形弧長是圓錐的底面周